2015年共创数一试题加答案版

数学一（模拟考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时一、选择题：（1）～（8）小题,每小题4分,共32分在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合要求将所选项前的字母填在题后的括号里.xf(xf(0)1,g(x)f(x)，则（x（A）x0是g(x)的可去间断 （B）x0是g(x)的跳跃间断（C）x0是g(x)的无穷间断 （D）x0是g(x)的第二类但非无穷间断1设ancosnln(1

n都收敛 2 n发散。

n都发散2 n收敛f(xx0的某个邻域内连续，且

ln[1f(x)ex2]

1，则x0是f(x)的 （A）不可导 （D）驻点且为极大值 累次积分I2dcosf(rcos,rsin)rdr可写成 yy（A）I0 f(x, （B）BI0 f(x, 00000000Aijaij 00000000Aijaij000

f(x, 式，则Aij等于 i1j 设矩阵A 1 1 （A）

3 0 0

0 0 1 0 设随量X与Y相互独立，且X的分布为X~P{Xi}指数分布，则概率P{XY1}

1i0,1)X服从参数12

（B）112

1 量X服从参数1的指数分布，且对常数a0，且满足：E(X2eaX)P{X1}，则a（ （A）32e （B）13 2

（D）1(3e2二、填空题:(9)～(14)小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上xarctan设曲线的方程为y1ey1ln(et),则该曲线在x0处的切线方程f(xxf(x)1

x2f(t)dt,则f(x) 0f(x在[02]x(02xx(0,2)f(xxf2x 1 xo(x)，且f(0)0，则2f(x)d2x0 设f,g均可微，zf(xy,lnxg(xy))，则x y 311 31 113设A 113

11

Axex

x设随量X的密度函数是f(x)

x0X1,,Xn为简单随机样本，则参数三、解答题 (15)～(23)小题，共94分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题满10）f(xx0处二阶可导limf(x)1,limf(x)

efx) e

x0sin x0

（16（本题满分10已知曲面4x24y2z21xyz0的交线（17）（本题满10）f(x连续1f(11，G为不包含原点的单连通MNG，在G

NM2x2f(

（I）f(x)（II）

2x2

f(

ydxxdy，其中x3y3a3（18）（本题满分10分）设x )，证明(sinx)cosx(cosx)sinxx2x2D（D

2

（20）（本题满11分）已知齐次xxax x13x2bx34x4 和(2)x5xx4ax0同解，求abc 3xxx x1x2（21）（本题满11）设1233维到向量。A3A11A212，A323，1（22）（本题满分11分）设随量(X,Y)的概率密度函数3x,0yxf(x,y)

（（（II，（I 合肥工业大 试试卷密准考证2015考试科目数学（一）（模拟

报考研究方向报考单位注意事项注意事项1、以上各项除试卷密号之外必须填写清楚；2、答案必须写在试卷上；3、字迹要清楚，卷面要整洁；4、草稿纸另发，考试结束，同一收回。数学一（模拟考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时一、选择题：（1）～（8）,每小题4分,共32分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合要求,将所选项前的字母填在题后的括号里.x（1）设f(x)为奇函数，f(0) g(x)f(x)，则 x（A）x0是g(x)的可去间断 （B）x0是g(x)的跳跃间断（C）x0是g(x)的无穷间断 （D）x0是g(x)的第二类但非无穷间断1 设ancos

（A）a与a2都收敛 （B）a与a2都发散n

aa2发散。（D）aa2n

f(xx0的某个邻域内连续，且

ln[1f(x)ex2]

1，则x0是f(x)的 f(xex22x2o(x2f(x2x2ex2o(x21x2o(x2x0f(x的驻点且为方法二：（特殊值法）f(xex22x2f(x2x2ex2,f(x4x2xex2,f(0) 累次积分I2dcosf(rcos,rsin)rdr可写成 yy（A）I0 f(x, （B）BI0 f(x, （C）I0dx0f(x, （D）I0

f(x,

00000000000000000000i1j

0 1 0 0 【解 。由于AA*【解 。由于AA Aij111i1j

0 A

2 1

1 （A） 1

3

0 0

1 0 0 【分析】由

EA2

(3)(3可知矩阵A的特征是33,0,故秩A)2,二次xTAx的正、负惯性指数均为1合同，而且也是相似的，不符合题意。对于（D）,记其矩阵为D，由ED

(1)(1)，可D的特征值为110。xTAxxTDx的正 设随量X与Y相互独立，且X的分布为X~P{Xi}指数分布，则概率P{XY1}

1i0,1)X服从参数12

（B）112

（C）11(e1e)

（D）1【解】P{XY1}1(P{Y1}P{Y01(1 133 量X服从参数1的指数分布，且对常数a0，且满足：E(X2eaX)P{X1}133（A）32e 2

2

【解】E(X2eaX)x2e(a1)xdx e1,03(a1)32e,a3

(a

(a二、填空题:(9)～(14)小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上xarctan设曲线的方程为y1ey1ln(et则该曲线在x0处的切线方程 1ddd (1ey1)(edd【解：由题设知x0是t0，因而y1， 1y x1。

d 14t

已知f(x)满足xf(x)1 xt2f(t)dt,则f(x) 01【解】:xf(xxf(xx2f(x,xf(x)x1fxx2x分离变量后积分得lnf(x) lnxlnc,即f(x)2

e2,x0cxc t x1时f(11

t2ce2dt1c(e21),即cet

1ce2c故c1,f(x)1ex设f(x)在[0,2]，且对任给的x(0,2)以及xx(0,2)，均有f(xx)f(x)1x 2x xo(xf(0)2x

f(x)dx x(0,2)时有f(x)

