圆锥曲线大结论

二、基本性质与结论1.椭圆焦点三角形基本结论r,R分别为APFF的内接圆半径和外接圆半径，AA分别为椭圆左右端点，I为内接圆圆心，PF=m,PF=n,121212/PFF=p,ZPFF=,ZFPF=9,ZAPA=©B为PI的延长线交于工轴的交点。122112122b2mn2b2mn=—<1+cos9=a2ne>sin—，〈2a…0b,』—>tan，一<cot—b2a2cos9SAPFFm2+n2—4c22mnmne=1mnsin9=b2tan-；2:sin9e=sinP+siny(a—c)tan—2uno=R2'2,a2]b2—a2,b2Lb2—c2,a2—c2]C=4aAABF21rb11-顷）csin(P+y)sinP+sinya2<1r119r11—1sin2—<2-—1272ie7=2=2(1—e)e,fC2—c2lan2=(a+c》nr[29•9r9(一)9()…PIcos—=a—c:nsin—=——nr=PIsin—na2—c2々an—=Va+c)PI22PI•9()1sin—nva—c)k=PI29cos—2双曲线焦点三角形，IPF1=m,lPF1=n，ZFPF=91212SAF1PF29.tan—2八m2+n2—4c2cos9=n〈2b2mn=1—cos2mn2,+8/mne[b2,+^)mneSAPFF=1mnsin9=b2cot922x2y2-__椭圆S+~~=1上存在n个不同的的点P,P,x2y2-__椭圆S+~~=1上存在n个不同的的点P,P,8611则〃的最大值是（B）A.16B.15C.14D.133.乌龟模型：针对共焦点问题①.•00sm2—cos①.•00sm2—cos2—2+―2=1e2e2ii()0()a一c24an2=c2-a2>Cot万;1>sin0nee'e+e'

-4——2"2J2>ee>sin0x2y2②.已知椭圆q：云+丘=&]11>q>°)与双曲线%a+y=1(a2>°‘22>°）焦点重合，e,e分别为C,c1212b2b2的离心率，则t+*=b2+b2e2e21212证b2+证b2+b2ab+ab(b2+c2)b2+(c2—b2)b2b2+b2：e2e2c2c2c2c221，12b2b2,,t+f=b2+b2e2e21212解析:x2y2=182x2y2一.,1例：已知双曲线与椭圆—+/=1有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为y=±7；x,则此双曲线方程为：（）TOC\o"1-5"\h\z16624.圆锥曲线硬解定理：注意焦点若在y轴上，下列公式只需互换a2,b2.,x2y21;直线y=kx+m与椭圆+~—=1(a>b>°)相交于A,B两点。则:a2b2一-一一2ka2b2A=b2+a2k2—m2>°xy+xy=1222b2+a2k2—2kma2V%=b2+a2k2+2mb—2kma2V%=b2+a2k2+2mb212b2+a2k2a(m2—b2)12b2+a2k2b2(m2—a2k2)12b2+a2k22ab%1+k2\b2+a2k2—m2IAB1=b2+a2k2SAAOBabImI\；b2+a2k2—m22;直线y=kx+m与双曲线一a2A=b2—a2k2+m2>°；—22=1(a>°,b>°)相交于A,B两点。则b2一2ka2b2xy+xy=1222b2一a2k22kma2x1+x2=b2—a2k2+2mb212b2一a2k2一a2(m2+b2)12b2一a2k2b2(m2一a2k2)12b2一a2k22ab<1+k2、b2—a2k2+m2IABI=b2—a2k2abImI-v；b2—a2k2+m2AAOBb2—a2k25.与圆锥曲线焦点弦有关统一性质:FDeIAFIIABI2cos0+X2ecos0PFe四大统,卜面给出个别简单证明第四个和第二个,,pF|2-2人pF|2cos0egPF12双曲线：k椭圆yk（2）⑴FDeIAFIIABI2cos0+X2ecos0PFe四大统,卜面给出个别简单证明第四个和第二个,,pF|2-2人pF|2cos0egPF12双曲线：k椭圆yk（2）⑴"⑵2-2人pF|2cosO焦点在>轴上：、k（2）W，1]A+1j1+AjakA—12AcosOg（AB不平行y轴）的中点，则有：k若双曲线|p《|=A|PF，A>1,证明6.若如图椭圆|P《|=A|PFI，A>1,证明：eg两式相减得：一-2+y—y2=。[钏kA—1x2y2」._证明：设m队,y0）为椭圆—^+—2=】弦AB焦点在y轴上：、匕+A2——1+如时2IFDIIEFI/cosO(IABI/2—IAFI)/cosO1Iafie===—=—IABIIABIIABI2cosOIABIcosO2'垂直平分过焦点F的弦，垂足糜，交长轴（实轴、对称轴）n网2证明：AB|=1^，AF|=—^1—e2cos2O1+ecosO》)—2AcosOg1+A2+A|PFPF2_2IPF^Apf22—2AIPF|2cosO+ABk°MPF22IPF^aPf22—2AIPF|2cosO设A(x,y)，B(x,y)11222+A|PF|2—则有k=y1y2ABx—x得：即("+yg-y「=

