自动控制原理根轨迹法课件

1第四章线性系统的根轨迹法1第四章线性系统的根轨迹法2第四章线性系统的根轨迹法根轨迹法的基本概念

二根轨迹绘制的基本法则三广义根轨迹四系统性能分析本章主要内容：2第四章线性系统的根轨迹法根轨迹法的基本概念二根轨迹3本章要求1、正确理解根轨迹的概念；2、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制根轨迹；3、了解广义根轨迹；4、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势；5、掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。第四章线性系统的根轨迹法3本章要求1、正确理解根轨迹的概念；第四章线性系统的根轨迹4一、根轨迹法的基本概念（1）

本节主要内容：

1、根轨迹概念

2、根轨迹与系统性能

3、闭环零极点与开环零极点的关系

4、根轨迹方程4一、根轨迹法的基本概念（1）本节主要内容：54-1-1根轨迹概念1、根轨迹一、根轨迹法的基本概念（2）开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在s平面上的轨迹称为根轨迹。2、举例说明A

控制系统如图54-1-1根轨迹概念一、根轨迹法的基本概念（2）开环6B

闭环传递函数一、根轨迹法的基本概念（3）其闭环传递函数为：C

闭环特征方程

特征方程式可写为

6B闭环传递函数一、根轨迹法的基本概念（3）其闭环传递函7一、根轨迹法的基本概念（4）D

特征方程的根特征方程式的根为Es平面根轨迹见右图7一、根轨迹法的基本概念（4）D特征方程的根84-1-2

根轨迹与系统性能1、稳定性当开环增益从零变到无穷时，上面图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此对所有的K值都是稳定的。一、根轨迹法的基本概念（5）2、稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属I型系统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。84-1-2根轨迹与系统性能一、根轨迹法的基本概念（93、动态性能当0＜K＜0.5时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；当K＝0.5时，闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度较0＜K＜0.5情况为快；当K＞0.5时，闭环极为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随K值的增大而加大。一、根轨迹法的基本概念（6）93、动态性能一、根轨迹法的基本概念（6）104-1-3闭环零极点与开环零极点的关系

1、典型控制系统系统特征方程为一、根轨迹法的基本概念（7）104-1-3闭环零极点与开环零极点的关系一、根轨迹法112、前向通路传递函数在一般情况下，前向通路传递函数可表示为一、根轨迹法的基本概念（8）

：前向通路增益：前向通道根轨迹增益

112、前向通路传递函数一、根轨迹法的基本概念（8）123、反馈通路传递函数在一般情况下，反馈通路传递函数可表示为一、根轨迹法的基本概念（9）：反馈通道根轨迹增益123、反馈通路传递函数一、根轨迹法的基本概念（9）：134、开环传递函数

系统的开环传递函数可表示为

一、根轨迹法的基本概念（10）134、开环传递函数一、根轨迹法的基本概念（10）145、闭环传递函数将前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s)代入得

一、根轨迹法的基本概念（11）145、闭环传递函数一、根轨迹法的基本概念（11）15

6、开闭环零极点关系（1）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。（2）闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递数的极点所组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。（3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。一、根轨迹法的基本概念（12）156、开闭环零极点关系一、根轨迹法的基本概念（12）164-1-4根轨迹方程1、系统闭环特征方程由闭环传函可得系统闭环特征方程为：一、根轨迹法的基本概念（13）2、根轨迹方程

当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为根轨迹方程164-1-4根轨迹方程一、根轨迹法的基本概念（13173、根轨迹相角条件（充分必要条件）一、根轨迹法的基本概念（14）4、根轨迹模值条件用来确定根轨迹上各点得值，模值条件为根据这两个条件，可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对应的值。173、根轨迹相角条件（充分必要条件）一、根轨迹法的基本18二、根轨迹绘制的基本法则

本节主要内容：

1、绘制根轨迹的基本方法

2、根轨迹法则应用举例

3、闭环极点的确定18二、根轨迹绘制的基本法则本节主要内容：19

本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法。在下面的讨论中，假定所研究的变化参数是根轨迹增值，当可变参数为系统的其它参数时，这些基本法则仍然适用。应当指出的是，用这些基本法则绘出的根轨迹，其相角遵循条件，因此称为根轨迹，相应的绘制法则也就可以叫做根轨迹的绘制法则。二、根轨迹绘制的基本法则（1）19本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极二、根轨204-2-1

根轨迹绘制基本法则法则1

根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。证明：设闭环系统特征方程为

式中可以从零变到无穷。当时，有

说明时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数

G(s)H(s)的极点，所以根轨迹必起于开环极点。二、根轨迹绘制的基本法则（2）…

204-2-1根轨迹绘制基本法则二、根轨迹绘制的基本法21将特征方程改写为如下形式：当时，由上式可得所以根轨迹必终于开环零点。二、根轨迹绘制的基本法则（3）21将特征方程改写为如下形式：二、根轨迹绘制的基本法则（3）22法则2

根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开环有限零点数m相等（n<m)。根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续变化。实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数或共轭复数。二、根轨迹绘制的基本法则（4）22法则2二、根轨迹绘制的基本法则（4）23法则3根轨迹渐近线当n>m时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。与实轴夹角与实轴交点二、根轨迹绘制的基本法则（5）23法则3与实轴夹角与实轴交点二、根轨迹绘制的基本法则（5）24

