选修2-2导数的四则运算课时作业

选修2-2导数的四则运算课时作业选修2-2导数的四则运算课时作业选修2-2导数的四则运算课时作业资料仅供参考文件编号：2022年4月选修2-2导数的四则运算课时作业版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：课时作业5导数的四则运算法则时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数y＝sinx(1－cosx)的导数y′等于()A．cosx＋cos2xB．cosx－cos2xC．sinx＋cos2x D．cos2x＋cos2x【答案】B【解析】y′＝(sinx)′(1－cosx)＋sinx(1－cosx)′＝cosx(1－cosx)＋sinx(0＋sinx)＝cosx－(cos2x－sin2x)＝cosx－cos2x.2．函数f(x)＝eq\f(1,x3＋2x＋1)的导数是()A.eq\f(1,x3＋2x＋12) B.eq\f(3x2＋2,x3＋2x＋12)C.eq\f(－3x2－2,x3＋2x＋12) D.eq\f(－3x2,x3＋2x＋12)【答案】C【解析】f′(x)＝eq\f(－x3＋2x＋1′,x3＋2x＋12)＝eq\f(－3x2－2,x3＋2x＋12).3．(2014·全国大纲)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2e B．eC．2 D．1【答案】C【解析】本题考查了导数的应用和直线方程．点(1,1)在曲线上，对y求导得y′＝ex－1＋xex－1，所以在点(1,1)处的切线的斜率为k＝2.曲线上某一点的导函数值，就是过该点的切线的斜率．4．若函数y＝sin2x，则y′等于()A．sin2x B．2sinxC．sinxcosx D．cos2x【答案】A【解析】∵y＝sin2x＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2x∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)cos2x))′＝sin2x.故选A.5．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为()A．0 B.eq\f(π,4)C．1 D.eq\f(π,2)【答案】B【解析】f′(x)＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx＋ex(－sinx)＝ex(cosx－sinx)，则函数f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为k＝f′(0)＝e0(cos0－sin0)＝1，故切线的倾斜角为eq\f(π,4)，故选B.6．设点M(a，b)是曲线C：y＝eq\f(1,2)x2＋lnx＋2上的任意一点，直线l是曲线C在点M处的切线，那么直线l的斜率的最小值为()A．－2 B．0C．2 D．4【答案】C【解析】由题可得y′＝x＋eq\f(1,x)，∴曲线C：y＝eq\f(1,2)x2＋lnx＋2在点M(a，b)处的切线l的斜率为k＝a＋eq\f(1,a).又∵a>0，∴斜率k＝a＋eq\f(1,a)≥2，当且仅当a＝1时，等号成立，∴直线l的斜率的最小值为2，故选C.二、填空题(每小题10分，共30分)7．函数y＝xsinx－cosx的导数为____________．【答案】2sinx＋xcosx【解析】y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.8．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．【答案】4x－4y－1＝0【解析】y＝x2的导数为y′＝2x.设切点M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0.∵PQ的斜率k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，又切线平行于PQ，∴k＝y′|x＝x0＝2x0＝1.∴x0＝eq\f(1,2).∴切点M为(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))．∴切线方程为y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(1,2)，即4x－4y－1＝0.9．在曲线y＝eq\f(4,x2)上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．【答案】(2,1)【解析】设P(x0，y0)，∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x2)))′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，∴－8xeq\o\al(－3,0)＝－1.∴x0＝2，y0＝1.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(\r(x5)＋\r(x7)＋\r(x9),\r(x))；(2)y＝sin4eq\f(x,4)＋cos4eq\f(x,4)；(3)y＝eq\f(x2－1,x2＋1).【分析】对于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错．可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数．(1)约分化简成和的形式；(2)利用三角恒等变换公式化简；(3)拆，分离常数．【解析】(1)∵y＝eq\f(\r(x5)＋\r(x7)＋\r(x9),\r(x))＝x2＋x3＋x4，∴y′＝2x＋3x2＋4x3.(2)∵y＝sin4eq\f(x,4)＋cos4eq\f(x,4)＝(sin2eq\f(x,4)＋cos2eq\f(x,4))2－2sin2eq\f(x,4)cos2eq\f(x,4)＝1－eq\f(1,2)sin2eq\f(x,2)＝1－eq\f(1,2)·eq\f(1－cosx,2)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)cosx，∴y′＝－eq\f(1,4)sinx.(3)y＝eq\f(x2－1,x2＋1)＝eq\f(x2＋1－2,x2＋1)＝1－eq\f(2,x2＋1)＝1－2(x2＋1)－1，∴y′＝[1－2(x2＋1)－1]′＝0－(－2)(x2＋1)－2(x2＋1)′＝2(x2＋1)－2·2x＝eq\f(4x,x2＋12).【规律方法】对于较复杂的函数式求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．11．(13分)设y＝8sin3x，求曲线在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))处的切线方程．【解析】∵y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，∴曲线在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))处的切线的斜率k＝y′|x＝eq\f(π,6)＝24sin2eq\f(π,6)·coseq\f(π,6)＝3eq\r(3).∴适合题意的曲线的切线方程为y－1＝3eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即6eq\r(3)x－2y－eq\r(3)π＋2＝0.12．(14分)已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，且f(2x＋1)＝4g(x)，f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求a，b，c，d【分析】关键是先根据多项式恒等，找出a，b，c，d的关系式，再根据导数相等及f(5)＝30，求得a，b，c，d的具体值．【解析】∵f(2x＋1)＝4g(x∴4x2＋(4＋2a)x＋a＋b＋1＝4x2＋4cx＋4d于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋2a＝4c，①,a＋b＋1＝4d，②))由f′(x)＝g′(x)