二元一次方程组知识点及典型例题

二元一次方程组小结与复习一、知识梳理(一)二元一次方程组的有关概念.二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1的方程叫作二元一次方程。.二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。任何一个二元一次方程都有无数个解。.方程组和方程组的解(1)方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。(2)方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。4.二元一次方程组和二元一次方程组的解(1)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。(2)二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。(二)二元一次方程组的解法： 1.代入消元法 2.加减消元法二、典例剖析题型一1.二元一次方程及方程组的概念。二元一次方程的一般形式： 任何一个二元一次方程经过整理、化简后，都可以化成axbyc0(a,b,c为已知数，且a*0,b*0)的形式，这种形式叫二元一次方程的一般形式。练习1、下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？1 1一(A)6x25z6x(B) 7 (C).xy(D).xy2xy1xy练习2、若方程(m1)xm3y5n94是关于x、y的二元一次方程，求mn的值练习3、(1)若方程(2*6)x1n11+(n+2)ym28=1是二元一次方程，则m=?n=专题二：二元一次方程组的解法： 解二元一次方程组的基本思想是消元转化。(一)、代入消元法：1、直接代入例1解方程组y2x3, ①4x3y1. ②

跟踪训练：解方程组:xy90(i) ，(2)y3x75x2y82、变形代入解方程组5x3xy4y9,10.跟踪训练:(1)2xy(2)y3x75x2y82、变形代入解方程组5x3xy4y9,10.跟踪训练:(1)2xy4，4x5y23.x5y20,3xy12.(2)x3x2y7y27①②4x8y123x2y5②（二）、加减消兀法例题、解方程组（1）xy43x4y53x5y13,(2)(3).2xy52x2y34x3y10.、一4x跟踪训练：（1）3x2y2y107(3)i②2口+4尸=10 (2)(4)2iy0&5x2y152x3y20—2y9⑹1V1，3x2y10;（三）、选择适当的方法解下列方程组(1)y23(x1),2(y1)(x3)5.⑵2(x4)(y3) 44(x4)5(y3) 23111(y2)3(4)3(x1)4(3y4) 3♦2—y+2=025_2x=^+23 6题型三：代数式的变形1、在方程3工-；尸=5中，用含近的代数式表示了为：y=,当x=3时，＞O2、在二元一次方程x+2y=11中，用含x的式子表示y得题型四：有关二元一次方程组的解：(1)二元一次方程3a+b=9在正整数范围内的解的个数是.(2)已知(3x—2y+1)2与|4x—3y—3|互为相反数，贝Ux=2y= (3)若方程组3x2ym3的解互为相反数，求m的值。16k,并求当解满足方程16k,并求当解满足方程4x-3y=21时的k值.10k(4)解关于x,y的方程组3X2y5x4yax3by12.若万程组, 与万程组2xy53x4y23y 有相同的解，求a,b的值。2axby10(6):若方程组2x3y4(6):若方程组4x5y6的解是方程ax-by=4的解，你能求出a、b的值吗?题型五：墨渍题练习1、已知方程组axby3,甲正确的解得x2,而乙粗心，把c看错了，解得5xcy1 y3x3,求a、b、c的值。y6

练习2、一个被滴上墨水的方程组如下:•x・y2•x7y8，小明回忆到：“这个方程组的解为而我求出的解是2,练习2、一个被滴上墨水的方程组如下:•x・y2•x7y8，小明回忆到：“这个方程组的解为而我求出的解是2,经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程2中x的系数所致"，请你根据小明的回忆，把原方程组还原出来。练习 . mx3:小明和小华同时解方程组2xy5，小明看错了ny137X—ml解彳导x2，小华看错y2了n,解得x3,则原方程组正确的解是多少?y7题型六：方程组的解的情况例题.已知关于x,y例题.已知关于x,y的方程组ax2y1a2x2(a1)y3当a当a为何值时，方程组（1）有唯一一组解；（2）无解;（3）有无穷多组解.变式：（1）当a为何值时，方程组ax2y…有唯一的解3xy33**w=3②(3)-(1): (6-a)x=55当aw6时，方程有唯一的斛x 变式：（1）当a为何值时，方程组ax2y…有唯一的解3xy33**w=3②(3)-(1): (6-a)x=55当aw6时，方程有唯一的斛x 6ax2y1当m为何值时，方程组 y 有无穷多解?2xmy2「x+2y=l①2x+ngr=2②u —(1)X2:2x+4y=2 (3)⑶-(2): (4-m)y=04-m=0即m=4,有无穷多解(1)分析:题型七：应用题（分配调运问题）某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽 9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍,到两个工厂的人数各是多少?甲厂人数乙厂从甲厂曲g）金立厂由E人f解：设到甲工厂的人数为x人，到乙工厂的人数为题中的两个相等关系：1、抽9人后到甲工厂的人数=到乙工厂的人数可列方程为：x-9=2、抽5人后到甲工厂的人数=可列方程为： （行程问题）甲、乙二人相距6km,二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行,时相遇。二人的平均速度各是多少?解：设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米镇口全市人口今:年明军题中的两个相等关系：1、同向而行：甲的路程二乙的路程+可列方程为： 2、相向而行：甲的路程+=可列方程为： （百分数问题）某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口将增加1%,求这个市现在的城镇人口与农村人口？解：这个市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人题中的两个相等关系：1、现在城镇人口+=现在全市总人口可列方程为：