(x+x)(x—x)b2因为M（x。,y0）是弦演的中点，所以kOMy2x%=oxo2yo+yOLb2,e2一1证明：法一如图：连结AB取PB中点M，连结OM，则OMPA，所以有y=七,由椭圆中点弦斜率公式得:a2法二:k-k设AR,七)8(-气",尸3,y)...k.所以kpA-kpBa2Ob2"PAPBy2一y2

1-x2一x21b2b2/—(x2—a2)一((x2—a2))a2a21八人一1,AF人+1.AF「8.下面我给出证明：内分弦：ecos。=以,洋奇＞1；外分弦:；ecos0=^,X=桥＞1；0均为该弦与焦点所在轴的夹角。证明：内：cos0=cosZMAB=ABAMAA1—BBaF+bFAM夕卜：cos0=cosZMAB=AA+BB

aF—BFXBFBFX—1八X—1=\necos0=e\X+17X+1XBFBF=~ch^=斛necos0=Mt+AF长ep=•1一ecos0外分弦AF长BF短epBF短=•1+ecos0AB内分弦2epepecos0一1'epecos0+1'AB=AF+BF长短1一e2COS20AB=AF+BF长短2ep

e2cos20一1mOep短i长ep=ep-e^Fc°s°i且OA±OB.则■A(xl,yl)O(x2,y2)B(x2,y2)b2+a2k2设b2a2证明：内：|AA|=p+|AF|cosOoe^AA|=ep+^AF|cosOnAF]^)+b2・2k2-a2k2)=0推论1.设l是经过椭圆兰+兰=1(a>b>0)焦点且倾角为O的直线，l与椭圆相交于A,B两点，O为中心，则lb>a>0)焦点且倾角为O的直线，l与双曲线相交于A,B两点，O为中心,夕卜:：BB=p-\BFcosOoeBB内：|BB1|=p+|BF|cosOoe\BBA(xl，yl)a2b2-一(由以上知m=±c化简即可)b2a2坐标原点，且OA*B.则出+丑+f=1Ia2b2nBF短ecosO+1汤-O=0充分必要条件是总—+—=1(a>b>0)m(m,0)nOA-OB=0oa2b2'=ep+eBFcosOnBFepecosO-14a2b2a2+b2推论2.设l是经过双曲线挡-尹=1Ga2b2；Smb的最小值是111..诙2=定值泰+商；㈣+网的最大值为9.相互垂直的半径倒数的平方和为定值(张角定理)若A、B为椭圆C:挡+22=1(a>b>0)上的两个动点，O为a2b2=1(b>a>0)上的两个动点，O为坐标原点，a2b2夕卜：AA|=|AFcosO-po^AA|=^AF^cosO-epnAFa2b2...若A、B为双曲线C:a2+b2ep1+ecosO4a2b2朽7：Saaob的最小值是b2-a211—11……林+顽—定值云—b;OA+OB的最小值为,v-3-1m2m2,1m2m2111^ok2=^o—=1—1^o—；——=1^o；——=1a2m2-b2a2+b2m2k2b2a2sin2Ob2a2m2sin2Oa2b2y=k(x-m)=kx-mk(k=tanO),OA-OBoxx+yy=0,o1212——=1(b>a>0)m(m,0)nOA-OB=0oa2b2'x2y2a2b2111—=——+一m2sin2Oa2b211=——1m2sin2Oa2b2a2(（由以上知m=±c化简即可）证10.双曲线渐近线性质大全OP，，A,B两点，1CD4解法1外分弦，4A'3例题：已知双曲线Cy=kx+mnk2x（由以上知m=±c化简即可）证10.双曲线渐近线性质大全OP，，A,B两点，1CD4解法1外分弦，4A'3例题：已知双曲线Cy=kx+mnk2x2+y2=2px+m2=0nx+x"i的直线与。的两条渐近线分别交于ne=—32km-2p八mn=0n—k2k5B'3b-+1b2=2——tan0a--12③直线与双曲线和渐近线分别交于A,B,C,D四点，则AC=BD②A,B为渐近线上关于原点O对称的两点，P为渐近线上任意一点则OA-OB=0充分必要条件是―1>0,b>0）的左右焦点分别为%乌推论3.抛物线y2=2px(p>0)与直线l:y=kx+m相交于A,B两点，且OA1OBnm=-2p①错误!未找到引用源。