法则4

实轴上的根轨迹：

若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。这个结论可以用相角条件证明。任一点位于根轨迹上的充要条件，是相角条件成立。考虑到这些相角中的每一个相角都等于，减去就相当于加上角。于是，点位于根轨迹上的等效条件是：二、根轨迹绘制的基本法则（6）24法则4二、根轨迹绘制的基本法则（6）25

法则5

根轨迹分离点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。分离点的坐标d由下列方程所决定：二、根轨迹绘制的基本法则（7）25法则5二、根轨迹绘制的基本法则（7）26或注：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。（2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。（3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。二、根轨迹绘制的基本法则（8）26或二、根轨迹绘制的基本法则（8）27例

绘制图示系统大致的根轨迹解：（1）开环零点开环极点根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。（2）实轴上根轨迹二、根轨迹绘制的基本法则（9）27例绘制图示系统大致的根轨迹二、根轨迹绘制的基本法则（928（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点（4）分离点（用试探法求解）二、根轨迹绘制的基本法则（10）28（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点二、根轨迹绘制的基29法则6根轨迹的起始角和终止角起始角：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。终止角：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。二、根轨迹绘制的基本法则（11）29法则6二、根轨迹绘制的基本法则（11）30

法则7

根轨迹与虚轴的交点交点对应的根轨迹增益和角频率可以用劳斯判据或令闭环特征方程中的，然后分别令其实部和虚部为零来确定。实际上若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，这意味着的数值使闭环系统处于临界稳定状态。二、根轨迹绘制的基本法则（12）30法则7二、根轨迹绘制的基本法则（12）31

法则8

根之和。系统的闭环特征方程在n>m的一般情况下，可以有不同形式的表示式中，为闭环特征根。

二、根轨迹绘制的基本法则（13）31法则8二、根轨迹绘制的基本法则（13）32

当时，特征方程第二项系数与无关，无论取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。所以，当开环增益增大时，若闭环某些根在平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。二、根轨迹绘制的基本法则（14）32当33例

设单位反馈系统的开环传递函数为试绘制闭环系统根轨迹。解：首先将写成零、极点标准形式二、根轨迹绘制的基本法则（19）33例设单位反馈系统的开环传递函数为二、根轨迹绘制的基本法34由法则1～5可知，本例有两条根轨迹分支，它们分别起于开环复数极点，终于有限零点和无限零点。因此，在上，必存在一个分离点，其方程为

经整理，可以求得和

，显然应取，根轨迹图见下张片子。二、根轨迹绘制的基本法则（20）34由法则1～5可知，本例有两条根轨迹分支，它们分别起二、根35二、根轨迹绘制的基本法则（21）35二、根轨迹绘制的基本法则（21）36例

设系统开环传递函数为

试绘制该系统概略根轨迹。

解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤

1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域和为轨迹。

2）确定根轨迹的渐近线。本例n＝4，m＝3，故只有一条的渐近线。二、根轨迹绘制的基本法则（22）36例设系统开环传递函数为二、根轨迹绘制的基本法则（2373）确定分离点。本例无分离点。4）确定起始角与终止角。根轨迹在极点处的起始角为类似方法可算出根轨迹在复数零点处的终止角为根轨迹图见下一张。各开环零、极点到的向量相角也在下面图中显示。二、根轨迹绘制的基本法则（23）373）确定分离点。本例无分离点。二、根轨迹绘制的基本法则（38二、根轨迹绘制的基本法则（24）38二、根轨迹绘制的基本法则（24）39二、根轨迹绘制的基本法则（25）39二、根轨迹绘制的基本法则（25）40例

设系统开环传递函数为

试绘制闭环系统的概略根轨迹。解:按下述步骤绘制概略根轨迹：

1）确定实轴上的根轨迹。实轴上区域必为根轨迹。

2）确定根轨迹的渐近线。由于

，故有四条根轨迹渐近线，其二、根轨迹绘制的基本法则（26）40例设系统开环传递函数为二、根轨迹绘制的基本法则（26413）确定分离点。本例没有有限零点，故于是分离点方程为

用试探法算出4）起始角。量测各向量相角，算得5）确定根轨迹与虚轴交点。本例闭环特征方程式为二、根轨迹绘制的基本法则（27）413）确定分离点。本例没有有限零点，故二、根轨迹绘制的基本42应用劳思判据，有令劳思表中行的首项为零，得。根据行的系数，得如下辅助方程代入并令，解出交点坐标。二、根轨迹绘制的基本法则（28）42应用劳思判据，有二、根轨迹绘制的基本法则（28）43根轨迹与虚轴相交时的参数，也可用闭环特征方程直接求出。将代入特征方程，可得实部方程为

虚部方程为因此根轨迹与虚轴交点坐标应为。将所得值代入实部方程，立即解出。所得结果与劳思表法完全一样。整个系统概略根轨迹如下一张图所示。二、根轨迹绘制的基本法则（29）43根轨迹与虚轴相交时的参数，也可用闭环特征方程直接求出。二44二、根轨迹绘制的基本法则（30）44二、根轨迹绘制的基本法则（30）45

