高中数学同步讲义分册-选修2-32.正态分布

正态分利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义．(重点)能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．(重点会根据正态曲线的性质求随量在某一区间的概率．(难点[基础·初探整理1 阅读P70～P72，完成下列问题． 若 我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线2．如果对于任何实数a，b(a<b)，随量X满足P(a<X≤b)＝bφμ，σ(x)，a称随量X服从正态分布μσN(μ，σ2)．如果随量XX～N(μ，σ2)．判断(正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( 正态曲线是一条钟形曲线 离散型随量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随量的概率分布用分布列描述．()【解析】(1)×因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随量取值的平均水平的特征数可以用样本的均值去估计而σ是衡量随量总体波动√因为离散型随量最多取可列出的不同值．而连续型随量可√×因为离散型随量的概率分布规律用分布列描述，连续型随【答案】(1)× (2)√(3)√(4)×整理2 正态曲线的特点及3σ原则阅读P72～P74，完成下列问题．曲线位于x轴上方，与x曲线是单峰的，它关于直线x＝μσ曲线在x＝μ处达到峰值σ曲线与x当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μx的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．3σ若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数

通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)3σ已知随量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)等于 5533

4242【解析】由题意知X2，因此【答案】

把一条正态曲线a2得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的 ．(填序号①曲线b②曲线a和曲线b③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a【解析】2个单位，σ不发生变化，故③【答案】XN(1，σ2)(σ>0)X在内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率 【解析】∵X服从正态分布∴X在(0,1)与(1,2)∴X在(0,2)【答案】2＝正态分布的概率密度函数 1 2＝ 【导学号 【解析】由题意可知X～N(5,4)所以P(3<X≤7)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682【答案】0.682[小组合作型2-4-1所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随量的期望和方差．【点拨】给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随量的期望、标准差及解析式．【自主解答】x＝20最大值是12 1 ，得σ＝ 2f(x)＝1 2总体随量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(μ，σx＝μσ正态曲线在x＝μ处达到峰值 σ[再练一题1.设两个正态分布N(μ1，σ2)(σ1>0)和N(μ2，σ2)(σ2>0) 2-4-2所示，则有( 【解析】根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形A.【答案】(1)已知随 量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且则 (2)N(1,4)X在(－1,1)【点拨】(1)根据正态曲线的性质对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1,3)x＝1对称知，X在(－1,1)内取值【自主解答】(1)∵随量X服从正态分布∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.【答案】(2)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682x＝1

－1＜X＜3)≈0.341x＝μ对称的区间上概率相等．如：“3σ”X落在区间＋3σ]0.6827,0.9540．9973[再练一题2．设随量X～N(2,9)，若(1)c的值；(2)【解】(1)X～N(2,9)x＝2对称(如图所示)，P(X>c＋1)＝P(X<c－1)2－(c－1)＝(c＋1)－2，c＝2.0．9544.[探究共研型1ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形【提示】μ＝42ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]1000件这种的零件中约有多少件一等品？【提示】P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0.682710001000×0.6827≈683(件)探究3某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)．质检从该厂生产的1000件这种零件中随机一件测得它的外直径为5.7cm.试问该厂生产【提示】N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，即(2.5,5.5)0.0035.7∈(2.5,5.5)．X～N(110,202)，且知15054(分以上)130【点拨】将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率【自主解答】＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682∴P(X－μ≤－σ)≈0.158∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.1587≈0.841∴54×0.8414≈45(人)45＝0.682∴P(X－μ≥σ)≈0.1587P(X≥130)＝0.158∴54×0.1587≈9(人)13093σ区间，由特殊区间[再练一题从某城市的南郊乘车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时X(单位：分)X～N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站【解】 ＝2×0.9545＋2×0.6827＝0.818即他在(30,60]0.818正态分布密度函数为φμ(x)＝1 ，x∈(－∞，＋∞)，则总体的均数和标准差分别是 和 B．0和C．0和 D．0和【解析】【答案】设随量X～N(3,1)，若P(X>4)＝p，则 【解析】X～N(3,1)μ＝3

p【答案】

若随量X～N(μ，σ2)，则 【解析】由于随量X～N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线X＝μ

【答案】2已知随量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.84，则 【导学号 【解析】X～N(2，σ2)x＝2，则【答案】【解】P(ξ≤1)＝0.8413P(ξ>1)＝1－0.8413＝0.1587P(ξ≤－1)＝0.1587P(－1<ξ≤0)＝0.5－0.1587＝0.3413.学业分(建议用时：45分钟)1设 量ξ～N(2,2)，则 2 2【解析】1 【答案】

1 若 量X的密度函数为

e内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为 【解析】由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1x＝0【答案】已知某批材料的强度X服从正态分布N(200,182)，现从中任取一件182218的概率为()A．0.997 B．0.682C．0.841 D．0.815＋σ)＝0.682【答案】某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.0225)，单位：mm，今从该厂上、下认为()【解析】3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为【答案】已知某批零件的长度误差(单位：毫米)N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%， 【解析】P(－3＜ξ＜3)＝0.682＝0.954故 0.9545－0.682 ＝0.135【答案】f(x)在 时达到最高点【导学号 【解析】x＝μx＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)0.5μ＝0.2.【答案】 【解析】＝0.954【答案】0.954

＝2

N(μ，σ2)，在一次正常1000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有 【解析】P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.9973，所以不属于区间＋3σ)1000×(1－0.9973)＝2.7≈3【答案】XN(2，σ2)(σ>0)X在(0,2]内0.2，求：(1)X在(0,4]【解】(1)X～N(2，σ2)x＝2P(0<X≤2)＝P(2<X≤4)

XX位于区间(70,110)2000名学生，试估计考试成绩在(70,110)间的考生大约【解】X～N(90,100)，μ＝90，σ＝100＝10.X在区间(μ－2σ，μ＋2σ)0.954X位于区间(70,110)0.9545.由(1)P(70<X<110)＝0.954所以估计成绩在(70,110)2000×0.9545＝1909(人[能力提升在如图2-4-3所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( B．2C．3 D．4X～N(μ，σ2)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954【解析】P(－1<X≤1)＝0.6827P(0<X≤1)≈0.3414

0.341

3【答案】

×1×1N(0,1)P(－1.96)＝0.025 【解析】由随量ξ服从正态分布N(0,1)，得【答案】 【导学号 【解析】由题意知区间(－3，－1)与(3,5)x＝μ【答案】500(1)500件产品质量指标值的样本平均数xs2(同一组中的