2、明年增加后的城镇人口+=明年全市总人口可列方程为：（1+0.8%）x+=（分配问题）某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个，若每人4个，则有一个少1个,问幼儿园有几个小朋友？ 解：设幼儿园有x个小朋友，萍果有y个题中的两个相等关系：1、萍果总数=每人分3个+可列方程为:（浓度分配问题）要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？解：设含盐10%的盐水有x千克，含盐85%题中的两个相等关系：1、萍果总数=每人分3个+可列方程为:（浓度分配问题）要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？解：设含盐10%的盐水有x千克，含盐85%的盐水有y千克。 题中的两个相等关系 ：+含盐85%的盐水中盐的重量=可列方程为：10%x+=2、含盐10%的盐水重量+含盐85%的盐水重量=可列方程为：x+y=1CTO配7K含急毓a谢盐水含盐重量‘3卸£水含鼾1、含盐10%的盐水中盐的重量（金融分配问题）需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售 3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克？解：设每千克售 4.2元的糖果为x千克，每千克售3.4元的糖果为y千克每千克售4.文元糖果克唾果千i号售元豆6黑千？耀僮果销售总价题中的两个相等关系 ：每千克售4.2元的糖果销售总价+=可列方程为： 每千克售4.2元的糖果重量+=可列方程为： （几何分配问题）如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为 48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少?解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米题中的两个相等关系：1、小长方形的长+ =大长方形的宽可列方程为： 2、小长方形的长= 可列方程为： （材料分配问题）一张桌子由桌面和四条脚组成， 1立方米的木材可制成桌面50张或制作桌脚300条，现有5立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌脚配套?1立万米#桓位直米木材解：设 题中的两个相等关系：1、制作桌面的木材+.可列方程为： 2、所有桌面的总数：所有桌脚的总数 =可列方程为： （数字问题）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数?解：设个位数字为x,十位数字为V。题中的两个相等关系： 1、个位数字=列方程为： 2、新两位数=可列方程为：（分配调运）一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，已知过去第一次第二次第一^第二次甲货车运货重量2第一次第二次第一^第二次甲货车运货重量2乙货车运货重量货车和6辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，问甲乙两种货车的载重量分别是多少吨？解：设 题中的两个相等关系:1、第一次：甲货车运的货物重量+=36可列方程为： 、第二次：甲货车运的货物重量+=26可列方程为： 方案问题.北京和上海都有某种仪器可供外地使用，其中北京可提供 10台，上海可提供4台。已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示、有关部门计划用8000元运送这些仪器。请你设计一种方案，使武汉、重庆能够得到所需的仪器，而且运费正好够用。运费表：（占、 八、、7武汉（元/台）（元/台）北京400800上海300500二元一次方程组 课后练习（一）：一、填空题：3五+卫=-11、用加减消元法解方程组 ，由①X2一②得 。4工+21y=12、在方程3'一11y=5中，用含k的代数式表示了为：y= ,当或=3时，1y43、在代数式3用+5用-归中，当端=—2,内=1时，它的值为1,则无=；当跳=2,=-3时代数式的值是。用k十？砂=1 f3^-v=64、已知方程组 与 有相同的解，则啮=，忽=。5彳-科卫二福-2 [4a+2y=85、若3y+5y+k+7一2|=0,则或=,尸=。6、有一个两位数，它的两个数字之和为11,把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63,设原两位数的个位数字为尤，十位数字为尸，则用代数式表示原两位数为，根据题意得方程组4 。7、如果工=3,尸=27、如果工=3,尸=2是方程6工+故、=18、若 「是关于矛、厂的方程卜二-29、已知（a，-[十1=2,那么次一厘，二、选择题：2工—y—1Pa=210、在方程组 ？「、二[j=3w+l -z=天二1।中，是二e-次方程组的有（V'=1=32的解，则1f=。的一个解，且3十由二,则nC—2b=。十1的值是。「 「 「11工十*二。 孙二1 一+一二1=1、3x-y-5工+27=3、 1、Lv L= xA-y-1）A2个B、3个C、4个D、5个ii、如果弘门加箱和一七J、打是同类项，则X、y的值是（）AX=-3,¥=2B、式=2,尸=—3C式=—2,¥=3D、式=3,尸=—2已充十少三1已充十少三1的解，则堞、上间的关系是（）cx-by=212、已知 是方程组&b=-2 1AAb—9tl=1B、3G+2a=1C、4b—9d=—1D、13、若二元一次方程3x-y=l,2x+3尸=1,v=七靠一9有公共解，则止的取值为（）A3B、-3C、-4D、414、若二元一次方程34-2y=1有正整数解，则汽的取值应为（）A正奇数B、正偶数C、正奇数或正偶数D、03M十y-1十%15、若方程组「 ， 的解满足X+J>0,则高的取值范围是（）x+3y-1-RAGv—1B、M<1C、S>—1D、出>116、方程厘=乂-1是二元一次方程，则就的取值为（）A次工0B、Gw—1C、白金1D、0丰1ax4-iy=217、解方程组1er-ly-ax4-iy=217、解方程组1er-ly-Sx=3而正确的解是（时，一学生把白看错而得\b=2那么修、上、C的值是（ ）A不能确定 B、4=4,上=5,二=一2C晶、七不能确定，仁=—2D、a=4,占=7,1=218、当X=2时，代数式/—十氏+1的值为6,那么当X=-2时这个式子的值为（