本节主要内容：

1、参数根轨迹

2、附加开环零点的作用

3、零度根轨迹三、广义根轨迹45本节主要内容：三、广义根轨迹46三、广义根轨迹（1）

广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益之外的所有根轨迹。通常，将负反馈系统中变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。46三、广义根轨迹（1）广义根轨迹是指根轨迹参数474-3-1

参数根轨迹参数根轨迹：以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹。绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。只要在绘制参数根轨迹之前，引入等效单位反馈系统和等效传递函数概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参数根轨迹的绘制。三、广义根轨迹（2）474-3-1参数根轨迹三、广义根轨迹（2）48对闭环特征方程进行等效变换，将其写为如下形式：其中，为除外，系统任意的变化参数，而和为两个与无关的首一多项式。可得等效单位反馈系统，其等效开环传递函数为画出的根轨迹，就是参数变化时的参数根轨迹。三、广义根轨迹（3）48对闭环特征方程三、广义根轨迹（3）49例设位置随动系统如图所示。图中，系统Ⅰ为比例控制系统，系统Ⅱ为比例－微分控制系统，系统Ⅲ为测速反馈控制系统，表示微分器时间常数或测速反馈系数。试分析对系统性能的影响，并比较系统

Ⅱ和Ⅲ在具有相同阻尼比时的有关特点。三、广义根轨迹（4）49例设位置随动系统如图所示。图中，系统Ⅰ为比例控制系三50解：显然，系统Ⅱ和Ⅲ具有相同的开环传递函数，即

但它们的闭环传递函数是不相同的，即可以看出，两者具有相同的闭环极点，但是系统Ⅱ具有闭环零点。三、广义根轨迹（5）50解：显然，系统Ⅱ和Ⅲ具有相同的开环传递函数，即三、广义51现在将系统Ⅱ或Ⅲ的闭环特征方程式写成如果令则上式代表一个根轨迹方程，其根轨迹如下张图所示。图中，当时，闭环极点位置为，它即是系统Ⅰ的闭环极点。为了确定系统Ⅱ和Ⅲ在时的闭环传递函数，在图中作线，可得闭环极点为，相应的值由模值条件算出为0.8。三、广义根轨迹（6）51现在将系统Ⅱ或Ⅲ的闭环特征方程式写成三、广义根轨迹（652系统Ⅱ与Ⅲ的根轨迹图如下三、广义根轨迹（7）52系统Ⅱ与Ⅲ的根轨迹图如下三、广义根轨迹（7）53于是和而系统Ⅰ的闭环传递函数与值无关，应是各系统的单位阶跃响应，可以由拉氏反变换法确定。对应的阶跃响应曲线见下一张图。对于系统Ⅱ，由于微分控制反映了误差信号的变化率，能在误差信号增大之前，提前产生控制作用，因此具有良好的时间响应特性，呈现最短的上升时间，快速性较好；对于系统Ⅲ，由于速度反馈加强了反馈作用，具有最小的超调量。三、广义根轨迹（8）53于是三、广义根轨迹（8）54单位阶跃响应图三、广义根轨迹（9）54单位阶跃响应图三、广义根轨迹（9）554–3–2附加开环零点的作用在控制系统设计中，常用附加位置适当的开环零点的方法来改善系统性能。因此，研究开环零点变化时的根轨迹变化，有很大的实际意义。

1、对系统稳定性的改善设系统开环传递函数为:

式中为附加的开环实数零点。取为不同值时，根轨迹如下：三、广义根轨迹（10）554–3–2附加开环零点的作用三、广义根轨迹（10）56当时三、广义根轨迹（11）56当时三、广义根轨57当时三、广义根轨迹（12）57当时三、广义根轨迹（158当时三、广义根轨迹（13）58当时三、广义根轨迹（159当时三、广义根轨迹（14）59当时三、广义根轨迹（160

分析：

由图可见，当开环极点位置不变，而在系统中附加开环负实数零点时，将使系统的根轨迹图发生趋向附加零点方向的变形，而且这种影响将随开环零点接近坐标原点的程度而加强。如果附加的开环零点不是负实数零点，而是具有负实部的共轭零点，那么它们的作用与负实数零点的作用完全相同。三、广义根轨迹（15）60分析：三、广义根轨迹（15）612、对系统动态性能的改善A、分析当即当根轨迹增益为时，复数极点和为闭环主导极点，实数极点距虚轴较远，为非主导极点。在这种情下，闭环系统近似为一个二阶系统，具有良好的动态性能。三、广义根轨迹（16）612、对系统动态性能的改善三、广义根轨迹（16）62B、当时，即在图中，实数极点为闭环主导极点，此时系统等价于一阶系统，其动态过程虽然可能是单的，但却具有较慢的响应速度和较长的调节时间。也就是说，此时稳态性能优于时，但动态性能却变差了。三、广义根轨迹（17）62B、当时，即三、广义根轨迹（1763

结论：

只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置

选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同

时得到明显的改善。三、广义根轨迹（18）63结论：三、广义根轨迹（18）64

4-3-3零度根轨迹在非最小相位系统，此时相角条件为在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹三、广义根轨迹（19）644-3-3零度根轨迹三、广义根轨迹（19）65

