高中二年级理科数学期末专题复习――随机变量及其分布(答案)

高二理科数学期末专题复习 随机变量与其分布考点一：离散型随机变量与其分布列题型1:离散型随机变量分布列的计算.求选择甲线路旅游团数的分［例1］旅游公司为3个旅游团提供4.求选择甲线路旅游团数的分解析：设选择甲线路旅游团数为E,那么E=0,1,2,3P(E=0)332764P(E=1)C3322764,P(E=2)C；3"7^64,p池=3〕峠右E的分布列为:0123272791P64646464［名师指引］求离散型随机变量分布列时，应明确随机变量可能取哪些值，然后计算其相应的概率填入相应的表中即可。010123p0.1mn0.1—101P121—2q2q［练习］•老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中 2篇才能与格•某同学只能背诵其中的6篇，试求：〔1〕抽到他能背诵的课文的数量的分布列； 〔2〕他能与格的概率.题型2:离散型随机变量分布列的性质的应用［例2］某一随机变量的概率分布如下表，且m2n1.2,那么mn的值为〔)A.—0.2;B.0.2;C.0.1;D.—0.1解析：由mnO.21，又m2n1-2，可得m芋0.2答案：B［练习］•设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求 q的值解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于 1,

1212qq1所以2°12q1解得q1 -。22q1考点二：二项分布与超几何分布题型1：条件概率例1一储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从°〜9中任选一个•某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字•求： (1)任意按最后一位数字，不超过 2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过 2次就按对的概率.解析：设事件A(i1,2)表示第i次按对密码 1⑴卩( 1⑴卩(阳入)9⑵事件入A表示恰好按两次按对密码，那么P(AA)P(A)P(A2|A)9 1 11° 9 1°⑶设事件B表示最后一位按偶数，事件解：设B表示取得一等品，⑶设事件B表示最后一位按偶数，事件解：设B表示取得一等品，A表示取得合格品，那么(1)因为1°°件产品中有7°件一等品，P(B)丄° °.71°°⑵方法一：因为95件合格品中有7°件一等品，所以；BAABBP(BA)7°950.7368方法二:P(BA)込P(A)7°1°°951°°°.7368AAAA2表示不超过2次按对密码，因为事件A与事件TOC\o"1-5"\h\z一 一 1412AA2为互斥事件，由概率的加法公式得： P(AB)P(A1B)P(AAB)-——一5 54 5变式：任意按最后一位数字，第 3次就按对的概率？［练习］•1.设10°件产品中有7°件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品.从中任取 1件,求(1)取得一等品的概率；(2)取得的是合格品，求它是一等品的概率.5，既刮风又下雨的概率为1°,2•某地区气象台统计，该地区下雨的概率是15,刮三级以上风的概率为设A为下雨，B为刮风，求：(1)P(AB)； (2)P(5，既刮风又下雨的概率为1°,题型2: 两点分布与超几何分布的应用［例3］高二(十)班共5°名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会,所取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布如何？解析：从5°名学生中随机取5人共有c°种方法，没有女生的取法是g；c35,恰有1名女生的取法是

C；5C；5，恰有2名女生的取法是c!5c35，恰有3名女生的取法是C；5C5，恰有4名女生的取法是Ci；C；5,恰有5名女生的取法是c155c35,因此取出的5名学生代表中，女生人数 X的频率分布为：X012345PC0C5C15C35C1G5c©gC5c0C15C35c5C50c50c50c50c50c5C50［例4］假设随机事件A在1次试验中发生的概率是P，用随机变量表示A在1次实验中发生的次数。〔1〕2D1求方差D的最大值；〔2〕求一1的最大值。E［解题思路］:〔1〕问题；由两点分布，分布列易写出，而要求方差D的最大值需求得D的表达式,转化为二次函数的最值(2)21 2(pp) 1［解题思路］:〔1〕问题；由两点分布，分布列易写出，而要求方差D的最大值需求得D的表达式,转化为二次函数的最值(2)21 2(pp) 1解析:2D得到E〔1〕 的分布列如表：所以12p-后自然会联想均值不等式求最值。P(0P)2(1P)(1P)2(1P)P211；所以P2时，22(PP)122pP2D1时取等号，所以 1的最大值是2 22。E22PP2 22，当且仅当1有最大值 。42P二.游戏者解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得P(X4).游戏者解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得P(X4)C10C20

