多元函数微分学暑假重修

《高等数学（下）》暑期重修主讲:朱永忠1--多元函数微分学1、二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．

设D是平面上的一个点集，如果对于每个点P(x,y)D，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数，记为z=f(x,y)(或记为z=f(P)).

当n2时，n元函数统称为多元函数.

多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.解所求定义域为例求的定义域．2、二元函数z=f(x,y)的图形3、多元函数的极限例

求例

求极限例求极限例

证明不存在．定义

设n元函数f(P)的定义域为点集D,P0是其聚点且P0

D，如果4、多元函数的连续性则称n元函数f(P)在点P0处连续.例讨论函数在(0,0)的连续性．5、偏导数则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记为记为同理可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)对y的偏导数，为

如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数对自变量x的偏导数，同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数，

例求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数．例

设

例例

设(3)偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，如上例中,连续偏导数存在纯偏导混合偏导定义

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.6、高阶偏导数函数z=f(x,y)的二阶偏导数为例设例设求二阶偏导数。7、全微分的定义例计算函数z=exy在点(2,1)处的全微分.例计算函数的全微分.8、多元复合函数链式求导法则链式法则如图示例设而求和例设求和其中f可微，全导数.特别1如果函数及都在在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点t可导，点t可导，函数且其导数可用下列公式计算：特别2

如果函数及都在点t可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点t可导,且其导数可用下列公式计算：类似地再推广，设都在点具有对x和y的偏导数，在对应点且可用下列公式计算复合函数的两个偏导数存在，例设例设例设具有连续的二阶导数，一、一个方程的情形隐函数存在定理11.F(x,y)=0

设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)0,则方程F(x,y)=0在点P(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件并有隐函数的求导公式9、隐函数的求导公式例已知隐函数存在定理22.F(x,y,z)=0

设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内有连续的偏导数,且F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)0,则方程F(x,y,z)=0在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件并有例设例设例设函数u=f(x,y,z)具有二阶连续导数,又z=x2sint,t=ln(x+y).求二、方程组的情形例设例已知u=f(x,y,z,t)关于各变量都可导,而其中由方程组确定z,t为y的函数.求设空间曲线的方程一、空间曲线的切线与法平面10、几何应用切向量：法平面：切线：例求曲线在t=0处的切线和法平面方程.1.空间曲线方程为法平面方程为:特殊地：切线方程为:2.空间曲线方程为例求曲线在点(1,2,1)处的切线及法平面方程.设曲面方程为二、曲面的切平面与法线曲面在M处的法向量：切平面方程:法线方程：例求曲面在点(1,2,0)处的切平面及法线方程.特殊地：空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令例求旋转抛物面在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.例求曲面平行于平面的各切平面方程.例求曲线

在点(1,1,1)处的切线和法平面方程.11、方向导数的定义例求函数在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,1)的方向的方向导数.例设是曲面在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数在此处沿方向的方向导数.12、梯度定义设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)D,这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,记为都可定出一个向量梯度的概念可以推广到三元函数例求函数在点(1,1,2)处的梯度。13、无条件极值定理2（充分条件）当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；令求函数z=f(x,y)极值的一般步骤：Step1

解方程组求出实数解，得驻点.Step2

对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值A、B、C.Step3

定出ACB2的符号，再判定是否是极值.例

求函数的极值