零度根轨迹的绘制

以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回路系统如图所示，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。三、广义根轨迹（20）65零度根轨迹的绘制三、广义根轨迹（20）66正反馈的闭环传函与开环传函分别为：等效为相角方程（幅角条件）：三、广义根轨迹（21）66正反馈的闭环传函与开环传函分别为：三、广义根轨迹（21）67等效模方程（模值条件）：

与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件所引起的某些规则的修改。三、广义根轨迹（22）67等效模方程（模值条件）：三、广义根轨迹（22）68应调整的法则有：规则3渐近线的夹角与实轴夹角与实轴交点

规则4实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为偶数。这个结论可以用相角条件证明。三、广义根轨迹（23）68应调整的法则有：规则4实轴上的根轨迹三、广义根轨迹69规则6

根轨迹的起始角和终止角

起始角（出射角）：终止角（入射角）：三、广义根轨迹（24）69规则6根轨迹的起始角和终止角三、广义根轨迹（24）70例设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为试绘制该回路的根轨迹图。解：（1）系统的开环零极点分布为

有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（-，-3]，[-2，）。三、广义根轨迹（25）70例设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为三、广义71（2）根轨迹的渐近线（n-m)=2条，渐近线夹角（3）确定出射角三、广义根轨迹（26）71（2）根轨迹的渐近线（n-m)=2条，渐近线夹角三、广义72（4）确定分离点（5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为三、广义根轨迹（27）72（4）确定分离点三、广义根轨迹（27）73

整个系统概略零度根轨迹如下图所示。

三、广义根轨迹（28）73整个系统概略零度根轨迹如下图所示。三、广义根轨迹（274四、系统性能的分析（1）

闭环系统零、极点位置对时间响应性能的影响，可总结如下：

1、稳定性。

如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。

2、运动形式。

如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。74四、系统性能的分析（1）闭环系统零、极点位置75

3、超调量。

超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率，并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。四、系统性能的分析（2）4、调节时间。调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实数绝对值，如果实数极点距虚轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。

753、超调量。四、系统性能的分析（2）4、调节时间。765、实数零、极点影响。

零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增加系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点的程度而加强。四、系统性能的分析（3）6、偶极子及其处理。

如果零、极点之间的距离比它们本身模值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。远离原点的偶极子，其影响可略；接近原点的偶极子，其影响必须考虑。765、实数零、极点影响。四、系统性能的分析（3）6、偶777、主导极点。

在s平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为主导极点，凡比主导极点的实部大6倍以上的其他闭环零、极点，其影响均可忽略。四、系统性能的分析（4）777、主导极点。四、系统性能的分析（4）78例题（1）例1

某单位反馈系统的开环传递函数为：要求：（1）绘制系统的根轨迹草图；（2）用根轨迹法确定使系统稳定的值范围；（3）用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调的最大取值。解：（1）闭环系统特征方程为78例题（1）例1某单位反馈系统的开环传递函数为：79分离点整理得解出与虚轴交点令解出例题（1）79分离点例题（1）80系统根轨迹如下图例题（1）80系统根轨迹如下图例题（1）81（2）由（1）中的计算结果可知，稳定范围为（3）依题意，也就是要求分离点处的值：用模值条件解得例题（1）81（2）由（1）中的计算结果可知，稳定范围为例82例2：单位负反馈系统的开环传递函数为画出从变化时闭环系统的根轨迹，并确定闭环系统稳定时的值取值范围。解：开环传函变为如下形式例题（2）82例2：单位负反馈系统的开环传递函数为例题（2）83渐进线与虚轴交点令解出由根轨迹及计算结果可以确定的稳定范围是例题（2）83渐进线例题（2）84系统根轨迹如下图例题（2）84系统根轨迹如下图例题（2）85例3：已知单位反馈系统的开环传递函数为要求：（1）当从时，概略绘制系统的闭环根轨迹；（2）确定保证系统稳定的值范围；（3）求出系统在单位阶跃输入作用下稳态误差可能达到的最小绝对值。解：开环传函变为例题（3）85例3：已知单位反馈系统的开环传递函数为例题（3）86

分离点整理并解出与虚轴交点令联立求解得例题（3）86分离点例题（3）87画出的根轨迹如下图例题（3）87画出的根轨迹如下图例题（3）88（2）由根轨迹图可以看出，值稳定范围对应于根轨迹与虚轴的两个交点，所以有（3）系统的静态位置误差系数为由静态误差系数法，可求得系统在稳定范围内有例题（3）88（2）由根轨迹图可以看出，值稳定范围对应于根轨迹89例4

已知单位反馈系统的开环传函为该系统在取任何正值时均不稳定，利用根轨迹图，说明在负实轴加一合适的开环零点可使系统稳定。解：原系统的根轨迹如图（a）所示，系统不稳定。若增加开环零点，系统开环传函变为则渐进线与实轴的夹角渐近线与实轴的交点例题（4）89例4已知单位反馈系统的开环传函为例题（4）90根轨迹图例题（4）90根例题（4）91

由渐进线与实轴的交点可知，当时，交点在右半平面，系统仍不稳定。当时，交点在左半平面，可使原系统稳定，相应的根轨迹图见上一张图（b）、（c）所示。该例说明，适当增加开环零点，可改善系统的稳定性。例题（4）91由渐进线与实轴的交点可知，当92例5

