《单调性、最大值与最小值》三角函数(同名272)课件

第2课时

单调性、最大值与最小值三角函数第2课时单调性、最大值与最小值三角函数《单调性、最大值与最小值》三角函数(同名272)课件一二三一、正弦函数与余弦函数的单调性1.观察正弦曲线,正弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?如何将这些单调区间进行整合?类似地,余弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?怎样整合这些区间?一二三一、正弦函数与余弦函数的单调性一二三2.填空(2)余弦函数y=cosx在每一个闭区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都单调递增;在每一个闭区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上都单调递减.一二三2.填空一二三3.做一做(1)函数y=sin2x-1的单调递增区间是

;

(2)函数y=3-cos2x的单调递增区间是

.

一二三3.做一做一二三二、正弦函数与余弦函数的最值和值域1.观察正弦曲线和余弦曲线,正、余弦函数是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少?当自变量x分别取何值时,正弦函数y=sinx取得最大值和最小值?余弦函数呢?一二三二、正弦函数与余弦函数的最值和值域一二三3.做一做(1)函数y=2-3sinx的最小值是

;

(2)当函数y=cos取得最大值时,x的值等于

.

解析:(1)因为y=sin

x的最大值为1,所以y=2-3sin

x的最小值是-1.(2)当

=2kπ,k∈Z,即x=4kπ,k∈Z时,函数y=cos取得最大值.答案:(1)-1

(2)4kπ(k∈Z)一二三3.做一做一二三三、正弦函数与余弦函数的对称性1.观察正弦曲线与余弦曲线,正弦曲线除了关于原点对称外,是否还关于其他的点和直线对称?余弦曲线除了关于y轴对称外,是否还关于其他的点和直线对称?一二三三、正弦函数与余弦函数的对称性一二三2.填空(1)(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴都经过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点,即函数y=sinx(y=cosx)的最值点;正弦曲线(余弦曲线)的对称中心都经过正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点,即函数y=sinx(y=cosx)的零点.一二三2.填空一二三3.做一做(1)函数y=sinx+3的图象的一条对称轴方程为(

)A.x=-π

B.x=0(2)函数y=2cosx-1的图象的一个对称中心为(

)答案:(1)D

(2)C一二三3.做一做答案:(1)D(2)C探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练求三角函数的单调区间例1求下列函数的单调递减区间:分析:(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解;(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练求三角函数的单调区间探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟

与正弦函数、余弦函数有关的单调区间的求解技巧:(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间;(2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin

z的单调区间求出原函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟与正弦函数探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练单调性在三角函数中的应用角度1

利用单调性比较三角函数值的大小例2比较下列各组数的大小:(1)sin220°与sin230°;分析:观察各角,利用诱导公式,先将异名三角函数化为同名三角函数,非同一单调区间上的角化为统一单调区间上的角,再根据单调性比较大小.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练单调性在三角函数中的探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度2

已知三角函数的单调情况求参问题

探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度2已知三角函数探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟

比较三角函数值大小的方法(1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值;(2)不同名的函数化为同名函数;(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟比较三角函探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练三角函数的值域(或最值)问题角度1

利用三角函数的有界性和单调性求值域(或最值)例4求下列函数的值域:(2)y=|sinx|+sinx.分析:利用正弦函数的有界性和单调性来求解.(1)由x的取值范围确定2x+的取值范围,再由正弦函数的单调性求解;(2)先去绝对值符号,再求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练三角函数的值域(或最探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度2

化为f(sin

x)或g(cos

x)型的函数求值域(或最值)例5求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值,并求出函数的最大值和最小值:(1)y=cos2x+2sinx-2;探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度2化为f(si探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度3

分离常数法求值域(或最值)探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度3分离常数法求探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟

与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解思路1.求形如y=asin

x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性(-1≤sin

x≤1)求解.2.对于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函数,当定义域为R时,值域为[-|A|+k,|A|+k];当定义域为某个给定的区间时,需确定ωx+φ的范围,再结合函数的单调性确定值域.3.求形如y=asin2x+bsin

x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最值时,可以通过换元,令t=sin

x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值,求解过程中要注意正弦函数的有界性.4.求形如

,ac≠0的函数的值域,可以用分离常量法求解;也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟与三角函数探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练三角函数奇偶性与对称性问题

探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练三角函数奇偶性与对称探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:(1)B

(2)A探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:(1)B(2探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练4(1)下列函数中是偶函数的是(

)A.y=sin2x B.y=-sinxC.y=sin|x| D.y=sinx+1探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练4(1)下列探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解析:(1)A,B是奇函数,D是非奇非偶函数,C符合f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),∴y=sin|x|是偶函数.(2)本题很容易先求φ值再去求对称中心,其实本题所要强调的是正弦函数与余弦函数的性质之间的关系.不难发现,对于函数y=sin(ωx+φ)和y=cos(ωx+φ),正弦函数的对称轴与x轴交点的横坐标便是余弦函数的对称中心的横坐标,反之,正弦函数的对称中心的横坐标是余弦函数的对称轴与x轴交点的横坐标.于是本题中答案:(1)C

(2)A探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解析:(1)A,B是探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练求三角函数最值时忽视分类讨论或忽略定义域致误1.忽视分类讨论错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示:错解中默认为a>0,忽视了对a<0这一情况的讨论,导致丢解.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练求三角函数最值时忽视探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练防范措施

