高中数学1.1空间几何体1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积例题与探究新人教B版必

典精例1表积为

1.1.6棱、锥棱和的面柱、、和的积的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积)A.B.πC.D.π思解：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8×,知a=1，此球的直径为，选A.答：绿通：与正方体或长方体的接与切问题是高考中最常见的一题.长方体内接于一个球那其对角线长等于球的直.对于正方体来,恰有球的直径等于正方体棱长的3倍变训1已正方体接球的体积是π那么正方体的棱长等于()A.B.C.D.思解：方体外接球的体积是π则外接球的半径R=2，正方体的体对角线的长为4，棱长等于，D.答：例2正棱台AC的高17cm,两面的边长分别是4cm和16cm,求个棱台的侧棱长和斜高思分：台中有关量的计算通常是归结到某个梯形内进,而正台则是在直角梯形内进行.图11-(6,7)-1解设棱台两底面的中心分别是O和O,BC和BC的中点分别是E和E,如图11-(6,7)-1所示连OO、EE、OB、OB、OE、O,OBBO和OEEO都直角梯形∵ABcm,AB=16cm,1/4∴OEcm,OE=8cm,OB=

cm,OB=cm.因此==19(cm),EE=即这个棱台的侧棱长是19cm,高是

cm.

(cm),绿通：正台的侧面积与斜高有一定的关系,而高的求解一般归结到一个梯形中,利用梯形的性质进行求.变训2棱的两底面都是矩形，两底面对角线交点的连线是棱台的高且为12cm上底的周长为112，底的长和宽分别为54cm和30cm.棱台的侧面.思解：首先可以根据平行成比例求出上底长和再求侧面.解设上底面的长为xcm，为56-x)cm，把棱台恢复成棱锥以后小棱锥的高为cm.则,∴x=36,56-x=20.设侧面梯形的高分别为y，zcm.则=15,z==13.∴S=(54+36)·13+(30+20)·15=1170+750=1920.答棱台的侧面积是1920cm.例如图11-(6,7)-2，有一圆内接于底面半径为4高为3的锥内，求此圆柱的侧面积的最大值图11-(6,7)-2思分：本圆柱的底面半径和母线长都在变，设圆柱的底面半径为r，过轴截面中三角形的相似，可以找到圆柱的底面半径r和线长l的关系，从而使l能用r来示，利用圆柱的侧面积公式，最终把问题转化为求函数最大值的问.解如题图所示，设圆柱的底面半径为r，母线长为l,则CO=r，A′C=l，AO=4，SO=3.在△SAO中∵A′C∥SO,∴.∴l=.

，根据圆柱的侧面积公式S=2πr·

r(12-3r)=［-3(r-2)+24］,当r=2时，最，此时圆柱侧面积的最大值为12π.绿通：圆柱的侧面积的关键是求圆柱的底面半径和母线长，题中使l能r来示，把问题转化为求函数最大值的问题是常见的题.2/4变训3四棱柱的底面是矩形，且底面对角线的夹角为60°对角面的面积为S，求此直四棱柱的侧面积思分：此应可以将对角线大胆的设元，目的是方便列方程，将对角线设出，但设而不解.因此，底面两条边以及对线全部用母线长l来示，在最后进行侧面积的计算时，刚好约去l.解如图所示，设底面两边分别为、b侧棱长为l，图11-(6,7)-3底面对角线长为t，则AC=BD=t设ACBD相于，则∠AOD=60°，∠AOB=120°,∴△AOD是边三角形.∴AD=OA=AC=t.∴△AOB是角为120°等腰三角形AB=OA=t.又∵对角面的面积为S，S=t·l，∴t=.∴AD=t=，AB=t=.∴S=c·l=2(AD+AB)l=(+)l=(+1)S.问探问题球与长方体、正方体的切接问题较复,般将球转化为平面问题解决.如下例棱长为2cm的正方体容器盛满水，把半径为1的铜球放入水中，铜球刚好被淹.现向正方体内放入一个铁球，使它淹没在水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多少？导:球放入正方体容器刚好被淹没，相当于球内切于正方体，再放入一个铁球，要使流出的水量最多，就是使铁球与水面相切，画出过正方体的对角面的截面图，转化为平面问题求解探：11-(6,7)-4是方体的对角面的截面.AC=，AO=，AS=AO-OS=-1.设铁球的半径为rAC=.3/4图11-(6,7)-4在eq\o\ac(△,1)，=

r，+O

r+r.又AS=

-1，∴r+r=-1,r==(2-cm.故铁球的半径为()cm.单独说球很