函数与方程-课件

函数与方程函数与方程函数与方程函数与方程知识梳理1．一般地，如果函数y＝f(x)在实数a处的________，即______．则a叫做这个函数的零点.2．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有______⇔函数y＝f(x)有______．3．(1)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；(2)并且满足__________．那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即至少存在一个c∈(a，b)，使________．满足上面条件(1)、(2)后，在(a，b)内存在的c不一定只有一个．

知识梳理交点零点f(a)·f(b)＜0

f(c)＝0

函数值等于零知识梳理1．一般地，如果函数y＝f(x)在实数a处的____知识梳理

知识梳理一分为二零点知识梳理知识梳理一分为二零点

知识梳理有两个不相等的实根有两个相等的实根无实根有两个零点有一个二重零点无零点有两个交点有一个交点无交点知识梳理有两个不相等的实根有两个相等的实根无实根有两要点探究►探究点1方程的根与函数的零点

要点探究[思路]分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数．[答案]B

要点探究►探究点1方程的根与函数的零点要点探究[思路]

要点探究[解析]当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x＞0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函数有2个零点，选B.[点评]函数f(x)的零点是一个实数(不是点)，就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此判断零点的个数就是判断方程f(x)＝0的实根个数，有时也可以根据函数图象的交点来判断零点的个数，如：要点探究[解析]当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x

要点探究变式题求函数y＝lnx＋2x－6的零点个数．

[解答]在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．

要点探究变式题求函数y＝lnx＋2x－►探究点2函数零点位置的判断

要点探究[思路]对于区间上连续不断的函数，在区间[a，b]内寻根，往往需要利用零点的存在性定理判断，即判断f(a)f(b)<0是否成立．

例2判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．►探究点2函数零点位置的判断要点探究[思

要点探究[解答](1)方法一：因为f(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0，所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．方法二：令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函数f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，∴f(x)＝x3－x－1在x∈[－1,2]上存在零点．(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1＞0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3＜0，∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在x∈[1,3]上存在零点．[点评]零点的存在性定理是判断连续不断的函数在区间[a，b]上是否存在零点的定理，该定理只能判断存在零点，不能判断区间[a，b]不存在零点，即如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)f(b)>0，函数在区间[a，b]上也可能存在零点，如：要点探究[解答](1)方法一：因为f(1)＝－20＜0

要点探究变式题[2009·天津卷]设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x)(

)A．在区间，(1，e)内均有零点

B．在区间，(1，e)内均无零点

C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点

D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点要点探究变式题[200

要点探究

[答案]D

[解答]由题意得f′(x)＝＝，令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0<x<3；f′(x)＝0，得x＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln3<0.又f(1)＝，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0，故选择D.要点探究[答案]D[解答]由题意得f′►探究点3二次函数零点的分布问题

例3已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．

要点探究[思路]设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．

►探究点3二次函数零点的分布问题例3

要点探究要点探究

要点探究[点评]本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不等式等的基本关系，有效地训练对“三个二次”的整体理解与掌握，解题过程中的数形结合是数学的重要思想方法．

要点探究[点评]本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不

要点探究变式题

求a为何值时，方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有实根．

要点探究变式题求a为何值时，方程9－|x►探究点4利用函数零点求参数

例4(1)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的值；

要点探究[思路]函数的类型为初等函数，因此可以利用方程的思想求解►探究点4利用函数零点求参数例4(1)

要点探究[思路]通过图象变换法作出函数的图象，利用数形结合思想求解．

(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．[解答]若f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，即|4x－x2|＋a＝0有四个根，即|4x－x2|＝－a有四个根．令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)、h(x)的图象，由图象可知如果要使|4x－x2|＝－a有四个根，那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点．故需满足0＜－a＜4，即－4＜a＜0.∴a的取值范围是(－4,0)．要点探究[思路]通过图象变换法作出函数的图象

要点探究[点评]函数形结合法是解决利用函数零点求参数问题的基本思想，其要点是通过构造函数，把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题．要点探究[点评]函数形结合法是解决利用函数零点求参数

要点探究变式题

已知函数f(x)＝x|x－4|－5，当方程f(x)＝a有三个根时，求实数a的取值范围．要点探究变式题已知函数f(x)＝x|x规律总结

规律总结1．方程的根(从数的角度看)、函数图象与x轴的交点的横坐标(从形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式．