设单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出变化时闭环系统的根轨迹；（2）求出系统处于临界稳定和临界阻尼时的值；（3）求出当时，闭环系统的单位阶跃响应。解：（1）系统的特征方程为得例题（5）92例5设单位反馈系统的开环传递函数为例题（5）93进一步可改写成式中系统的等效开环传函为由此可画出以（或）为变量的广义根轨迹。该广义根轨迹满足零度相角条件。例题（5）93进一步可改写成例题（5）94实轴上的根轨迹为令代入相角条件，有得可知上式为以极点为圆心，以为半径的圆周。例题（5）94实轴上的根轨迹为例题（5）95根轨迹图如下例题（5）95根轨迹图如下例题（5）96（2）由劳思判据可求出系统临界稳定时的两根，响应的值为。系统临界阻尼时的闭环极点可以由分离点方程求出，本题中也在园方程中，令，得到解得，这两个点就是根轨迹的分离点。（3）时，系统的闭环传函为例题（5）96（2）由劳思判据可求出系统临界稳定时的两根97系统输出为单位阶跃响应为例题（5）97系统输出为例题（5）98五、MATLAB在根轨迹中的应用绘制控制系统的根轨迹图

绘制根轨迹的常用命令为rlocus(num,den)或rlocus(num,den,K)。如果K的范围给定，则MATLAB在给定K值范围内绘制轨迹；否则K是自动确定。在绘制根轨迹时，MATLAB有x，y坐标的自动定标功能。如果用户需要，可自行设置坐标的范围，只要在相应的程序中加上如下的命令：V=[-xx-yy]；axis(V)它表示x轴的范围为-x～x，y轴的范围为-y～y。98五、MATLAB在根轨迹中的应用绘制控制系统的根轨迹99解：K=1;Z=[];P=[0-1-2][num,den]=zp2tf(Z,P,K);Rlocus(num,den);V=[-42-33];Axis(V);Title(‘Root-locusplotofG(s)=k/s(s+1)(s+2)’);Xlable(‘Re’);Ylable(‘Im’);运行结果如上图所示。例已知一单位反馈系统的开环传递函数为试用MATLAB绘制系统的根轨迹。99解：K=1;运行结果如上图所示。例已知一单位反馈系统100num=1;Z=[];den=[1320];Rlocus(num,den);V=[-42-33];Axis(V);Title(‘Root-locusplotofG(s)=k/s(s+1)(s+2)’);Xlable(‘Re’);Ylable(‘Im’);运行结果所得的图形如右图所示。如本例中的G（S）是以传递函数的一般形式表示时，可用下述程序求解。100num=1;运行结果所得的图形如右图所示。如本例中的G101其中解：GC=tf([11.2],[1]);G0=tf([1],[110]);G0=tf([1],[17]);Rlocus(GC*G0*H);V=[-101-66];Axis(V);Gridon;Xlable(‘Re’);Ylable(‘Im’);运行结果如图所示。例一控制系统如图所示，试用MATLAB绘制该系统的根轨迹。101其中解：GC=tf([11.2],[1]);运行结果102由根轨迹图对系统的性能进行分析在对系统性能的分析过程中，一般需要确定根轨迹图上某一点的根轨迹增益和其它对应的闭环极点。对此，只要在rlocus指令后，调用下面的指令：[K2，P2]=rlocfind(num,den)运行该指令后，在显示根轨迹图形的屏幕上会生成一个十字光标，同时在MATLAB的命令窗口出现“selectapointinthegraphicswindow”，提示用户选择一个点，当使用鼠标移动十字光标到希望的位置后，单击左键，在MATLAB的命令窗口就会显示该点的数值、增益K和对应的其它闭环极点。例如移动十字光标至上一页图中的A点，单击左键后，在MATLAB的命令窗口输出：102由根轨迹图对系统的性能进行分析在对系统性能的分析过程中103同法，可求得该图中B点对应的输出为：Selectd_point=-3.5000-0。0000ik2=13.1246p2=--3.50000.2500+1.9203i0.2500-1.9203i由于在B点处根轨迹的增益值为13.1246，另外两个闭环极点为0.250±1.9203，因而相应的系统为不稳定。Selectd_point=0.0000+1.4091ik2=5.9571p2=-2.99610.0020+1.4101i0.0020-1.4101i103同法，可求得该图中B点Selectd_point=由于104

以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！104105第四章线性系统的根轨迹法1第四章线性系统的根轨迹法106第四章线性系统的根轨迹法根轨迹法的基本概念

二根轨迹绘制的基本法则三广义根轨迹四系统性能分析本章主要内容：2第四章线性系统的根轨迹法根轨迹法的基本概念二根轨迹107本章要求1、正确理解根轨迹的概念；2、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制根轨迹；3、了解广义根轨迹；4、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势；5、掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。第四章线性系统的根轨迹法3本章要求1、正确理解根轨迹的概念；第四章线性系统的根轨迹108一、根轨迹法的基本概念（1）

本节主要内容：

1、根轨迹概念

2、根轨迹与系统性能

3、闭环零极点与开环零极点的关系

4、根轨迹方程4一、根轨迹法的基本概念（1）本节主要内容：1094-1-1根轨迹概念1、根轨迹一、根轨迹法的基本概念（2）开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在s平面上的轨迹称为根轨迹。2、举例说明A