1

f(xf(0)

x1

dt 2x2t2x2x2t2x

2x2xdx 22 311 31

f(xy,lnxg(xy))，则xxyy 1 3设A ，1 3

11 1 A1 【答案：A 148A*1 A1 Axex 量X的密度函数是f(x)

x

，且X1,,Xn为简单随机样本，则参数 xxAxexdxAx2exdxA(1122A2（A20

() XXX,解答题:(（15）（本题满10）f(xx0处二阶可limf(x)1,limf(x)

efx) e

x0sin x0

【解】：由limf[ln(1x1f(00,f(01limf

f

1 sin

f(x)ex

x0ex ex (ex1)f( 且lim(1f(xe

f(x)ex1

3，所以limf(xe

f(x)e x0 ex

x0(ex1)f

f

f(x)

f(xf ex f(0)11f(0)2 ] ]（x2原点的距离d ，令Fx2y2(3x23y2x2Fx2(13)x2yF2(13)y2x F3x23y22xy1yxyxP1,1,P1,1,P

2,2,P 221222 234 4122因此d(Pd(P)

22 22 1212（2）椭圆的方程为3x23y22xy11212x

u 2 21211212y

u

4v1，因此a ,b

2222 （17（本题满10）f(x1f(11，G为不包含原点的单连MNG，在G

NM2x2f(

1（I）求f(x)；（II）求 21

ydxxdy，其中x3y3a3)

f(,Q(x,y)

，因为在G内曲线积 2x2f( 2x2f(y) 所以(xyG

PQ，即2x2f(y)2xf(y)yf(y)，由此得出yf(y) ， (2x2fy))2 (2x2fy))2 2fy)f(1)1，解此方程得fyy2f(xx2。(II)取小椭圆:2x2y22，取正向，为充分小的正数，使得位于 。设与

PdxQdy(QxPy)dxdyD这里 D

212sin22cos2原式=PdxQdyPdxQdyPdxQdy 2 d2 cos sin（18）（本题满分10）x(0,，证明(sin4

(cos 令f(x)cosxlnsinxsinxlncosx,x ]

)4cos2 sin2 f(x) sinxlnsinxcosxlncosxx(0(0sin cos(020cosx 2,0sinx2

,lncosx0,lnsinx0,f(x)0，因而函数f(x)在区 4单增，即x )时有f(x)cosxlnsinxsinxlncosx4cosxlnsinxsinxlncosx0

f()04x2D（19（本题满10求二重积x2y2x2D是以A(3,0),B(3,0),C(03)为顶点的三角形区域

sin(xy)]dxdy，其【解】：由对称性，exy(sinxy)dxdy0.记D（x,y）x2y22且y0，D 2D D部分，则有原式2(x2y22)dxdy(2x2y2)dxdy=2(x2y2)dxdy1822）=4x2dxdy18292 （20）（本题满分11分）已知齐次xxax x13x2bx34x4 和(2)x5xx4ax0同解，求abc 3xxx

3xcx4x1x2x1x2ax30

A a，得基础解 =（-11 0 1 4 4a 1 c 3 2ac 3+3b由于（1）与（2）rAr(B,2ac60.有b由于（1）与（2）同解 也是（2）的基础解系，它应x13x2-x34x44xx x

得a2,c 因此（1）与（2）的通解为k(1 0)Tk 由xx即-k+2k=k，知k=k，所以满足xx的解为k(1 A212，A323，1【解】(I)设k1k2k3

A212 A323k1Ak2Ak3A(k1k2)1(k2k3)221：k21k32

k1k2()k3()k2Ak3A43：k31 1

k2k3(1) k3代入3 得k2 k1 123线性无关 由A( )( A) )(

110 )01 001

AP

110 P01

AP

110 01

001 0 又B特征值 P1EAPE REAR(EB) 因此属于1231线性无关特征向量个数3REA所以属于1特征向量为 (k（22）（本题满分11分）设随量(X,Y)的概率密度函数3x,0yxf(x,y)

（I）P{XY1}13xdx1xdy31x(2x1)dx8 0x1fX(x)x3xdy3x20f(x, 1,0yx (y|x) fY|fX

其Z2XYfZ(zf(x,2xz)dx0x讨论xz2x f(x,2xz)3x1）0z

f(z)z3xdx98 822）1z

f(z)13xdx3(4z28 82

9z2 0zZ2XY

(z)

8(4z2),1z （E(2ZXY（1）ZfZ(z（IZZ1,,（ i22e(x2y),x0,yf(x,y;)fX(x)fY(y)