为渐近线上两点，P为AB的中点，pa-kPB2km—2p,xxk2i2bc—abtan20=ntan0=n—aba若3AF=2AB,FB-FB=0,则C的离心率为()2FBb人+1若：=X>1,0为过焦点（或不过焦点）的弦与焦点所在轴所形成的锐角，外分弦：一=-tan0FAa人一1FBbX—1八若：=X>1,0为过焦点（或不过焦点）的弦与焦点所在轴所形成的锐角，内分弦：一=-tan0FAaX+1则kAB•k7c—a3~b~y2解法2：S—AOABSAOAF-)解法2：S—AOABSAOAF-)3八3-=—ncos0=—24AB_BBtan0—.m:.cos0=v'1一m2,\tan以=—m\1一m2aOBk-1Mmk+1cbk+1tan0...—k-1人tan0ak-1-OA-c-sin<800-202—OA-c-sin02ne=,1+tan20=,.1+如图1,不妨设：AB=1,AC=X,ZCAB=0,ZBOA=a，由二=兰。=-不妨令：BB'=m,CC=mk，由ACCCk皿'5，mk=若EEnOB<=k-1cos0,AMAAk…如图2，不妨设：MB=1,AM=k,ZAMx=0,ZAOM—以，由——一不妨设：AA=km,BB—m,由BMCC1MA'O=ABB'O.AA-竺-一A^-巫nAO-k(mk一m)tan0BB'B'O(mk-m)tan0-A'Ommk(k-1)bAOfk+1tan0k-1八bk-1Q「.tana———————tan0一—tan0amkmkk+1ak+1⑥已知双曲线抒-y2—1(a>0,b>0),过右焦点F且平行于其一条渐近线的直线L与另一条渐近线交于点M,a2b2交与y轴于N点，交双曲线与Q，且点Q在FM之间，则M为NF的中点，即OM=MF=MN，e=「1+黑。QM…………,,一…—17⑦P交与y轴于N点，交双曲线与Q，且点Q在FM之间，则M为NF的中点，即OM=MF=MN，e=「1+黑。QM…………,,一…—17⑦P为双曲线上任一点，过点P做双曲线两条渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值5ab_..八.八_.....、.(ab、2与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为—IC)⑨在双曲线归：秒-苔=1(a>0,b>0)中，过右焦点F作一条渐近线的垂线，与双曲线交于M，垂足为P，则有a2b2Ja2ab'⑴点尸在右准线上，其坐标为*云，云)1FMb⑶设ZpOFMe=商(4)而Ja2ab'⑴点尸在右准线上，其坐标为*云，云)1FMb⑶设ZpOFMe=商(4)而a(1)—(3)易证，FMcMCMPFM；MPFMb下面我来证(4)°由双曲线的第一定义知：M=a'由相似得，布一河nb2—~b~nMpa⑩F、F分别是双曲线工-y2=1(a>0,b>0)左右焦点，P为双曲线异于端点的一点则APFF的内切圆圆心为12a2b212C(x0,y0)，例：点F、F2分别是双曲线x2-号=1的左右焦点，点p在双曲线上，则APF；F2内切圆半径r的取值范围是—A.(0,百)B.(0,2)C.(0,2)D.(0,1)答案：A斜率互补性TOC\o"1-5"\h\zx2y2①过椭圆二+―^=1(a>b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线b2xBC有定向且kBC=--0(常数).证明：设AB斜率为k，A(x,y),B(x,y),C(x,y)直线AB方程：y=k(x-x)+y=kx+y一kx00BBCC0000y=kx+y-kx00旦+=-2k(y―kx)a2旦=-2k(y―kx)a2―b2x―a2k2x=a2k2x―b2x―2kya2£+£=10Bb2+a2k2Bb2+a2k2b2+a2k2、a2b2艮B(a2k2x一b2x一2kya2一a2k2y+b2y一2b2kxb2+a2k2'b2+a2k2•b2x=0BCa2ya2k2x一b2x+2kya2一a2k2y+b2y+2b2kx、,C(气一,％——孔)，所以：kb2+a2k2b2+a2k2

