2023届福建省莆田市八中高一上数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数在R上是单调函数，则的解析式可能为（）A. B.C. D.2．设全集，，，则A. B.C. D.3．函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（）A.16 B.8C.4 D.24．当前，全球疫情仍处于大流行状态，多国放松管控给我国外防输入带来挑战，冬季季节因素导致周边国家疫情输入我国风险大大增加．现有一组境外输入病例数据：x（月份）12345y（人数）97159198235261则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近（）A. B.C. D.5．下列不等关系中正确的是（）A. B.C. D.6．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆(为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形A.①④ B.①③④C.②③ D.①③7．下列函数在定义域内单调递增的是（）A. B.C. D.8．由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（）A.1 B.C. D.39．若，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.10．设,则的值为A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．经过，两点的直线的倾斜角是__________.12．已知在同一平面内，为锐角,则实数组成的集合为_________13．已知幂函数（为常数）的图像经过点，则__________14．甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.15．的边的长分别为，且，，，则__________.16．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知是函数的零点，.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.18．若函数的自变量的取值范围为时，函数值的取值范围恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.（1）先判断“函数没有“和谐区间”是否正确，再写出函数“和谐区间”；（2）若是定义在上的奇函数，当时，.（i）求的“和谐区间”；（ii）若函数的图象是在定义域内所有“和谐区间”上的图象，是否存在实数，使集合恰含有个元素，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.19．已知集合，集合.（1）若，求和（2）若，求实数的取值范围.20．已知圆C过点，且与圆M：关于直线对称求圆C的方程；过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由21．已知函数（为常数），在时取得最大值2.（1）求的解析式；（2）求函数在上单调区间和最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据条件可知当时，为增函数，在在为增函数，且，结合各选项进行分析判断即可【详解】当时，为增函数，则在上为增函数，且，A.在上为增函数，，故不符合条件；B.为减函数，故不符合条件；C.在上为增函数，，故符合条件；D.为减函数，故不符合条件．故选：C．2、B【解析】全集，，，.故选B.3、A【解析】利用恒等式可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得.【详解】当时，，所以函数的图像恒过定点记，则有，解得所以.故选：A4、D【解析】根据表中数据可得每月人数的增长速度在逐月减缓，即可选出答案.【详解】计算可知，每月人数增长分别为62，39，37，26，增长速度在逐月减缓，符合对数函数的特点，故选：D5、C【解析】对于A，作差变形，借助对数函数单调性判断；对于C，利用均值不等式计算即可判断；对于B，D，根据不等式的性质及对数函数单调性判断作答.【详解】对于A，，而函数在单调递增，显然，则，A不正确；对于B，因为，所以，故，B不正确；对于C，显然，，，C正确；对于D，因为，所以，即，D不正确.故选：C6、D【解析】根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.【详解】对①，中心对称图形有无数个，①正确对②，函数是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确.对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误故选D【点睛】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.7、D【解析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；对于B，，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；对于C，，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；对于D，，是对数函数，在定义域内单调递增，符合题意；故选：D8、B【解析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值【详解】切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得，圆心到直线的距离为，圆的半径为1，故切线长的最小值为，故选：B【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题9、D【解析】根据不等式的性质逐项判断可得答案.