2．函数零点的求法：

(1)代数法：利用公式法、因式分解法、直接法求方程f(x)＝0的根．

(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

(3)二分法：主要用于求函数零点的近似值．

规律总结规律总结1．方程的根(从数的角度看)、函数

规律总结3．要注意对于在区间[a，b]上的连续函数f(x)，若x0是f(x)的零点，却不一定有f(a)·f(b)<0，即f(a)·f(b)<0仅是f(x)在[a，b]上存在零点的充分条件，而不是必要条件．

4．有关函数零点的重要结论

(1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变．

5．用二分法求零点的近似解时，所要求的精确度ε不同，得到的结果也不同．精确度为ε是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算．精确度为0.001与精确到0.001是不同的．

规律总结3．要注意对于在区间[a，b]上的连续函数

函数与方程函数与方程函数与方程函数与方程知识梳理1．一般地，如果函数y＝f(x)在实数a处的________，即______．则a叫做这个函数的零点.2．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有______⇔函数y＝f(x)有______．3．(1)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；(2)并且满足__________．那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即至少存在一个c∈(a，b)，使________．满足上面条件(1)、(2)后，在(a，b)内存在的c不一定只有一个．

知识梳理交点零点f(a)·f(b)＜0

f(c)＝0

函数值等于零知识梳理1．一般地，如果函数y＝f(x)在实数a处的____知识梳理

知识梳理一分为二零点知识梳理知识梳理一分为二零点

知识梳理有两个不相等的实根有两个相等的实根无实根有两个零点有一个二重零点无零点有两个交点有一个交点无交点知识梳理有两个不相等的实根有两个相等的实根无实根有两要点探究►探究点1方程的根与函数的零点

要点探究[思路]分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数．[答案]B

要点探究►探究点1方程的根与函数的零点要点探究[思路]

要点探究[解析]当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x＞0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函数有2个零点，选B.[点评]函数f(x)的零点是一个实数(不是点)，就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此判断零点的个数就是判断方程f(x)＝0的实根个数，有时也可以根据函数图象的交点来判断零点的个数，如：要点探究[解析]当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x

要点探究变式题求函数y＝lnx＋2x－6的零点个数．

[解答]在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．

要点探究变式题求函数y＝lnx＋2x－►探究点2函数零点位置的判断

要点探究[思路]对于区间上连续不断的函数，在区间[a，b]内寻根，往往需要利用零点的存在性定理判断，即判断f(a)f(b)<0是否成立．

例2判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．►探究点2函数零点位置的判断要点探究[思

要点探究[解答](1)方法一：因为f(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0，所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．方法二：令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函数f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，∴f(x)＝x3－x－1在x∈[－1,2]上存在零点．(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1＞0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3＜0，∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在x∈[1,3]上存在零点．[点评]零点的存在性定理是判断连续不断的函数在区间[a，b]上是否存在零点的定理，该定理只能判断存在零点，不能判断区间[a，b]不存在零点，即如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)f(b)>0，函数在区间[a，b]上也可能存在零点，如：要点探究[解答](1)方法一：因为f(1)＝－20＜0

要点探究变式题[2009·天津卷]设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x)(

)A．在区间，(1，e)内均有零点

B．在区间，(1，e)内均无零点

C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点

D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点要点探究变式题[200

要点探究

[答案]D

[解答]由题意得f′(x)＝＝，令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0<x<3；f′(x)＝0，得x＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln3<0.又f(1)＝，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0，故选择D.要点探究[答案]D[解答]由题意得f′►探究点3二次函数零点的分布问题

例3已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．

要点探究[思路]设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．

►探究点3二次函数零点的分布问题例3

要点探究要点探究

要点探究[点评]本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不等式等的基本关系，有效地训练对“三个二次”的整体理解与掌握，解题过程中的数形结合是数学的重要思想方法．

要点探究[点评]本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不

要点探究变式题

求a为何值时，方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有实根．

要点探究变式题求a为何值时，方程9－|x►探究点4利用函数零点求参数

例4(1)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的值；

要点探究[思路]函数的类型为初等函数，因此可以利用方程的思想求解►探究点4利用函数零点求参数例4(1)

要点探究[思路]通过图象变换法作出函数的图象，利用数形结合思想求解．

(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．[解答]若f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，即|4x－x2|＋a＝0有四个根，即|4x－x2|＝－a有四个根．令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)、h(x)的图象，由图象可知如果要使|4x－x2|＝－a有四个根，那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点．故需满足0＜－a＜4，即－4＜a＜0.∴a的取值范围是(－4,0)．要点探究[思路]通过图象变换法作出函数的图象

要点探究[点评]函数形结合法是解决利