ZXYfZ(z)=-f(xx2(x2(xz 22z3 xf(x,xz)2 2 ，zx2

+e3xdx2e2

+3e3xdx

z0，fZ(z,)=2

32

+e3xdx2e2

+3e3xdx

2z0，fZ(z,)=2

32e2zf(zZ

z

ez z n

nnn(II)由于样本Zi0，则L i() i1n ni1

dln lnLnln()nlnzi zi

zi

，则的极大似然估计为1 Znn（III）E(bE1E(ZE(Z02ze2zdz2

t2e2tdt

2

zezdz

2101 1130 3

3 3 试卷试卷试试卷2015考试科目数学（一（模拟

入学同一考试考试科目报考研究方向报考单位1、以上各项除试卷密号之外必须填写清楚；2、答案必须写在试卷上；3、字迹要清楚，卷面要整洁；4、草稿纸另发，考试结束，同一收回。数学一（模拟考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时一、选择题：（1）～（8）小题,每小题4分,共32分在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合要求将所选项前的字母填在题后的括号里.lnx21sin(x1)（1）函数f(x)

x的可去间断点个数为 级数

n12nsin2nn

xxn(A)发 (B)条件收 (C)绝对收 (D)敛散性不

ni1n2n 2ln2

ln （C）

(D)

1及xy4成，I s21 21 D

(xy)d I2ln3xydI3(xy)3dI1I2I3的大小关系是（ （A）I1I2 （B）I3I2 （C）I2I1 （D）I3I1已知54矩阵A,,,，若3 21T，0 01T是齐次线性 （1）1,3线性无关 （2）1可由2,3线性表出 （3）3,4线性无关（4）r1,12,343中正确的是（A）（1（3） （B）（2（4） （C）（2（3）（D）（1（4）对三阶矩阵A的伴随矩阵A先交换第一行与第三行，然后将第二列的2倍加到第三列得EA0，则A等于

01 21

(B)

1 0 1 0

01

2 0

设A与B是两事件，且P(B)0.6,P(A|B)0.5,则P(AB) （A） （C） （D）。且f1x)、f2y)连续，则以下函数中仍是概率密度函数的是（．（A）f1(x)+f2 （C）f1(x)f2 （D）f1(x)F1(x)f2(x)F2二、填空题:(9)～(14)小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上（9）设f(x)lim(1x2 ,则曲线yf(x)在x1处的切线方程 方

dy

的通解 d 2xe2 x2f(x) 2设f(x)在[0,)上单调可导，f(0)1，f 为f的反函数，若x2 (tx)dtxe，则f(x)= D设D=(x,y)(x2)2(y2)21，则(eyex2)d D设3阶方阵A有3个线性无关的特征向量，3是A的二重特征值，则R(A3E) X~N(,2X1XnXn1XX与S2X1,Xn(X 的样本均值与样本方差，对统计量： ~F(1,n1)，则常数C S三、解答题 (15)～(23)小题，共94分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题满10）1.设函f(xx0的某个邻域内二阶可导limf(x)0x0时xf(tdt~xksinxkf(0)

y1角，已知连续函数f(x,y,z)满足f(x,y,z)(xyz)2f(x,y,z)dydzx2dxdyf(xyz1（18（10设函f(x在[0,1]上连续f(0)0，且0f(xdx01(0,1)，使得0f(xdxf(2（19）（本题满分10分）求f(x)xarctanx 2数

n1n2n12nn(2n1)2n1的和

组的基础解系，令11,22,,tt试证：（Ⅰ）,1,2,,t线性无方程组AXb的任意一解r可表示为l0l11l22lttl0l1lt （21）（本题满分11分）已知矩阵A 0能相似对角化 6 （1）a

(2)xQyfxxTAx（22）（本题满分11分）设随量X与Y相互独立，且X~U[0,1],Y服)xf(x,)2e 0，X,,n2,n

11

x 数学一（模拟考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时一、选择题：（1）～（8）,每小题4分,共32分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合要求,将所选项前的字母填在题后的括号里.（1）f(x

lnx21sin(xelnx21sin(x

lnx21sin(x1)

0l

x

x0,

(2)级数

n12nsin2nn

xxn(A)发 (B)条件收 (C)绝对收 (D)敛散性不2nsin2nxn2nsin2nxn2【解：当xn时sinx ，因而有lim 2sinx1，故该级数绝对2

ni11

n ln2

ln （C）4

8

1

n2

n2n

n2nlim n

nlim n

dx 2 ni1n ni1

(i)2n

1 3设平面区域D由x0,x1,xy1及xy1围成，I

(xy)d2 2D I2ln3xydI3(xy)3dI1I2I3的大小关系是（ （A）I1I2 （B）I3I2 （C）I2I1 （D）I3I1已知54矩阵A,,,，若3 21T，0 01T是齐次线性方 （1）1,3线性无关 （2）1可由2,3线性表出 （3）3,4线性无关（4）r1,12,343中正确的是（A）（1（3） （B）（2）（4） 2（3）（1（4）AA先交换第一行与第三行，然后将第二列的2倍加到第三列得EA0，则A等于

01 21

(B)