形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的函数,其最值与参数A的正负有关,因此在解决这类问题时,要注意对A分A>0和A<0两种情况进行分类讨论.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练防范措施形如y=A探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练2.忽略函数的定义域

探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练2.忽略函数的定义域探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练防范措施

解决与三角函数有关的复合函数问题时,讨论函数的单调性时,要注意“定义域优先”的原则,尤其是当与对数函数、幂函数等进行复合时,要格外引起注意.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练防范措施解决与三角探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练A.增函数

B.减函数C.先减后增函数 D.先增后减函数答案:C探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练A.增函数 B.减探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练2.函数y=2-sinx的最大值及取最大值时x的值为(

)答案:C探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练2.函数y=2-si探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:B探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:B探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练第2课时

单调性、最大值与最小值三角函数第2课时单调性、最大值与最小值三角函数《单调性、最大值与最小值》三角函数(同名272)课件一二三一、正弦函数与余弦函数的单调性1.观察正弦曲线,正弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?如何将这些单调区间进行整合?类似地,余弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?怎样整合这些区间?一二三一、正弦函数与余弦函数的单调性一二三2.填空(2)余弦函数y=cosx在每一个闭区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都单调递增;在每一个闭区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上都单调递减.一二三2.填空一二三3.做一做(1)函数y=sin2x-1的单调递增区间是

;

(2)函数y=3-cos2x的单调递增区间是

.

一二三3.做一做一二三二、正弦函数与余弦函数的最值和值域1.观察正弦曲线和余弦曲线,正、余弦函数是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少?当自变量x分别取何值时,正弦函数y=sinx取得最大值和最小值?余弦函数呢?一二三二、正弦函数与余弦函数的最值和值域一二三3.做一做(1)函数y=2-3sinx的最小值是

;

(2)当函数y=cos取得最大值时,x的值等于

.

解析:(1)因为y=sin

x的最大值为1,所以y=2-3sin

x的最小值是-1.(2)当

=2kπ,k∈Z,即x=4kπ,k∈Z时,函数y=cos取得最大值.答案:(1)-1

(2)4kπ(k∈Z)一二三3.做一做一二三三、正弦函数与余弦函数的对称性1.观察正弦曲线与余弦曲线,正弦曲线除了关于原点对称外,是否还关于其他的点和直线对称?余弦曲线除了关于y轴对称外,是否还关于其他的点和直线对称?一二三三、正弦函数与余弦函数的对称性一二三2.填空(1)(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴都经过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点,即函数y=sinx(y=cosx)的最值点;正弦曲线(余弦曲线)的对称中心都经过正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点,即函数y=sinx(y=cosx)的零点.一二三2.填空一二三3.做一做(1)函数y=sinx+3的图象的一条对称轴方程为(

)A.x=-π

B.x=0(2)函数y=2cosx-1的图象的一个对称中心为(

)答案:(1)D

(2)C一二三3.做一做答案:(1)D(2)C探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练求三角函数的单调区间例1求下列函数的单调递减区间:分析:(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解;(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练求三角函数的单调区间探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟

与正弦函数、余弦函数有关的单调区间的求解技巧:(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间;(2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin

z的单调区间求出原函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟与正弦函数探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练单调性在三角函数中的应用角度1

利用单调性比较三角函数值的大小例2比较下列各组数的大小:(1)sin220°与sin230°;分析:观察各角,利用诱导公式,先将异名三角函数化为同名三角函数,非同一单调区间上的角化为统一单调区间上的角,再根据单调性比较大小.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练单调性在三角函数中的探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度2

已知三角函数的单调情况求参问题

探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度2已知三角函数探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟

比较三角函数值大小的方法(1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值;(2)不同名的函数化为同名函数;(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟比较三角函探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练三角函数的值域(或最值)问题角度1

利用三角函数的有界性和单调性求值域(或最值)例4求下列函数的值域:(2)y=|sinx|+sinx.分析:利用正弦函数的有界性和单调性来求解.(1)由x的取值范围确定2x+的取值范围,再由正弦函数的单调性求解;(2)先去绝对值符号,再求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练三角函数的值域(或最探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度2

化为f(sin

x)或g(cos

x)型的函数求值域(或最值)例5求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值,并求出函数的最大值和最小值:(1)y=cos2x+2sinx-2;探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度2化为f(si探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度3

分离常数法求值域(或最值)探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练角度3分离常数法求探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟

与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解思路1.求形如y=asin

x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性(-1≤sin

x≤1)求解.2.对于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函数,当定义域为R时,值域为[-|A|+k,|A|+k];当定义域为某个给定的区间时,需确定ωx+φ的范围,再结合函数的单调性确定值域.3.求形如y=asin2x+bsin

x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最值时,可以通过换元,令t=sin

x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值,求解过程中要注意正弦函数的有界性.4.求形如

,ac≠0的函数的值域,可以用分离常量法求解;也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟与三角函数探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练三角函数奇偶性与对称性问题

探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练三角函数奇偶性与对称探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:(1)B

(2)A探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:(1)B(2探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练4(1)下列函数中是偶函数的是(

)A.y=sin2x B.y=-sinxC.y=sin|x| D.y=sinx+1探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练4(1)下列探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解析:(1)A,B是奇函数,D是非奇非偶函数,C符合f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),∴y=sin|x|是偶函数.(2)本题很容易先求φ值再去求对称中心,其实本题所要强调的是正弦函数与余弦函数的性质之间的关系.不难发现,对于函数y=sin(ωx+φ)和y=cos(