第3章-函数逼近与快速傅里叶变换课件

2022年12月19日1第3章函数逼近与快速傅里叶变换3.4曲线拟合的最小二乘法曲线拟合：科学实验中，通过一组实验数据，寻找数据变化规律，

确定函数的近似表达式，求取一条近似曲线。需要注意：数据较多，存在误差，拟合曲线只能反映总趋势。3.4.1最小二乘法及其计算与插值法不同：①曲线不是严格地通过每个数据点，无需高次多项式插值；②曲线反映总的变化规律，去掉了数据所含的测量误差。2022年12月18日1第3章函数逼近与快速傅里叶变换3在某特定函数类中，寻找一个函数作为的近似，2022年12月19日2数学描述：对某一未知函数,有一组实验数据，按某种度量标准为最小，这就是曲线拟合问题（函数逼近）。涉及两方面的内容：①误差或残差的度量标准——范数；并使两者在上的误差或残差，②函数类的选择——函数空间。在某特定函数类中，寻找一个函数2022年12月19日31.定义范数残差构成残差向量，有三种范数，称为

范数；，称为

范数；，称为

范数。其中，误差平方和最小的拟合，称为曲线拟合的最小二乘法：2022年12月18日31.定义范数残差构成2022年12月19日42.函数空间具有确定关系的函数集合，称为函数空间。假设，是一组线性无关的给定函数，表示由组成的函数空间，表示为则称为空间的一组基，记为例如次数不超过次的多项式集合，表示为2022年12月18日42.函数空间具有确定关系的函数集合2022年12月19日5数学模型：对于给定的数据，要在给定的函数空间中寻找一个函数使满足这种求拟合函数的方法，称为曲线拟合的最小二乘法。当确定出拟合参数，就可得到拟合函数。2022年12月18日5数学模型：对于给定的数据2022年12月19日6设多元函数要使达到最小，由多元函数取极值的必要条件，可得方程组3.最小二乘法2022年12月18日6设多元函数要使达到最小，2022年12月19日7引入内积：方程组为：方程组称为正则（或正规）方程组或法方程组，矩阵形式为：2022年12月18日7引入内积：方程组为：方程组称为正则2022年12月19日8注意：法方程组为线性方程组，其系数矩阵为对称矩阵。当线性无关时，有唯一解，相应的拟合函数为——这就是满足残差平方和为最小的最小二乘解。2022年12月18日8注意：法方程组为线性方程组，其系数矩4.加权最小二乘法2022年12月19日9实际问题中的实验数据并不是等精度、等重要性的。为了衡量数据的精度和重要性，需对数据加权处理。设为反映数据比重的权值，（

，可表示数据观测的次数）要求在函数空间中寻找一个函数，使为最小，这就是加权最小二乘法。4.加权最小二乘法2022年12月18日9实际问题中的实验2022年12月19日10若记同样，可得法方程2022年12月18日10若记同样，可得法方程2022年12月19日11总结：①对于给定数据，在函数空间存在唯一函数使得残差平方和为最小。②最小二乘解的系数可通过解法方程组求得。③用最小二乘解来拟合数据，平方误差为2022年12月18日11总结：①对于给定数据2022年12月19日125.直线拟合的实例设已知数据点，，分布大致为一条直线，利用最小二乘原理，作拟合直线，该直线不是通过所有数据点，而是使残差平方和为最小：确定直线参数、，取、，法方程组为2022年12月18日125.直线拟合的实例设已知数据点2022年12月19日13P00例1

已知实验数据

用最小二乘法求拟合曲线。解：这里，，，2022年12月18日13P00例1已知实验数据解：2022年12月19日14法方程组为解得，拟合直线为2022年12月18日14法方程组为解得2022年12月19日15P75例9