1 0 1 0

0

2 0

13【解】由EE13AE23(2)AE1E1(2)13

A21A0

A1AA1 000

0A(A)1E1(2)E1E

01

01

21

，选 0 0 、设A与B是两事件，且P(B)0.6,P(A|B)0.5,则P(AB) （A） （C） （D）

P(

)PAB1PAB)1P(BPAB)0.7、设X与Y是两个随量，f1(x)、f2(y)与F1(x)、F2(y)分别是对应的概率密度函数与分布函数，且f1x)、f2y)连续，则以下函数中仍是概率密度函数的是（（A）f1(x)+f2 f1(x)F1(x)f2(x)F2案1）f1x)F1x)f2x)F2x)0 2）(f1(x)F1(x)f2(x)F2(x))dxF1(x)dF1(x)F2(x)dF2(x)二、填空题:(9)～(14)小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上（9）f(x

x2x)n,则曲线yf(x)x1处的切线方程

eeee【解】:f(x)e2,f(x)xe2,f(1) ,f(1) ,故所求切线方程为y x eeee方程dyd

12xe2

dx2xe2y,xe2y(y

xe2y(yC) x2f( 2f(x在[0,f(01则f

(tx)dtxe0

f(f

1(t)dux2exxxf(xx22x)e2f(xx2)exf(x)f(0)xf(tdtx1)exf(xx1)ex0 设D=(x,y)(x2)2(y2)21，则(eyex2)d D D D(eyex2)d(exey2)d24d D设3阶方阵A有3个线性无关的特征向量，3是A的二重特征值，则R(A3E) 设总体X~N(,2)，X,,X, 是X的简单随机样本，且X与S2分别是样本X,, 的样本均值与样本方差，对统计量： ~F(1,n1)，则常数C Sn(n n (nn(nX N n (XXn1)~N(0,1)， S~(n1) (nn2(XXn1

(因此 ~F(1,n1)，因填 (S n S

n解答题:(limf(x)0x0时xf(tdt~xksinx，求常数kf(0) limf(x)0f(0f(0)0 lim0f(t)dt f 1，因此必有lim(kxk1cosx)0，故k1x0xksin x0kxk1cos limf(x)limf(x)limf(xf(0)f(01x01cos x0sin （:

y1【解】：zx2xy0,zy2yx0解得函数z在区域D的 在边界xy1(0x1)上，令Fx2y2xy(xy1)，由F2xy0，F2yx0xy1LagrangeF

2( 2

，在边界xy1(1x0)2 1

,)D2131 444

角，已知连续函数f(x,y,z)f(x,y,z)(xyz)2f(x,y,z)dydzx2dxdyf(xyzx2dxdyx2dxdy2d5r2cos2rdr252cos2d25

4 Dxy(xy)x2y25A

f(xyzxyz)2A25f(xyz)dydz[(xyz)2A254A[(xyz)2A25

[(xyz)2A25]dydz[(xyz)2A25 Sz1,x2y25,S[(xyz)2A25[(xyz)2A25]dydz 其中是由外侧闭曲面S

[(xy

1 1

2(xyz)dV 2zdV 1 (xy 2d5(11r4)rdr10f(xyzxyz235

1（18（本题满10设函f(x在[0,1上连续，f(0)01(0,1)0f(x)dxf(

0f(x)dx0

x0f(tdtx(0,1limF(xlim1xf(tdtlimf(x0，因F x

x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，由Rolle定理知(0,1)使F()

f()f(x)d 0，即

f(x)dxf( 2 2

n1n2n12nn(2n1)2n1的和2 2

n【解】xarctanx 0

1t

dt

(1)t

1x1

x

xn02n

1 2x ln2 2x

) ln2 n n

xf(x)

x

1ln2

n

2n ln2

n xxn12n 2 x收敛域为11]x1

2n n2n1 n1n2n12n

f(1) ln2n(2n

4

ln2323

（11,22,,t试证：（Ⅰ）,1,2,,t线性 l0l11l22ltt,其l0l1ltxx11x22xtt0(xx1x2xt)x11x22xtt0，（1）(xx1x2xtAx1x2xt)b0，但b0xx1x2xt 将（2）代入（1）x11x22xtt012,tAx0的基础解糸，故线性无x1x2xt0，代入（2）x0，于是,1,2,,t线性无关。（2）由非齐次方程组解得结构知若 是Axb的解，其解可表示k11k22kttk1(1)k2(2)kt(t)(1k1k2kt)k11kt令l01k1k2ktl1k1,ltkt，上式可表示为l0l11l22ltt且l0l1lt1（1）a

0（21（本题满分11分）已知矩阵A 6 【解】1EA

6212

3

0 由已知A可对角化，故6必有2个线性无关的特征向量，由R6EAR 0 得a 因此xTAx2x22x26x210x

2 0 A 2 12EA167 xTAxxTA1x特征值6,7,3

006 11对 由6EAx 得0,01112对 由7EAx 得1,1,12对 由-3EAx 得1,1,

11221122100

001 1

2 1212 1212令Q1

12 12123123 0 又A1特征值为6,7,3；经过x 有xTAx6y27y23 （)1,0x ey,yX~U[0,1即X~fX(xZ2XYfZ(z)

YfY(x其 其f(xz2x)dxX与Yz2

0xf(xz2xe ，对应区域为z

z

1(1ez)1）0z2，fZ(z)

2edx 2）z2,，

(z)