控制系统如图54-1-1根轨迹概念一、根轨迹法的基本概念（2）开环110B

闭环传递函数一、根轨迹法的基本概念（3）其闭环传递函数为：C

闭环特征方程

特征方程式可写为

6B闭环传递函数一、根轨迹法的基本概念（3）其闭环传递函111一、根轨迹法的基本概念（4）D

特征方程的根特征方程式的根为Es平面根轨迹见右图7一、根轨迹法的基本概念（4）D特征方程的根1124-1-2

根轨迹与系统性能1、稳定性当开环增益从零变到无穷时，上面图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此对所有的K值都是稳定的。一、根轨迹法的基本概念（5）2、稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属I型系统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。84-1-2根轨迹与系统性能一、根轨迹法的基本概念（1133、动态性能当0＜K＜0.5时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；当K＝0.5时，闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度较0＜K＜0.5情况为快；当K＞0.5时，闭环极为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随K值的增大而加大。一、根轨迹法的基本概念（6）93、动态性能一、根轨迹法的基本概念（6）1144-1-3闭环零极点与开环零极点的关系

1、典型控制系统系统特征方程为一、根轨迹法的基本概念（7）104-1-3闭环零极点与开环零极点的关系一、根轨迹法1152、前向通路传递函数在一般情况下，前向通路传递函数可表示为一、根轨迹法的基本概念（8）

：前向通路增益：前向通道根轨迹增益

112、前向通路传递函数一、根轨迹法的基本概念（8）1163、反馈通路传递函数在一般情况下，反馈通路传递函数可表示为一、根轨迹法的基本概念（9）：反馈通道根轨迹增益123、反馈通路传递函数一、根轨迹法的基本概念（9）：1174、开环传递函数

系统的开环传递函数可表示为

一、根轨迹法的基本概念（10）134、开环传递函数一、根轨迹法的基本概念（10）1185、闭环传递函数将前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s)代入得

一、根轨迹法的基本概念（11）145、闭环传递函数一、根轨迹法的基本概念（11）119

6、开闭环零极点关系（1）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。（2）闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递数的极点所组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。（3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。一、根轨迹法的基本概念（12）156、开闭环零极点关系一、根轨迹法的基本概念（12）1204-1-4根轨迹方程1、系统闭环特征方程由闭环传函可得系统闭环特征方程为：一、根轨迹法的基本概念（13）2、根轨迹方程

当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为根轨迹方程164-1-4根轨迹方程一、根轨迹法的基本概念（131213、根轨迹相角条件（充分必要条件）一、根轨迹法的基本概念（14）4、根轨迹模值条件用来确定根轨迹上各点得值，模值条件为根据这两个条件，可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对应的值。173、根轨迹相角条件（充分必要条件）一、根轨迹法的基本122二、根轨迹绘制的基本法则

本节主要内容：

1、绘制根轨迹的基本方法

2、根轨迹法则应用举例

3、闭环极点的确定18二、根轨迹绘制的基本法则本节主要内容：123

本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法。在下面的讨论中，假定所研究的变化参数是根轨迹增值，当可变参数为系统的其它参数时，这些基本法则仍然适用。应当指出的是，用这些基本法则绘出的根轨迹，其相角遵循条件，因此称为根轨迹，相应的绘制法则也就可以叫做根轨迹的绘制法则。二、根轨迹绘制的基本法则（1）19本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极二、根轨1244-2-1

根轨迹绘制基本法则法则1

根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。证明：设闭环系统特征方程为

式中可以从零变到无穷。当时，有

说明时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数

G(s)H(s)的极点，所以根轨迹必起于开环极点。二、根轨迹绘制的基本法则（2）…

204-2-1根轨迹绘制基本法则二、根轨迹绘制的基本法125将特征方程改写为如下形式：当时，由上式可得所以根轨迹必终于开环零点。二、根轨迹绘制的基本法则（3）21将特征方程改写为如下形式：二、根轨迹绘制的基本法则（3）126法则2

根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开环有限零点数m相等（n<m)。根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续变化。实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数或共轭复数。二、根轨迹绘制的基本法则（4）22法则2二、根轨迹绘制的基本法则（4）127法则3根轨迹渐近线当n>m时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。与实轴夹角与实轴交点二、根轨迹绘制的基本法则（5）23法则3与实轴夹角与实轴交点二、根轨迹绘制的基本法则（5）128

法则4

实轴上的根轨迹：

若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。这个结论可以用相角条件证明。任一点位于根轨迹上的充要条件，是相角条件成立。考虑到这些相角中的每一个相角都等于，减去就相当于加上角。于是，点位于根轨迹上的等效条件是：二、根轨迹绘制的基本法则（6）24法则4二、根轨迹绘制的基本法则（6）129

法则5

根轨迹分离点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。分离点的坐标d由下列方程所决定：二、根轨迹绘制的基本法则（7）25法则5二、根轨迹绘制的基本法则（7）130或注：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。（2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。（3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。二、根轨迹绘制的基本法则（8）26或二、根轨迹绘制的基本法则（8）131例