A6B、一4C、5D、119、设A、B两镇相距支千米，甲从A镇、乙从B镇同时出发，相向而行，甲、乙行驶的速度分别为比千米/小时、V千米/小时，①出发后30分钟相遇；②甲到B镇后立即返回，追上乙时又经过了30分钟；③当甲追上乙时他俩离A镇还有4千米。求工、观、u。根据题意，由条件③，有四位同学各得到第 3个方程如下，其中错误的一个是（ ）A、A、B、C、D、x-v=A三、解方程组:尤十4_y=14齐-3y_3_1

n~~^r=12四、列方程（组）解应用题：22、王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜， 用去了44000元。其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元。问王大伯一共获纯利多少元？23、在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数） ，三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时 10000辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多 2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的 2倍”；请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？五、综合题：2^4*y-6m24、已知关于工、中的二元一次方程组 的解满足二元一次方程3"2A=2阳j-y=4,求幅的值。25、某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的 4倍少8元。

（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元?（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市 A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品， 你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？三、历年中考试题中二元一次方程组的整理表格中捐款1.某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表:表格中捐款捐款（元）1234人数672元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚若设捐款2元的有X名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组（ ）xy27(A) ， 出2x3y66xy272x3y100xy27(A) ， 出2x3y66xy272x3y100(C)x3xy272y66(D)xy273x2y100.已知二元一次方程组为 2xy7,则xy ,xy x2y84x3y1..若方程组 y'的解x与y相等，则aax(a1)y3.TOC\o"1-5"\h\z3m5n94m2n7 m.若3x 4y 2是二元一次方程，则m值等于n.有一个两位数，减去它各位数字之和的 3倍，值为23,除以它各位数字之和，商是5,余数是1,则这样的两位数（ ）A.不存在 B.有惟一解 C.有两个 D.有无数解.4x+1=n（x—2）+n（x—5），贝Umn的值是（ ）m 4 m4m 4 m4A. B.n 1 n1C.n7 m7D.n3 n3ax3y9.如果方程组 ，无解，则2为（ ）2xy1A.6B.C.9D.

A.6B.C.9D.3x2y2k.若方程组3x2y2k的解之和：x+y=—5,求k的值，并解此方程组5x4yk3.以方程组yx2的解为坐标的点（x,y）在平面直角坐标系中的位置是（ ）yx1A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限.若关于x,y的方程组2xym的解是x2,则|m门|为（xmyny1A.1B.3 C.5D.2A.1B.3 C.5D.211.若关于11.若关于x,y的二元一次方程组xy5k,’ 的解也是二元一次方程2x3y6的解,xy9k3-44-33-44-3.已知代数式3xm1y3与^xnymn是同类项，那么m、n的值分别是（ ）2A.B.C.D.A.B.C.D.二、应用问题的整理.为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶.（1）如果购买这两种消毒液共用 780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次,购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于.1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？14.在直角坐标系中有两条直线:14.在直角坐标系中有两条直线:9和y-x6,它们的交点为P,第一条直线x轴交于点B.（2）求^PABx轴交于点B.（2）求^PAB的面积.（1）求A,B两点的坐标..一群学生前往位于青田县境内的滩坑电站建设工地进行社会实践活动，男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽.休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象，每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，而每位女生看到白色的安全帽是红色的 2倍.问题：根据这些信息，请你推测这群学生共有多少人？.在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价 13%勺财政补贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台 B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.求：A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？(2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？.某服装专卖店老板对第一季度男、女服装的销售收入进行统计，并绘制了扇形统计图(如图).由于三月份开展促销活动，男、女服装的销售收入