1e2xdx1ez(e2

1(1ez 0z2(z)1ez(e2 z22 X与YCov(Y,Z)Cov(Y,2XY)2Cov(Y,X)D(Y)D(Y)1又因为Cov(XZCov(X2XY2DXCov(X,Y6，所以XZXZ（23）（本题满分11分）设随量X的概率密度函数x xxe22f(x,)

xx

参数的矩估计ˆ；（II）的极大似然估计ˆ；（III）ˆ2是否为2的无偏估

E(X)

xx

22dx xd(e22)

22| e22dx

2令X 22

所以的矩估计ˆ （II） n 2n n 2

，lnLln(xxx)2nln

1XLe2 eLe 1 2 dln 1

1nX21nX2i

0

2Xi

2n,所以的极大似然估计为：L （III）E()

EX) EXEX)

t2t 1

e2dx

22tetdt2i21，因E(ˆ2)2，即ˆ2是2的无偏估计 试试卷2016考试科目数学（一（模拟

入学同一考试考试科目报考研究方向报考单位1、以上各项除试卷密号之外必须填写清楚；2、答案必须写在试卷上；3、字迹要清楚，卷面要整洁；4、草稿纸另发，考试结束，同一收回。合肥工业大 试试卷密准考证2015考试科目数学（一）（模拟

报考研究方向报考单位注意事项注意事项1、以上各项除试卷密号之外必须填写清楚；2、答案必须写在试卷上；3、字迹要清楚，卷面要整洁；4、草稿纸另发，考试结束，同一收回。数学一（模拟考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时一、选择题：（1）～（8）小题,每小题4分,共32分在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合要求将所选项前的字母填在题后的括号里.

x2x

ex1的渐近线有 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4设f(x),f(x)为已知的连续函数,则方程yf(x)yf(x)f(x)的解是 （A）y（C）y

f(x)1cef(x) （B）yf(x)ccef(x) （D）y

f(x)1cef(x)f(x)cef设f(0)f(0)0,f(0)1,g(x)xf(t)dt，h(x)cxk若x0时g(x)~h(x) 0（A）c1,k （B）c1,k （C）c1,k

（D）c1,k 若f(x,x2)x3,f(x,x2)x22x4，则f(x,x2) （A）x （B）2x2 （C）x2 （D）2x

ATBTATCTE.BA2CE

BAC ACAB设A是mn矩阵,r(A)n,则下列结论不正确的是 ABOB)

(E)r(BA 量XE(1),记YmaxX,1，则E(Y) （A） （B）1 （C）1

(8）X1X2,XnXN(,2的样本，为使YkXi1Xi)2偏估计，则应选k为 ）. （B）（C）1n

n

2(n

二、填空题:(9)～(14)小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上nn2lnnlnnn （9）limn3lnnn 已知方程yy0的积分曲线在点O(0,0)处与直线yx.1设f(x)在[0,1]上有连续的导数,f(1)1,且有xf(x)f(x)110f(x)dx

3121 0I2dy3yexy)dx12d0

e(

ydx 向量组α=1,2,3,4T，α=1,3,4,5T，α=2,4,6,8T，α 的一个极大无关 设随量X服从[1,2]上的均匀分布，则随量的函数YX2的概率密度函fYy 三、解答题 (15)～(23)小题，共94分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 nx xn x2DD

0dx0zz

（17）（本题满分10分）计算Iyz(yz)dydzzx(zx)dzdxxy(x其中z4Rxx2y2R1)在柱面x

32

21之分的上侧（18）（本题满分10）f(x在[ab上连续，在(ab内可导，f(aa，（ 内存在与（Ⅰ）中的相异的点f(f(1 1（20）（本题满分11分）已知齐次方程组（I）axa 0的解全 2bxx,其中b ij 1ij4得的标准形；（II）Xf(x)AeaxbX

x

，其中bEX2

X

xY2X1X2 X（II）}（III）（23）（本题满分11分）设 量X~U(,)(0)，X1,,Xn是试试卷密2015考试科目数学（一）（模拟

试试卷密考试科目注意事项1、以上各项除试卷密号之外必须填写清楚；2、答案必须写在试卷上；3、注意事项1、以上各项除试卷密号之外必须填写清楚；2、答案必须写在试卷上；3、字迹要清楚，卷面要整洁；4、草稿纸另发，考试结束，同一收回。数学一（模拟考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时一、选择题：（1）～（8）,每小题4分,共32分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合要求,将所选项前的字母填在题后的括号里.

x2x

ex1的渐近线有 （A）1 （B）2 （D）4 【解】limylimylim1lim(yxlim[x(ex11)1]0yx x 3条，答案C设f(x),f(x)为已知的连续函数,则方程yf(x)yf(x)f(x)的解是 （A）y（C）y

f(x)1cef(x) （B）yf(x)ccef(x) （D）y

f(x)1cef(x)f(x)cef(

f(0)f(0)0,f(0)1,g(x)xf(t)dt，h(x)0

x0g(x)~h(x)（A）c1,k2x

（B）c1,k3

（C）c1,k3

（D）c1,k6

f

fk2

f

x0ckxk

x0ck(k ck(k 若f(x,x2)x3,fx(x,x2)x22x4，则fy(x,x2) （A）x （B）2x2 （C）x2 （D）2x

ATBTATCTE.BA2CE

BAC ACAB矩阵A,B,C均可逆，那么由ABACEABAC1CABAE。从而(CABA)TEATBTATCTE，故（A）ABACEA1BAC，由CABAEA1CBABACCAB，故（B）设A是mn矩阵,r(A)n,则下列结论不正确的是 ABOB(C)BA

