线性代数-实对称矩阵的对角化课件

1实对称矩阵的对角化第三节1实对称矩阵第三节2

并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.

为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要研究向量内积和正交的概念和性质。2并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.3定义两个n维向量向量的内积具有如下基本特性：证略.一、向量的内积,正交和长度3定义两个n维向量向量的内积具有如下基本特性：证略.一、向量4向量长度的性质:由定义可知定义例1证4向量长度的性质:由定义可知定义例1证5二、正交向量组和正交矩阵定义显然零向量与任何向量都正交。☎☎n维基本单位向量组是两两正交的。显然有5二、正交向量组和正交矩阵定义显然零向量与任何向量都正交。☎6例2解即得所求向量为6例2解即得所求向量为7定义若非零向量两两正交，则称之为正交向量组。定理正交向量组必线性无关。证设是正交向量组，7定义若非零向量两两正交，则称之为正交向量组。定理正交向量组8施密特正交化方法证略。8施密特正交化方法证略。9例3解用施密特正交化方法，将下列向量组正交化：9例3解用施密特正交化方法，将下列向量组正交化：10例4解将向量组标准正交化.10例4解将向量组标准正交化.11再单位化,11再单位化,12例5解它的基础解系为再正交化，12例5解它的基础解系为再正交化，13正交矩阵的性质：证定义若n阶矩阵Q

满足则称

Q为

正交矩阵。13正交矩阵的性质：证定义若n阶矩阵Q满足则称Q为14

Q为正交矩阵的充分必要条件是Q的列向量组是单位正交向量组．证明定理14Q为正交矩阵的充分必要条件是Q的列向量组是单位正交15是单位正交向量组．同理,由可知Q的行向量组是单位正交向量组.15是单位正交向量组．同理,由可知Q的行向量组是单位正交向16Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：(3)Q的行向量是两两正交的单位向量.(4)Q的列向量是两两正交的单位向量.16Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：(3)Q的行17例6

判别下列矩阵是否为正交矩阵．解(1)不是正交矩阵．17例6判别下列矩阵是否为正交矩阵．解(1)不是正交矩18(2)所以它是正交矩阵．18(2)所以它是正交矩阵．19练习验证矩阵是正交矩阵.

P每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以P是正交矩阵。19练习验证矩阵是正交矩阵.P每个列向量都是单位向20实对称矩阵的特征值都是实数.三、实对称矩阵的相似对角化定理并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.证证略.实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.定理只证两个特征向量的情况.20实对称矩阵的特征值都是实数.三、实对称矩阵的相似对角化定21定理证略.具体计算步骤如下：(1)求出实对称矩阵A的全部特征值；(2)若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化；

若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化；

(3)将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵P。

21定理证略.具体计算步骤如下：(1)求出实对称矩阵A的全22例7解设求正交阵P，再单位化,22例7解设求正交阵P，再单位化,23于是所求正交阵为使23于是所求正交阵为使24例8解设求正交阵P，特征向量24例8解设求正交阵P，特征向量25特征向量25特征向量26再单位化,拼起来得使26再单位化,拼起来得使27解例9设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；属于特征值1,2的特征向量分别为

(1)

求属于特征值3的特征向量；(2)

求矩阵A.

矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交,于是有

由于实对称即解齐次线性方程组,其系数矩阵为

27解例9设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；属于28属于特征值3的特征向量为

(2)所以28属于特征值3的特征向量为(2)所以29解例10

对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值29解例10对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵30解之得基础解系解之得基础解系30解之得基础解系解之得基础解系31解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化31解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将32323333343435于是得正交阵35于是得正交阵363637ENDEND37ENDEND38实对称矩阵的对角化第三节1实对称矩阵第三节39

并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.

为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要研究向量内积和正交的概念和性质。2并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.40定义两个n维向量向量的内积具有如下基本特性：证略.一、向量的内积,正交和长度3定义两个n维向量向量的内积具有如下基本特性：证略.一、向量41向量长度的性质:由定义可知定义例1证4向量长度的性质:由定义可知定义例1证42二、正交向量组和正交矩阵定义显然零向量与任何向量都正交。☎☎n维基本单位向量组是两两正交的。显然有5二、正交向量组和正交矩阵定义显然零向量与任何向量都正交。☎43例2解即得所求向量为6例2解即得所求向量为44定义若非零向量两两正交，则称之为正交向量组。定理正交向量组必线性无关。证设是正交向量组，7定义若非零向量两两正交，则称之为正交向量组。定理正交向量组45施密特正交化方法证略。8施密特正交化方法证略。46例3解用施密特正交化方法，将下列向量组正交化：9例3解用施密特正交化方法，将下列向量组正交化：47例4解将向量组标准正交化.10例4解将向量组标准正交化.48再单位化,11再单位化,49例5解它的基础解系为再正交化，12例5解它的基础解系为再正交化，50正交矩阵的性质：证定义若n阶矩阵Q

满足则称

Q为

正交矩阵。13正交矩阵的性质：证定义若n阶矩阵Q满足则称Q为51

Q为正交矩阵的充分必要条件是Q的列向量组是单位正交向量组．证明定理14Q为正交矩阵的充分必要条件是Q的列向量组是单位正交52是单位正交向量组．同理,由可知Q的行向量组是单位正交向量组.15是单位正交向量组．同理,由可知Q的行向量组是单位正交向53Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：(3)Q的行向量是两两正交的单位向量.(4)Q的列向量是两两正交的单位向量.16Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：(3)Q的行54例6

判别下列矩阵是否为正交矩阵．解(1)不是正交矩阵．17例6判别下列矩阵是否为正交矩阵．解(1)不是正交矩55(2)所以它是正交矩阵．18(2)所以它是正交矩阵．56练习验证矩阵是正交矩阵.

P每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以P是正交矩阵。19练习验证矩阵是正交矩阵.P每个列向量都是单位向57实对称矩阵的特征值都是实数.三、实对称矩阵的相似对角化定理并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.证证略.实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.定理只证两个特征向量的情况.20实对称矩阵的特征值都是实数.三、实对称矩阵的相似对角化定58定理证略.具体计算步骤如下：(1)求出实对称矩阵A的全部特征值；(2)若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化；

若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化；

(3)将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵P。

21定理证略.具体计算步骤如下：(1)求出实对称矩阵A的全59例7解设求正交阵P，再单位化,22例7解设求正交阵P，再单位化,60于是所求正交阵为使23于是所求正交阵为使61例8解设求正交阵P，特征向量24例8解设求正交阵P，特征向量62特征向量25特征向量63再单位化,拼起来得使26再单位化,拼起来得使64解例9设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；属于特征值1,2的特征向量分别为

(1)

求属于特征值3的特征向量；(2)

求矩阵A.

矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交,于是有

由于实对称即解齐次线性方程组,其系数矩阵为

27解例9设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；属于65属于特征值3的特征向量为

(2)所以28属于特征值3的特征向量为(2)所以66解例10

对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(