初中数学人教九年级下册第二十八章 锐角三角函数应用举例PPT

学习目标1.能根据方向角画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题.

2.知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题.3.学会准确分析问题，并将实际问题转化为数学模型

以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角.如图所示：30°45°BOA东西北南认识方位角45°45°西南O东北东西北南西北东南北偏东30°南偏西45°探究点一：与方位角有关的实际问题例1如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留整数）探究点一：与方位角有关的实际问题（1）根据题意，你能画出示意图吗？（2）结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和

角？求什么？怎样求？（3）你能写出解题过程吗（要求过程完整规范）？（4）想一想，求解本题的关键是什么？思考：解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91＝72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里．65°34°PBCA探究点一：与方位角有关的实际问题你能小结出利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路吗？反思总结2.利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．1.选取适当的顶点向对边作垂线，构造新的直角三角形，然后将实际问题转化为数学问题，找出对应的边和角是问题关键．1.

如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔

海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东

方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为多少海里（结果保留根号）．解：在Rt△APC中，∵AP=40，∠APC=45°∴AC=PC=40在Rt△BPC中，

∵∠PBC=30°，∴∠BPC=60°

∴BC=PC•tan60°=40×=40∴AB=AC+BC=40+40（海里）答：海轮行驶的路程AB为

(40+40)

海里【变式训练一】2如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？北东ACB60°30°DEF1．渔船由B向东航行，到什么位置离海岛A最近？2．最近的距离怎样求？3．如何判断渔船有没有触礁？思考：【变式训练一】北东ACB60°30°DEF解：过A作AF⊥BC于点F，则AF的长是A到BC的最短距离.∵BD∥CE∥AF，∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°，∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.又∵∠ABC=∠DBF－∠DBA=90°－60°=30°=∠BAC，∴BC=AC=12，∴AF=AC·cos30°=6

6≈10.392＞8，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．探究点二：与坡度有关的实际问题观察与思考

如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？ABC如何用数量来刻画哪条路陡呢？αlhi=h:l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.2.坡度(或坡比)坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.

如图所示，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，

即i=h:l

.坡面水平面探究点二：与坡度有关的实际问题3.坡度与坡角的关系即坡度等于坡角的正切值.1.斜坡的坡度是，则坡角α=___度.2.斜坡的坡角是45°

，则坡比是_____.3.斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.αlh301:1小试牛刀探究点二：与坡度有关的实际问题例6水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：(1)斜坡CD的坡角α(精确到1°)；

ADBCi=1:2.5236αi=1:3解：

斜坡CD的坡度i=tanα=1:2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α为22°.探究点二：与坡度有关的实际问题解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、F，由题意可知BE=CF=23m，EF=BC=6m.在Rt△ABE中，(2)斜坡AB的长度(精确到0.1m).EFADBCi=1:2.5236αi=1:3在Rt△ABE中，由勾股定理可得斜坡AB的长度为72.7m.2.如图，某村准备在坡度为i=1:1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5m，则这两棵树在坡面上的距离AB为

m.（结果保留根号）【变式训练】1.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是()

A.9mB.6m

C.m

D.mACBB利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为_______）（2）根据条件特点，适当选用______等去解直角三角形.（3）得到数学问题的答案（4）得到_______的答案几何图形三角函数实际问题本节课你有哪些收获与困惑？知识小结：思想方法小结：建模思想、转化思想、数形结合思想1、如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离.解：如图，过B点作BD⊥AC于D

∴∠ABD=60°，∠DCB=90°-45°=45°

设BD=x，则CD=BD=x

在Rt△ABD中，AD=x·tan60°=x

在Rt△BDC中，BC=BD=X

又AC=5×2=10，AD+CD=AC

∴x+x=10，得x=5（-1）

∴BC=•5（-1)=5(-)（海里），

答：灯塔B距C处5(

-

)海里。随堂演练2.如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？200km随堂演练200km解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，

AC＝PC·tan30