ABO,BOBXOABX0为两个方程组,BXOABX0反之,ABX0因为rAAX0只有零解,BXO,BXOABX0为同解方程组,故rABr(BrAnA经过有限初等行变换化为En即存在可逆矩阵P使得PAEn, O OB OPBAE1A2B111rA0,但r(BA0r(B1 1 （7）设 量XE(1),记YmaxX,1，则E(Y) （A）

1 （C）1 （D）exf(x

xxE(Y)E(maxx,1)maxx,1f(x)d(x)+max 1exdx+xexdx1e1 X2

,,nXN(,2的样本，为使Y

X)2i无偏估计，则应选k为 ）. （B）（C）

n

n

2(n

Xi1XiN(0,22EXi1Xi)2DXi1Xi[EXi1Xi)]222iE(Y)kE(i

X)22(n1)2k，要使Y为总体方差2即E(Y)2，故k 2(n二、填空题:(9)～(14)小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上n2lnn nn3lnn 【解】原式lim15 n n3ln

n5n

已知方程yy0的积分曲线在点O(0,0)处与直线yx.y1(exex2f(x在[0,1]上有连续的导数,f(1)1,xf(xf(x10f(x)dx 11【解】:由题设有1[xf(xf(x)]dxxf(x121f(xdx1

,1dx1 所以0f(x)dx6 3y2 0I2dy3yexy)dx12d0

21exy)1 1 【解】原式3d0errdr12(1e16向量组α=1,2,3,4T，α=1,3,4,5T，α=2,4,6,8T，α 的一个极大无关组 设随量X服从[1,2]上的均匀分布，则随量的函数YX2的概率密度函fYy Xf(x,-1x2.，则YX233 ,0y3f(y)1,1yy6 y6 解答题:(（ n【证明】（Ⅰf(xxarctanxf(x

11

xnxf(xxarctanxf(0)0，由此可得数列xn是单调递减xn0，由单调有界收敛原limxnlimxna，对等式xnarctanxn1两边同时取极限可得aarctana，解得limxa0

n

limarctanxx 1x21，由limx0 nlimarctanxn1xn1limarctanxx1n(arctanxn1) x2

0dx0zz

(xyz0zx2y20y1,0x1，即zx2y2， zx2BCzx21（它是曲线 y

zx2dDDDD1(x,z)0zx2,0xD2(x,z)0zx21,0xDID

dzz

x2zd

zx2 x

x2

x2zdzdxzx2 12x3dx12xdx120 0 （17）（本题满分10分）计Iyz(yz)dydzzx(zx)dzdxxy(x其中是上半球面z 4Rxx2y2(R1)在柱面x

32

y21之分的上侧F(xyzx2y2z24Rx0(z0)，则曲面nx2Ryzdydzdzdxdxdyx2R I[yz(yz)1(x2R)zx(zx)yxy(xy)]dxdy2Ry(z 3记曲面xOyDx

y21，则24Rxx24Rxx2

2Ry4Rxx2y2)dxdy2R 02R令x3D,yv，记D:u2v21，则I0 v2dudv2R2 13sin2d1

（18（本题满10）设f(x在[ab上连续，在(ab内可导，f(aa，bf(x)dx1(b2a2)。证明：（Ⅰ）(ab内，使f(（）在 内存在与（Ⅰ）中的相异的点f(f(1【证明】：（）bf(x)dx1(b2a2可知bf(xx]dx0F(xf(xx F(x在[abF(x在(abx(abF(x0（F(x0） 应的必有aF(x)dx0（或0）与a[f(x)x]dx ，故F(x)在(a,b)内必有零点，(ab内，使f(（）G(xexf(xx]G(aG()0，由Rolle定理知(a,)使得G(ef(1ef(]0，即有f(f(1（ 1yn1n【解】因为yxy，所以y1yy(0)1y1(0)1,1y(0)2y(1)y(0)y(0)1

y(0)(

2 11 n

o(1n

)1

n时与

等价，且级数n n1n

1y(n)1n（20）（本题满分11分）已知齐次方程组（I）axa 0的解全 ax ax

ax a 1

a2

301 1

1

解，那么（Ⅰ）与（Ⅲ）的系数矩阵A

与B 0

a2

0 a2 如a 则r(A)1而r(B)2,所以假设a 1 r(A) a

0101a101a 又B 当a a1

时，r(B) 2a 1 1 2（Ⅱ）由于A 2基础解系2，，则通解为k2 （21）（11）f(xxxxx22bxx,其中b ij 1ij4得的标准形；（II） b E-A((13b))[(1 11 2341解方程(1EA)x0得特征向量1解方程(2EA)x0得特征向量11,1,0,0)T21,0,1,0)T3 2 3 1单位1

