第五章 三角函数 知识手册-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章三角函数课标要求：本单元的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。(1)角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。(2)三角函数概念和性质①借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）。②借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质。③结合具体实例，了解的实际意义；能借助图象理解参数的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。(3)同角三角函数的基本关系式理解同角三角函数的基本关系式：，。(4)三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。（5）三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型。知识梳理：教材《必修第一册》1.任意角（教材P168-P171）(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置__________到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．(2)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①是第一象限角可表示为；②是第二象限角可表示为；③是第三象限角可表示为；④是第四象限角可表示为．(3)非象限角如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ，k∈Z}；②终边在轴非正半轴上的角的集合可记作：_______________________________________；③终边在轴非负半轴上的角的集合可记作：_______________________________________；④终边在轴非正半轴上的角的集合可记作：_______________________________________；⑤终边在轴上的角的集合可记作：_______________________________________；⑥终边在轴上的角的集合可记作：_______________________________________；⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作：_______________________________________．(4)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S＝________________________.2．弧度制（教材P172-P175）(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．＝____________，是半径为r的圆的圆心角所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝__________rad，180°＝____________rad，1°＝____________rad≈0.01745rad，反过来1rad＝____________≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角用弧度制表示，则弧长公式＝__________；扇形面积公式＝____________＝__________．3．任意角的三角函数（教材P178-P180）(1)任意角的三角函数的定义设是一个任意角，它的终边上任意一点P(，)与原点的距离为，则＝____________，＝____________，＝____________()．(2)正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域(3)三角函数值在各象限的符号(4)特殊角的三角函数值角角的弧度数4.同角三角函数的基本关系（教材P183）(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：①____________________；②____________________．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式．5．三角函数的诱导公式（教材P180、P189、P192）(1)诱导公式的内容公式一：sin(α＋2kπ)＝______，cos(α＋2kπ)＝_______，tan(α＋2kπ)＝_______，其中k∈Z。公式二：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________。公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________。公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________。公式五：________，________。公式六：________，________。(2)诱导公式的规律三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把当成________时，原三角函数式中的角(如)所在________原三角函数值的符号．注意：把当成锐角是指不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．(3)诱导公式的作用诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：eq\x(\a\al(任意负角的,三角函数))eq\o(――→,\s\up7(去负（化负角为正角）))eq\x(\a\al(任意正角的,三角函数))eq\o(――→,\s\up11(脱周),\s\do4(脱去k·360°))eq\x(\a\al(0°到360°的,三角函数))eq\o(――→,\s\up11(化锐),\s\do4(（把角化为锐角）))eq\x(锐角三角函数)补充:，，三者之间的关系(1)________________.(2)________________.(3)_________.(4)_________.6.三角函数的图象和性质（教材P198-P199、P201、P202-P212）(1)“五点法”作图①在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是，，，，.②在确定余弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是，，，，.(2)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有___________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的________________.(3)三角函数的图象和性质函数性质定义域①________②________③_______图象（一个周期）值域④________⑤________R对称性对称轴：⑥________；对称中心：⑦_______对称轴：⑧________；对称中心：⑨________无对称轴；对称中心：⑩______最小正周期⑪________⑫_________⑬_______单调性单调增区间⑭；单调增区间⑮单调减区间⑯；单调减区间⑰单调增区间⑱奇偶性⑲________⑳________eq\o(○,\s\up1(21))_______7.函数的图象及三角函数模型的简单应用（教材P232-P237、P243）(1)用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示。x－eq\f(φ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0(2)函数的图象经变换得到的图象的步骤如下(3)简谐振动中的有关物理量y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相8.三角恒等变换（教材P216-P218、P221、P225、P227）(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式①______________________________.②______________________________.③______________________________.(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式①______________．②___________＝___________＝___________．③____________________.(3)半角的正弦、余弦、正切公式(1).(2).(3).(4)几个常用的变形公式①升幂公式：____________________；____________________；____________________．②降幂公式：____________________；____________________．③辅助角公式：，其中_________，__________，或＝________________，角所在象限与点所在象限_______________，角的终边经过点．参考答案：1．(1)旋转逆时针顺时针零角(2)非负半轴②③④或(3)坐标轴②③④⑤⑥⑦(4)或2．(1)半径长(2)(3)3．(1)(2)①②③(4)角角的弧度数不存在不存在4．(1)①②5．(1)公式一：；公式二：；公式三：；公式四：；公式五：；公式六：(2)不变锐角象限(3)锐角补充：(1)(2)(3)2(4)6.(