绘制图示系统大致的根轨迹解：（1）开环零点开环极点根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。（2）实轴上根轨迹二、根轨迹绘制的基本法则（9）27例绘制图示系统大致的根轨迹二、根轨迹绘制的基本法则（9132（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点（4）分离点（用试探法求解）二、根轨迹绘制的基本法则（10）28（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点二、根轨迹绘制的基133法则6根轨迹的起始角和终止角起始角：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。终止角：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。二、根轨迹绘制的基本法则（11）29法则6二、根轨迹绘制的基本法则（11）134

法则7

根轨迹与虚轴的交点交点对应的根轨迹增益和角频率可以用劳斯判据或令闭环特征方程中的，然后分别令其实部和虚部为零来确定。实际上若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，这意味着的数值使闭环系统处于临界稳定状态。二、根轨迹绘制的基本法则（12）30法则7二、根轨迹绘制的基本法则（12）135

法则8

根之和。系统的闭环特征方程在n>m的一般情况下，可以有不同形式的表示式中，为闭环特征根。

二、根轨迹绘制的基本法则（13）31法则8二、根轨迹绘制的基本法则（13）136

当时，特征方程第二项系数与无关，无论取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。所以，当开环增益增大时，若闭环某些根在平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。二、根轨迹绘制的基本法则（14）32当137例

设单位反馈系统的开环传递函数为试绘制闭环系统根轨迹。解：首先将写成零、极点标准形式二、根轨迹绘制的基本法则（19）33例设单位反馈系统的开环传递函数为二、根轨迹绘制的基本法138由法则1～5可知，本例有两条根轨迹分支，它们分别起于开环复数极点，终于有限零点和无限零点。因此，在上，必存在一个分离点，其方程为

经整理，可以求得和

，显然应取，根轨迹图见下张片子。二、根轨迹绘制的基本法则（20）34由法则1～5可知，本例有两条根轨迹分支，它们分别起二、根139二、根轨迹绘制的基本法则（21）35二、根轨迹绘制的基本法则（21）140例

设系统开环传递函数为

试绘制该系统概略根轨迹。

解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤

1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域和为轨迹。

2）确定根轨迹的渐近线。本例n＝4，m＝3，故只有一条的渐近线。二、根轨迹绘制的基本法则（22）36例设系统开环传递函数为二、根轨迹绘制的基本法则（21413）确定分离点。本例无分离点。4）确定起始角与终止角。根轨迹在极点处的起始角为类似方法可算出根轨迹在复数零点处的终止角为根轨迹图见下一张。各开环零、极点到的向量相角也在下面图中显示。二、根轨迹绘制的基本法则（23）373）确定分离点。本例无分离点。二、根轨迹绘制的基本法则（142二、根轨迹绘制的基本法则（24）38二、根轨迹绘制的基本法则（24）143二、根轨迹绘制的基本法则（25）39二、根轨迹绘制的基本法则（25）144例

设系统开环传递函数为

试绘制闭环系统的概略根轨迹。解:按下述步骤绘制概略根轨迹：

1）确定实轴上的根轨迹。实轴上区域必为根轨迹。

2）确定根轨迹的渐近线。由于

，故有四条根轨迹渐近线，其二、根轨迹绘制的基本法则（26）40例设系统开环传递函数为二、根轨迹绘制的基本法则（261453）确定分离点。本例没有有限零点，故于是分离点方程为

用试探法算出4）起始角。量测各向量相角，算得5）确定根轨迹与虚轴交点。本例闭环特征方程式为二、根轨迹绘制的基本法则（27）413）确定分离点。本例没有有限零点，故二、根轨迹绘制的基本146应用劳思判据，有令劳思表中行的首项为零，得。根据行的系数，得如下辅助方程代入并令，解出交点坐标。二、根轨迹绘制的基本法则（28）42应用劳思判据，有二、根轨迹绘制的基本法则（28）147根轨迹与虚轴相交时的参数，也可用闭环特征方程直接求出。将代入特征方程，可得实部方程为

虚部方程为因此根轨迹与虚轴交点坐标应为。将所得值代入实部方程，立即解出。所得结果与劳思表法完全一样。整个系统概略根轨迹如下一张图所示。二、根轨迹绘制的基本法则（29）43根轨迹与虚轴相交时的参数，也可用闭环特征方程直接求出。二148二、根轨迹绘制的基本法则（30）44二、根轨迹绘制的基本法则（30）149

本节主要内容：

1、参数根轨迹

2、附加开环零点的作用

3、零度根轨迹三、广义根轨迹45本节主要内容：三、广义根轨迹150三、广义根轨迹（1）

广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益之外的所有根轨迹。通常，将负反馈系统中变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。46三、广义根轨迹（1）广义根轨迹是指根轨迹参数1514-3-1

参数根轨迹参数根轨迹：以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹。绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。只要在绘制参数根轨迹之前，引入等效单位反馈系统和等效传递函数概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参数根轨迹的绘制。三、广义根轨迹（2）474-3-1参数根轨迹三、广义根轨迹（2）152对闭环特征方程进行等效变换，将其写为如下形式：其中，为除外，系统任意的变化参数，而和为两个与无关的首一多项式。可得等效单位反馈系统，其等效开环传递函数为画出的根轨迹，就是参数变化时的参数根轨迹。三、广义根轨迹（3）48对闭环特征方程三、广义根轨迹（3）153例设位置随动系统如图所示。图中，系统Ⅰ为比例控制系统，系统Ⅱ为比例－微分控制系统，系统Ⅲ为测速反馈控制系统，表示微分器时间常数或测速反馈系数。试分析对系统性能的影响，并比较系统