1111

1,1,0,0

1120

＝

2

2

3＝（ 1

1 令U,则U为正交阵，且U-1AUUTAU 123 1 1 f(13b)y2(1b)y2(1b)y2(1 （II）f(xxxxxTAx正定13b0且1b01b （22）（本题满分11分）设随量X的概率密度函数Xf(x)AeaxbX

x

，其中bEX2

X

xY2X,1X2 X（II）（III）（I）由于1

Aeaxbdx

aeaxdx

Aaeb 2 1e1x x2EX2，所以2a，即a2fX(x x（II）P{Y3}1P{Y3}1(P{Y2}P{2Y1(P{X2}P{22X3})1e1P{1X由于2y4YFYyP{Y y2,FY(y)

3}12

e4e2 2）2y4,FY(y)P{Yy}P{Y2}P{2Y}P{X2}P{22Xy}P{X2}P{1X}2 y1 3）y

1FY(y)

2dxe1e2e 0

eye所以YFye1

4y,2y

y（ 量X~U(,)(0)，X1,,Xn是 2

DX X

;X 2

S2 n可知、的矩估计分别是ˆX 3S2、ˆ 2 2n

n xiL

的减函数，由极大似然估计定义，在

、的极大似然估计为：ˆˆmin{Xi}、ˆmax{Xi试试卷2015考试科目数学（一（模拟

试试卷入学同一考试考试科目1、以上各项除试卷密号之外必须填写清楚；2、答案必须写在试卷1、以上各项除试卷密号之外必须填写清楚；2、答案必须写在试卷上；3、字迹要清楚，卷面要整洁；4、草稿纸另发，考试结束，同一收回。

数学一（模拟考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时（1）f(x（A）

一、选择题：（1）～（8）小题,每小题4分,共32分n1xn在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合要求将所选项n1xnf(x不可导点个数为（ （D）微分方程yyxcos2x的一个特解应具有形式 (AxB)cos2x(CxD)sin（C）Acos2xBsinsin

(Ax2Bx)（D）(AxB)cos20x0sin设I12 dx,I220x0sin

）x2zf(x2

f(x,

（B）f(0,0)f(x,y)在(0,0)处连 （D）f(x,y)在（0,0）处不可5xax(a5)xa5是齐次方程组3x1(a5xax(a5)x x1x22x3(A)充分必要条 (B)充分而非必要条(C)必要而非充分条 (D)既非充分又非必要条设向量组1,2,3线性无关，向量1能由1,2,3线性表出，向量2不能由1,2,3线性表出，则 （A）1,2,1线性无 （B）1,2,1线性相（C）1,2,2线性无 （D）1,2,2线性相设随量X与Y具有相同分布：P{Xk}D(XY)2，则E(XY)

(k0,12,，k（A） （C） （D）设随量X服从标准正态分布，且YX2，则X与Y 二、填空题:(9)～(14)小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上yy(xx

x

d2d2d微分方程xdyydxy2eydy的通解 3由曲线yx2,y2x及y轴围成的平面图形边界曲线周长 2 gfzg(xf(xy2yx A

1 0 01 111

，B

01 0 110

X(E

A)T

E，求X 设总体X~N(,0.5)，X1,X2,,Xn,是X的简单随机样本，且X是样本X1,,Xn的样本均值，若要至少使得99.7%的概率保证X0.1，则样本容量n 三、解答题 (15)～(23)小题，共94分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题满分10）选择常数abc的值，使得当x0时函数abx1csinx)exx3的高阶f(xy)

（16（本题满分10设抛物面：z1x2y2，圆柱面：(x1)2y21。在1上求一点（x0y0）使得过（x0y0）的1的切平面与1和2围成的体积 f(x,y)2(xy)2x(z2ez)dydzy(z2ez)dzdx(zf(x,y)2ez（18）（本题满分10）f(x)(ab内可导，且x(ab)f(xf(x0f(x在(abn21（19）（本题满分10分）求 x的和函数n02（20）（本题满11）A是三阶矩阵b(9,18,18)T,方程组Axb有通（I）A。（II）A100（21）（11）f(xxx5x2ax23x22xx6xx6x12 1 1 210010.(Ⅰ)a；(Ⅱ)f(xxx准形

12 000 （22）（本题满分11分）设二维随量(X,Y)联合密度函数f(x,y)

x2y 1概率P{YX};概率P(X0/Y 4（23）（本题满分11）设总X的均值与方EX)D(X)2，从X中分别抽取二组相互独立且容量为n1、n2的简单随机样本，样本均值分别X1、X2，若常数1、2满足121时，（I）求证：T1X12X2的偏估计；（II）1、2多少时D(T达到最小；（III）1、2多少时，T1X12X2，即对任意0满足0,limP{T