—x2v2②过双曲线云-bT(口>°’b>0)上任一点g。'*)任意作两条倾斜角互补的直线父双曲线于B，C两点’则直b2xb2x=0BCa2y区a2V°V=k(x-x)+v=kx+v-kx证明：设AB斜率为k,A(x,v),V=k(x-x)+v=kx+v-kx00BBCCV=kx+v-kx02k(v-kx)a22k(v-kx)a2-b2x+a2k2xnx0+%=b20-a2k-以七=eb2-a2k2"0x2x2=］a2b2—a2k2x—b2x+2kva2a2k2v+b2v—2b2kx、即：0x2x2=］a2b2b2—a2k2b2—a2k2a2k2x—b2x—2kva2a2k2v+b2v+2b2k^°kb2xb2—a2k2'b2—a2k2bca2v0一a2k2x一b2x+2kya2000—b2—a2k2③过抛物线一a2k2x一b2x+2kya2000—b2—a2k2v0「.k+kACABv—v1+X^vM-半M-4v1+v02p2p2p2「.k+kACABv—v1+X^vM-半M-4v1+v02p2p2p2p=0nv+v+2v=0nv+v=—2v'-八’10zv—vv—v2p_2p_pBC===72^=77?F=—712—1212002p2p圆锥曲线得切线方程与切点弦方程x2v2xxvv1①若P(x,v)在椭圆一+；=1,(a>b>0)上，则过P的椭圆的切线方程是一^+W/=1.000a2b20a2b2x2v2、x2v2、x2v2…2x2vy八b2x证明：、p(x0,v0)在椭圆—+~b~—］上二f+b2—］，对—+b~—］求导得：—^b——°二v‘=—aaaa"’0切线方程为v-v0切线方程为v-v0=b2x0a2v0(x—x「即vva2—v2a2——xxb2+x2b2即vva2+xxb2=x2b2+v2a2—a2b2一.._.xxvvx2v2一同时除a2b2得证：—I—0—=—0-+—0-—1；a2b2a2b2y2Ax2y22x2yy八b2x写=1,对一—厂=1求导得：一—一=0y'=——0a2b2a2b2a2y0切线方程为V—V=竺。(x—x)即yya2-y2a2

oa2yo000=xxb2-x2b2即yya2—xxb2=y2a2—x2b2=—a2b2x2V2xxJJ1②若*。,y。y2Ax2y22x2yy八b2x写=1,对一—厂=1求导得：一—一=0y'=——0a2b2a2b2a2y0切线方程为V—V=竺。(x—x)即yya2-y2a2

oa2yo000=xxb2-x2b2即yya2—xxb2=y2a2—x2b2=—a2b2同时除-a2b2得证：旱—yy=竿—岑=1；a2b2a2b2③过抛物线y2=2px上一点P(x,y),则过p点的切线方程：yy=p(x+x).vx/A-z-J/LiIZJJ-I-八、、0，*/0，I八'、HJVJ/4/|J1:J•/0r0.2pp证明：对y2=2px求导：2yy=2pny^—=—2yy由点斜式：y—y=£(x—x)nyy=px—px+y2=px—px+2px=yy=p(x+x):0y00000000%④若P(x,y)在椭圆兰+y2=1,(a>b>0)外，则过P作椭圆的两条切线，切点为p,P，则切点弦PP的直线000a2b2。1212方程是军+牙=1.a2b2证明：设P(x,y),P(x,y)''1222xxyy4xx01+01=1,—0~^a2b2a2：yy」__2+勺M=1，因为点P,P在直线PP上

b21212且同时满足方程，xx=1，所以PP:十+12a2_,x2y2⑤若P(x,y)在双曲线一—：=1(a>0,b>0)外，则过P作双曲线的两条切线切点为P,P，则切点弦PP的000a2b201212„xxyy4直线方程是=1.a2b2证明：设P(x,y),P(x,y)，111222—=1，所以ppw—=1¥2=1，因为点P,P在直线PP上，且同时满足方程b21212⑥若P(x,y)在抛物线y2=2px(p>0)外，则过p作抛物线的两条切线切点为p,p，则切点弦pp的直线方00001212程是y0y=p(x+x0).证明：设P(x,y),P(x,y)，yy=p(x11122210■+x)，yy=p(x+x)因为点P,P在直线PP上，且同时满足0120021212方程yy=p(x+x)，所以PP:yy=p(x+x)