Ⅱ和Ⅲ在具有相同阻尼比时的有关特点。三、广义根轨迹（4）49例设位置随动系统如图所示。图中，系统Ⅰ为比例控制系三154解：显然，系统Ⅱ和Ⅲ具有相同的开环传递函数，即

但它们的闭环传递函数是不相同的，即可以看出，两者具有相同的闭环极点，但是系统Ⅱ具有闭环零点。三、广义根轨迹（5）50解：显然，系统Ⅱ和Ⅲ具有相同的开环传递函数，即三、广义155现在将系统Ⅱ或Ⅲ的闭环特征方程式写成如果令则上式代表一个根轨迹方程，其根轨迹如下张图所示。图中，当时，闭环极点位置为，它即是系统Ⅰ的闭环极点。为了确定系统Ⅱ和Ⅲ在时的闭环传递函数，在图中作线，可得闭环极点为，相应的值由模值条件算出为0.8。三、广义根轨迹（6）51现在将系统Ⅱ或Ⅲ的闭环特征方程式写成三、广义根轨迹（6156系统Ⅱ与Ⅲ的根轨迹图如下三、广义根轨迹（7）52系统Ⅱ与Ⅲ的根轨迹图如下三、广义根轨迹（7）157于是和而系统Ⅰ的闭环传递函数与值无关，应是各系统的单位阶跃响应，可以由拉氏反变换法确定。对应的阶跃响应曲线见下一张图。对于系统Ⅱ，由于微分控制反映了误差信号的变化率，能在误差信号增大之前，提前产生控制作用，因此具有良好的时间响应特性，呈现最短的上升时间，快速性较好；对于系统Ⅲ，由于速度反馈加强了反馈作用，具有最小的超调量。三、广义根轨迹（8）53于是三、广义根轨迹（8）158单位阶跃响应图三、广义根轨迹（9）54单位阶跃响应图三、广义根轨迹（9）1594–3–2附加开环零点的作用在控制系统设计中，常用附加位置适当的开环零点的方法来改善系统性能。因此，研究开环零点变化时的根轨迹变化，有很大的实际意义。

1、对系统稳定性的改善设系统开环传递函数为:

式中为附加的开环实数零点。取为不同值时，根轨迹如下：三、广义根轨迹（10）554–3–2附加开环零点的作用三、广义根轨迹（10）160当时三、广义根轨迹（11）56当时三、广义根轨161当时三、广义根轨迹（12）57当时三、广义根轨迹（1162当时三、广义根轨迹（13）58当时三、广义根轨迹（1163当时三、广义根轨迹（14）59当时三、广义根轨迹（1164

分析：

由图可见，当开环极点位置不变，而在系统中附加开环负实数零点时，将使系统的根轨迹图发生趋向附加零点方向的变形，而且这种影响将随开环零点接近坐标原点的程度而加强。如果附加的开环零点不是负实数零点，而是具有负实部的共轭零点，那么它们的作用与负实数零点的作用完全相同。三、广义根轨迹（15）60分析：三、广义根轨迹（15）1652、对系统动态性能的改善A、分析当即当根轨迹增益为时，复数极点和为闭环主导极点，实数极点距虚轴较远，为非主导极点。在这种情下，闭环系统近似为一个二阶系统，具有良好的动态性能。三、广义根轨迹（16）612、对系统动态性能的改善三、广义根轨迹（16）166B、当时，即在图中，实数极点为闭环主导极点，此时系统等价于一阶系统，其动态过程虽然可能是单的，但却具有较慢的响应速度和较长的调节时间。也就是说，此时稳态性能优于时，但动态性能却变差了。三、广义根轨迹（17）62B、当时，即三、广义根轨迹（17167

结论：

只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置

选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同

时得到明显的改善。三、广义根轨迹（18）63结论：三、广义根轨迹（18）168

4-3-3零度根轨迹在非最小相位系统，此时相角条件为在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹三、广义根轨迹（19）644-3-3零度根轨迹三、广义根轨迹（19）169

零度根轨迹的绘制

以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回路系统如图所示，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。三、广义根轨迹（20）65零度根轨迹的绘制三、广义根轨迹（20）170正反馈的闭环传函与开环传函分别为：等效为相角方程（幅角条件）：三、广义根轨迹（21）66正反馈的闭环传函与开环传函分别为：三、广义根轨迹（21）171等效模方程（模值条件）：

与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件所引起的某些规则的修改。三、广义根轨迹（22）67等效模方程（模值条件）：三、广义根轨迹（22）172应调整的法则有：规则3渐近线的夹角与实轴夹角与实轴交点

规则4实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为偶数。这个结论可以用相角条件证明。三、广义根轨迹（23）68应调整的法则有：规则4实轴上的根轨迹三、广义根轨迹173规则6

根轨迹的起始角和终止角

起始角（出射角）：终止角（入射角）：三、广义根轨迹（24）69规则6根轨迹的起始角和终止角三、广义根轨迹（24）174例设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为试绘制该回路的根轨迹图。解：