}试试卷密2015考试科目数学（一）（模拟

试试卷密考试科目注意事项1、以上各项除试卷密号之外必须填写清楚；2、答案必须写在试卷上；3、注意事项1、以上各项除试卷密号之外必须填写清楚；2、答案必须写在试卷上；3、字迹要清楚，卷面要整洁；4、草稿纸另发，考试结束，同一收回。数学一（模拟考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时一、选择题：（1）～（8）,每小题4分,共32分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合要求,将所选项前的字母填在题后的括号里.n1xnn1xn

f(x不可导点个数为（ ex

x1x0,x0x1f(x的不可导点，答案Cx微分方程yyxcos2x的一个特解应具有形式 (AxB)cos2x(CxD)sin（C）Acos2xBsin

(Ax2Bx)（D）(AxB)cos2

sin 0I10

dx,I2

2

sin

dx，则 ）（Ａ）I11 （Ｂ）1I2 （Ｃ）I2I1 （Ｄ）I21 sin 【解：因为x(0,)时，

f(x,

x2zf(x2

（A）fx(0,0)fy(0,0) （B）f(0,0)（C）f(x,y)在(0,0)处连 （D）f(x,y)在（0,0）处不可(x x1x22x3 (B)充分而非必要条 (D)既非充分又非必要条设向量组1,2,3线性无关，向量1能由1,2,3线性表出，向量2不能由1,2,3线性表出， （A）1,2,1线性无 （B）1,2,1线性相（C）1,2,2线性无 （D）1,2,2线性相D(XY)2，则E(XY)

k

(k0,1,2,，（A） （C） （D）DXY2，即2DXYDXD(Y2(EXYEX)E(Y22(EXY22{11EXY)}EXY设随量X服从标准正态分布，且YX2，则X与Y EXYEX3x3(x)dx0EX0EXYEX)E(Y);所以CovX,Y0P{X1,Y1}P{X1,X21}PX1}2(1)1X与Y二、填空题:(9)～(14)小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上ddd设yy(x)由方程xxyeu2du0所确定 1x0时y1，对方程式两边关于x同时求导可得1e(xy)2(1y0，对上述方程关于x再求导可得2(xy)e(xy)2(1y)2e(xy)2y0，把d2d2dxdyydxy2eydyxy(cey3

2e.由曲线yx2,y2x及y轴围成的平面图形边界曲线周长 s2

11dx

1

xdx2

8(1

3

=2+

13130 0

2gfzg(xf(xy2yxy2z 【答案】： x( xf1)( 2f2 [ 2 x( 2f12)]gA

1 0 0 1 111

，B

1 110

X(E

A)T

E，求X X(EB1A)TBTEX[B(EB1A)]TEX(BA)T(BA)T

010，X[(BA)T]1 0 1 设总体X~N(,0.5)，X1,X2,,Xn,是X的简单随机样本，且X是样本X1,,Xn的样本均值，若要至少使得99.7%的概率保证X0.1，则样本容量n .解答题:(（15）（本题满分10）选择常数abc的值，使得当x0时函数abx1csinx)exx3的高阶无穷abx(1csin【解】方法一：由题设有lim lim[abx(1csinx)ex]a10,a

limb[1c(sinxcos

,b1c0

0,c b

方法二abx1csinx)exabx[1cxcx3o(x)][1x1x21x3o(x3 a1(bc1)xc1)x2( c c)xo(x 2 1 a1bc10c0,cc0，即a1,b,c （16（本题满10设抛物面：z1x2y2，圆柱面2：(x1)2y21。在1上求一点（x0y0）使得过（x0y0）的1的切平面与1和2围成的体积2x(xx2y（yy）zz0z2xx2yyx02y21，此切平面与和 (1x2y2)(2xx2yyx2y2 D (x2y2)dxdy(x2y2)dxdy2xxdxdy2 由于(x2y2dxdyxy由于(x2y2dxdyxy(x2y2)dxdy=（x22, xdxdy(x1)dxdydxdy0, Dv=(x2y2dxdy(x022x0y02x01y00vDf(xy)

（f(x,y)2(xy)2x(z2ez)dydzy(z2ez)dzdx(zf(x,y)2ezx(z2ez)dydzy(z2ez)dzdxzf(xy2ez)dxdyf(xy2(xy)2DxOyx2y21D为与

x(z2ez)dydzy(z2ez)dzdx(zf(x,y)2ezx(z2ez)dydzy(z2ez)dzdx(zf(x,y)2ez[2z22(xy)2]dV [2(x2y2z2)4xy]dV22dsind1r4dr02 62 故 ，于是f(x,y)2(xy)2 5(2 5(2（18）（本题满分10分）f(x)(ab内可导，且x(ab)f(xf(x0f(x在(ab【证明（反证法）若f(x)在(a,b)内有两个或的零点，则x1(a,b),x2(a,b)xx,f(xf(x0F(x)exf(x)，则有F(xF(x0，由Rolle定理知 (x1x2ab)使得F(ef(f(f(x)f(x)0

，因而有f(f(0n21（19）（本题满分10分）求 x的和函数 n

1x

n02【解：S(x)

n02n n0n!2 xnx xn1x xx n02n n02n n02 n12nn!x n

xxe21

x(xxxn!

1x n0n!2 （20）（11）A是三阶矩阵b9,18,18)T,方程Axb（I）A。（II）求A100 (I)由题设知1-2,1,0T 22,0,1T是Ax0的基础解系，即特征值0对应线性无关特征向量。又(1 2)T是Axb的特解1 9 1 A2b1892，知3(1 2)T是A对应于9特征向量- 2 0 1 2 2 则，取可逆阵P( P-1AP APP-1 则， 9

4（II）A100PP-1100P100P-1999

01.的矩阵合同于101.

准形

3