001200-x)na2yy-a2y2+b2xx-b2x2=000000b2x，证明：y-y=vx0a2y077xxyyx2y2nb2xx+a2yy=b2x2+a2y2n—0—+-b—=—^~+产x2y2x2y2xxyyTOC\o"1-5"\h\z②若p(x,y)在椭圆—=1,(a>b>0)内，则过p的弦中点的轨迹方程是—=—^+~°~000a2b20a2b2a2b2证明：——0•―=^na2y2—a2yy+b2x2—b2xx=0x—xxa200^^b2x2+a2y2=b2xx+a2yy^n—+-=—0——0—00a2b2a2b2③若P(x,y)在双曲线兰—=1(a>0,b>0)内，则被P所平分的中点弦的方程是竖—皇=y—000a2b20a2b2a2b2证明：y-y=入*0(x-x)na2yy—a2y2—b2xx+b2x2=00a2y00000xxyyx2y2——n-b2xx+a2yy=-b2x2+a2y2—>—00—=—00-x2y2x2④若*°,y0)在双曲线a-F10>°，b>0)内，则过马的弦中点的轨迹方程是云-证明：—一y0•y=竺—a2y2—a2yy—b2x2+b2xx=0x-xxa200x2y2xxyy—-b2x2+a2y2=-b2xx+a2yy—况=—e-0r—⑤过抛物线y22px(p0)上内一点P(x,y),则被占⑤过抛物线y2rJ八、、\0〉*7。/，八」IK八、、0〃II/JhjI八、-tL7J，1工：证明：设A(x，y),B(x,y),P(x,y)，112200y-—y-y证明：设A(x，y),B(x,y),P(x,y)，112200y-—y-y2p2ppkAB=U=*2T=厂T=斯"12—112002p2p由点斜率式：y-y0=子(x-%),y0丰0J/ti\/JJ\1-r。八、、\0>*/0/，八」0^」」—I八、、无/|土ACS0x，证明：yy0」ny2Ayy=px—pxn2px—yy=px—pxnyy=p(x+x)x—x°y000000蒙日圆定理若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.证明：当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是(±〃,b)，或(±a,-b).当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是(x°,y°)(x。壬土a,且y。壬土b)，所以可设曲线「的过点P的切线方程是y―*=k(x-x0)(k丰0).由<(a2k2+b2)x2一2ka2(kx一y)x+a2(kx一y)2一a2b2=0由其判别式的值为0，得0000(x2—a2)k2一2xyk+y2+b2=0(x2—a2。0)00000y2+b2因为k,k是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以k-k=PAPBPAPBx2一a2由此，得k-k=—1ox2+y2=a2+b2进而可得欲证成立.PAPB00x2y2②双曲线a一*小a〉b〉0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x2+y2=a2一b2；③抛物线》2=2px的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.15.已知椭圆S*A=，(a*>°)，焦点三角形APFi与内切圆圆心加，PI的延长线交x轴于R，则°=靠证明：略以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切。(研究圆心距))=a—1PF\211证明：取PF】中点M，连接OM，令圆的直径为PF)=a—1PF\211—PFiOM=-PF2以双曲线的任意焦半径为直径的圆，大的圆与圆x2+y2=a2内切，小的圆与圆x2+y2=a2外切。。研究圆心距)

证明：取PF】中点M，连接OM，令圆的直径为尸七半径为—PFi-a=r-a。其余同理同理。OM=1-a=r-a。其余同理同理。=1@F-2a)=1PF

2①以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切，且切点为焦点弦所投影在V轴所形成线段的中点。以抛物线焦半径为直径的圆与所对应的V轴相切，切点为焦半径所投影在V轴所形成线段的中点。以抛物线焦点弦所投影在V轴所形成线段为直径作圆，与焦点弦相切，切点为焦点F。,(V+V丰0).ABV1+V111②若AB是抛物线V2=2px(p>0)的两点A(x,v)B(x,v)则上+KoaKob1K,(V+V丰0).ABV1+V111②若AB是抛物线V2=2px(p>0)的两点A(x,v)B(x,v)则上+KoaKob1KAB写一

12~11=土+笔=土+2p=V±4V1V2V1V22pkab③若AB是抛物线x2=2pv(p>0)的两点aG],V])B(x2,V2)证明：——+——KoaKobOA抛物线硬解定理:①抛物线:2=2px,「I=kx+m2p-2kmx+x=——,V+V

12k2122mpk_2p_~~k~；xV+xV=71221k22mp4p2-8pkm，IABI=v1+k2：——-—②抛物线:V2=2px…、，，•••'V=k(x-m)=