已知一组实验数据如表3-1，求它的拟合曲线。解：将所给数据在坐标纸上标出，可看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线，令这里，，，2022年12月18日15P75例9已知一组实验数据2022年12月19日16法方程组为解得，拟合直线为2022年12月18日16法方程组为解得2022年12月19日17P75例10设数据由表3-2给出，表中第4行为，可以看出数学模型为，用最小二乘法确定及。解：将拟合曲线两边取对数得若令，，得线性方程为确定、，将转化为，数据表如图根据最小二乘法，取，，2022年12月18日17P75例10设数据2022年12月19日18法方程组为解得，，有拟合曲线为，，2022年12月18日18法方程组为解得2022年12月19日19第3章函数逼近与快速傅里叶变换3.4曲线拟合的最小二乘法曲线拟合：科学实验中，通过一组实验数据，寻找数据变化规律，

确定函数的近似表达式，求取一条近似曲线。需要注意：数据较多，存在误差，拟合曲线只能反映总趋势。3.4.1最小二乘法及其计算与插值法不同：①曲线不是严格地通过每个数据点，无需高次多项式插值；②曲线反映总的变化规律，去掉了数据所含的测量误差。2022年12月18日1第3章函数逼近与快速傅里叶变换3在某特定函数类中，寻找一个函数作为的近似，2022年12月19日20数学描述：对某一未知函数,有一组实验数据，按某种度量标准为最小，这就是曲线拟合问题（函数逼近）。涉及两方面的内容：①误差或残差的度量标准——范数；并使两者在上的误差或残差，②函数类的选择——函数空间。在某特定函数类中，寻找一个函数2022年12月19日211.定义范数残差构成残差向量，有三种范数，称为

范数；，称为

范数；，称为

范数。其中，误差平方和最小的拟合，称为曲线拟合的最小二乘法：2022年12月18日31.定义范数残差构成2022年12月19日222.函数空间具有确定关系的函数集合，称为函数空间。假设，是一组线性无关的给定函数，表示由组成的函数空间，表示为则称为空间的一组基，记为例如次数不超过次的多项式集合，表示为2022年12月18日42.函数空间具有确定关系的函数集合2022年12月19日23数学模型：对于给定的数据，要在给定的函数空间中寻找一个函数使满足这种求拟合函数的方法，称为曲线拟合的最小二乘法。当确定出拟合参数，就可得到拟合函数。2022年12月18日5数学模型：对于给定的数据2022年12月19日24设多元函数要使达到最小，由多元函数取极值的必要条件，可得方程组3.最小二乘法2022年12月18日6设多元函数要使达到最小，2022年12月19日25引入内积：方程组为：方程组称为正则（或正规）方程组或法方程组，矩阵形式为：2022年12月18日7引入内积：方程组为：方程组称为正则2022年12月19日26注意：法方程组为线性方程组，其系数矩阵为对称矩阵。当线性无关时，有唯一解，相应的拟合函数为——这就是满足残差平方和为最小的最小二乘解。2022年12月18日8注意：法方程组为线性方程组，其系数矩4.加权最小二乘法2022年12月19日27实际问题中的实验数据并不是等精度、等重要性的。为了衡量数据的精度和重要性，需对数据加权处理。设为反映数据比重的权值，（

，可表示数据观测的次数）要求在函数空间中寻找一个函数，使为最小，这就是加权最小二乘法。4.加权最小二乘法2022年12月18日9实际问题中的实验2022年12月19日28若记同样，可得法方程2022年12月18日10若记同样，可得法方程2022年12月19日29总结：①对于给定数据，在函数空间存在唯一函数使得残差平方和为最小。②最小二乘解的系数可通过解法方程组求得。③用最小二乘解来拟合数据，平方误差为2022年12月18日11总结：①对于给定数据2022年12月19日305.直线拟合的实例设已知数据点，，分布大致为一条直线，利用最小二乘原理，作拟合直线，该直线不是通过所有数据点，而是使残差平方和为最小：确定直线参数、，取、，法方程组为2022年12月18日125.直线拟合的实例设已知数据点2022年12月19日31P00例1

已知实验数据

用最小二乘法求拟合曲线。解：这里，，，2022年12月18日13P00例1已知实验数据解：2022年12月19日32法方程组为解得，拟合直线为2022年12月