【详解】对于A，因为，，故，故A错误对于B，因为，，故，故，故B错误对于C，取，易得，故C错误对于D，因为，所以，故D正确故选：D10、A【解析】先利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简，再根据特殊角的三角函数值代值计算【详解】解：由题意得，,则，故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式和特殊角的三角函数值，考查同角的平方关系，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】经过，两点的直线的斜率是∴经过，两点的直线的倾斜角是故答案为12、【解析】分析：根据夹角为锐角得向量数量积大于零且向量不共线，解得实数组成的集合.详解：因为为锐角，所以且不共线，所以因此实数组成的集合为，点睛：向量夹角为锐角的充要条件为向量数量积大于零且向量不共线，向量夹角为钝角的充要条件为向量数量积小于零且向量不共线.13、3【解析】设，依题意有，故.14、1800【解析】由题共有产品4800名，抽取样本为80，则抽取的概率为；，再由50件产品由甲设备生产，则乙设备生产有30件，则乙设备在总体中有；考点：抽样方法的随机性.15、【解析】由正弦定理、余弦定理得答案：16、【解析】根据指数函数与二次函数的单调性，以及复合函数的单调性的判定方法，求得在上单调递增，在区间上单调递减，再结合题意，即可求解.【详解】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，又由函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，因为函数在上单调递减，则，可得实数的取值范围是.故答案：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)1；(Ⅱ)；(Ⅲ)【解析】Ⅰ利用是函数的零点，代入解析式即可求实数的值；Ⅱ由不等式在上恒成立，利用参数分类法，转化为二次函数求最值问题，即可求实数的取值范围；Ⅲ原方程等价于，利用换元法，转化为一元二次方程根的个数进行求解即可【详解】Ⅰ是函数的零点，，得；Ⅱ，，则不等式在上恒成立，等价为，，同时除以，得，令，则，，，故的最小值为0，则，即实数k的取值范围；Ⅲ原方程等价为，，两边同乘以得，此方程有三个不同的实数解，令，则，则，得或，当时，，得，当，要使方程有三个不同的实数解，则必须有有两个解，则，得【点睛】本题主要考查函数与方程根的问题，利用换元法结合一元二次方程根的个数，以及不等式恒成立问题，属于难题.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.18、（1）正确，；（2）（i）和，（ii）存在符合题意，理由见解析.【解析】（1）根据和谐区间的定义判断两个函数即可；（2）（i）根据是奇函数求出的解析式，再利用“和谐区间”的定义求出的“和谐区间”，（ii）由（i）可得的解析式，由与都是奇函数，问题转化为与的图象在第一象限内有一个交点，由单调性求出的端点坐标，代入可得临界值即可求解.【小问1详解】函数定义域为，且为奇函数，当时，单调递减，任意的，则，所以时，没有“和谐区间”，同理时，没有“和谐区间”，所以“函数没有“和谐区间”是正确的，在上单调递减，所以在上单调递减，所以值域为，即，所以，所以，是方程的两根,因为，解得，所以函数的“和谐区间”为.【小问2详解】（i）因为当时，所以当时，，所以因为是定义在上的奇函数，所以，所以当时，，可得，设，因为在上单调递减，所以，，所以，，所以，是方程的两个不相等的正数根，即，是方程的两个不相等的正数根，且，所以，，所以在区间上的“和谐区间”是，同理可得，在区间上的“和谐区间”是.所以的“和谐区间”是和，（ii）存在，理由如下：因为函数的图象是以在定义域内所有“和谐区间”上的图象，所以若集合恰含有个元素，等价于函数与函数的图象有两个交点，且一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.因为与都是奇函数，所以只需考虑与的图象在第一象限内有一个交点.因为在区间上单调递减，所以曲线的两个端点为，.因为，所以的零点是，，或所以当的图象过点时，，；当图象过点时，，，所以当时，与的图象在第一象限内有一个交点.所以与的图象有两个交点.所以的取值范围是.19、（1），；（2）.【解析】⑴把代入求出，，即可得到和⑵由得到，由此能求出实数的取值范围；解析：（1）若，则．，（2）因为,若，则，若，则或，综上，20、（1）（2）直线AB和OP一定平行．证明见解析【解析】由已知中圆C过点，且圆M：关于直线对称，可以求出圆心坐标，即可求出圆C的方程；由已知可得直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，设PA：，PB：，求出A，B坐标后，代入斜率公式，判断直线OP和AB斜率是否相等，即可得到答案【详解】由题意可得点C和点关于直线对称，且圆C和圆M的半径相等，都等于r设，由且，解得：，故原C的方程为再把点代入圆C的方程，求得故圆的方程为：；证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，则得直线OP和AB平行，理由如下：由题意知，直线PA和直线PB斜率存在，且互为相反数，故可设PA：，PB：由，得，因为的横坐标一定是该方程的解，，同理可得由于AB的斜率的斜率，所以直线AB和OP一定平