c3°0.029个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同［练习］.在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少?2•假定一批产品共100件，其中有4件不合格品，随机取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布如何？解：从ioo件产品中随机取6件产品共有c10o种方法，都是合格品的取法是 C0C96，恰有i件不合格品的取法是c4c96,恰有2件不合格品的取法是 c：c：6，恰有3件不合格品的取法是 c：c；6，恰有4件不合格品的取法是C：C；6。因此取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布为:X01234PC0q6C4C96c1c96cMC3q3C4C96c：c96C6C100C100C00c600C00题型3:独立重复试验与二项分布的应用取出后记下球的颜色，然后［例5］一口袋装有5个黄球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个,取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数是一个随机变量,那么P(12)=解析：P(12)C191(|)9(5)2IC191(|)10(|)2［例6］某人对一目标进行射击，每次命中率都是 ［例6］某人对一目标进行射击，每次命中率都是 0.25,击几次？解析：假设使至少命中1次的概率不小于 0.75，至少应射解：设要使至少命中 1次的概率不小于0.75，应射击n次.记事件•••射击n次相当于n次独立重复试验，二事件A至少发生1次的概率为P记事件•••射击n次相当于n次独立重复试验，二事件A至少发生1次的概率为P1Pn(0) 10.75n.1由题意，令10.75n0.75 (上)n4答：要使至少命中1次的概率不小于0.75,lg1•n飞4.82,•n至少取5.至少应射击5次.［练习］.1•某种植物种子发芽的概率为 0.7，那么4颗种子中恰好有3颗发芽的概率为2•假设某射击手每次射击击中目标的概率是 °.9，每次射击的结果相互独立，那么在他连续 4次的射击中,第1次未击中目标，但后3次都击中目标的概率是多少？考点三：离散型随机变量的期望和方差［例1］旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条(I)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率;(H)求选择甲线路旅游团数的分布列和期望A=“射击一次，击中目标〞，那么P(A)0.25.p=ja|243 IPp=ja|243 IP(E=0)=334312C333~27乔…=1)=42764P(E=2)=書439P(E=3)=64164•••E的分布列为:［解题思路］:先求分布列，再用公式求期望•解析：(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为:10分(2)设选择甲线路旅游团数为

10分TOC\o"1-5"\h\z•••期望EE=0x^7+lx^7+2X2+3X丄=? 12 分64 64 64 644［例2］一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有 4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得 5分，不作出选择或选错不得分，总分值 100分一学生甲选对任一题的概率为 0.9，学生乙那么在测验中对每题都从 4个选择中随机地选择一个， 求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望+［解题思路］:利用二项分布的随机变量的期望 EE=np+解析：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是那么~B(20,0.9), ~B(20,0.25), E200.9 18,E 200.25 5.由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是 5和5•所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：E(5) 5E() 518 90,E(5) 5E() 55 25.［例3］袋中有20个大小相同的球，其中记上 0号的有10个，记上n号的有门个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.表示所取球的标号.(I)求的分布列，期望和方差；(I)求的分布列，期望和方差；(n)假设ab,E1,D11,试求a,b的值.［解题思路］:本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以与根本的运算能力解析：(I)的分布列为:01234P111312201020511131E0-12 34 1.5.22010205(01.5)21(11.5)2—(22121.5)2 (31.5)23(4 1.5)2 试求考试成绩位于区间(70, 试求考试成绩位于区间(70,110)上的概率是多少？22010205(n)由D a2D，得a2x2.75=11,即a2.又EaEb,所以当a=2时，由1=2X1.5+b,得b=-2; 当a=-2时，由1=-2x1.5+b,得b=4.a2,或a2,即为所求.b2b4［练习］•1•3 —,且D13，那么D的值为•812•随机变量 ~B(4,—)，贝UD的值为.33.掷一枚均匀的骰子，以 表示其出现的点数.(1)求的分布列； (2)求P(1 3);(3)求E、D的值.正态分布中的三个概率：P(X)；P(3X3)考点四：正态分布P(2X2);44、12 ，求该正态分布的例1. 假设一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于概率密度函数的解析式.解析:=0. 〔T=4.该正态分布的概率密度函数的解析式为x€〔-g，+g〕例2.在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即 〜N(90,100).一共有2000名考生，所以考试成绩在〔80,100〕间的考生大约有2000X0.6826沁1365〔人〕［练习］1•期望是2•［练习］1•期望是2•假设随机变量X2,标准差为〜N〔5,22〕,那么P〔3X7〕.课堂小测:1.假设P(n)1a，P(m)1b，其中mn,那么P(mn〕等于〔)•1.假设P(n)1a，P(m)1b，其中mn,那么P(mn〕等于〔)•A.(1a)(1b)Ba(1b)C.1(ab)b(1a)2.设随机变量 的分布列为P(9 11A.1;B.;C.13 133.某气象站天气预报的准确率为A. 0.2B . 0.41 C1.i〕a〔3〕，,i1,2,3,27D.1380%那么5次预报中至少有4次准确的概率为〔〕0.74那么a的值为〔D4•设随机变量N〔2,4〕，那么d(20.67A.1B.2C5.P(A)0.55.P(A)0.5,P(B)0.3,P(AB)0.2，那么P(AB)=,P(BA)=.〔I〕所选3人中至少有〔I〕所选3人中至少有1名女生的概率;〔H〕设随机变量表示所选3人中的女生人数。写出的分布列并求出 的数学期望。解析：〔I〕设所选三人中至少有1名女生的事件为A如果生男孩和生女孩的概率相等，求有 3个小孩的家庭中至少有2个女孩的概率设随机变量 可能取值为0,1，且满足P〔1〕p,P〔0〕1p，那么D=.4 2N〔Q：〕 〔,匚〕&正态总体 9，那么数据落在 3的概率是.9.假定一批产品共100件，其中有4件不合格品，随机取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布如何？X01234P|gLg|gJ取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布为:10.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。P(A)=1 £ 1 1c3 5〔n〕E可能取的值为0,1,2,分Pk.C2Ck=0,1,2E的分布列为E0 1 2p131555EA110EA110120125130135P0.10.20.40.10.211.有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下:EB100115125130145P0.10.20.40.10.2131,EE=0-1-21555120,试120,试比拟),成绩X位其中Ea、Eb分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度•在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于AB两种钢筋哪一种质量较好+解：先比拟EA与EB的期望值，因为EEa=110X0.1+120X0.2+125X0.4+130X0.1+135X0.2=125,EEb=10