学习-大二上电路分析

九、正弦稳态功率和能量三相电路9.1.基本概念1、瞬时功率：p(t)=dw/dt=u(t)i(t)p(t)>0，表示能量流入元件或网络。

p(t)<0，能量流出。电阻元件：能量将变成热能消耗掉，因此p(t)不可能为负。动态元件：能量可被存储。p(t)有正有负，但储能总是正的，但可以有时大有时小。2、二端元件或单口网络的能量：后式经移项后与前式相同。可理解为：9.2.电阻的平均功率设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬时功率为pR(t)=u(t)i(t)设流过电阻元件的电流为

i(t)=ImcosωtA其电阻两端电压为

u(t)=ImRcosωt=UmcosωtV则瞬时功率为pR(t)=u(t)i(t)=UmImcos2ωt=2UIcos2ωt=UI（1+cos2ωt）W由于1+cos2ωt≥1,故pR（t）=

UI（1+cos2ωt）≥0

其瞬时功率的波形如图所示。由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且pR（t）≥0，说明电阻元件是耗能元件。

电阻元件的瞬时功率pR（t）=UI（1+cos2ωt）≥0电阻的平均功率可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。通常所说的功率，都是指平均功率，平均功率又叫有功功率。9.3.电感、电容的平均贮能1、电感：在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为

则电感电压为：其瞬时功率为：

上式表明，电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；且pL(t)的值可正可负，其波形如图所示。电感元件的瞬时功率

从图上看出，当uL(t)、iL(t)都为正值时或都为负值时，pL(t)为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当pL(t)为负时，电感元件向外释放能量。pL(t)的值正负交替，说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。电感消耗的平均功率为：

电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。P＞0，能量流入电感，贮能增长；P＜0，贮能减少。瞬时能量为：以两倍于电压的频率在其平均值WL上下波动，但在任何时刻WL（t）≥0电感平均储能：2．电容:在电压、电流为关联参考方向下，设流过电容元件的电流为:

则电容电压为：其瞬时功率为：uc(t)、Ic(t)、pc(t)的波形如图所示：

电容元件的瞬时功率从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。电容的平均功率也为零，即：

P＞0，能量流入电容，贮能增长；

P＜0，贮能减少。瞬时能量为：以两倍于电压的频率在其平均值WC上下波动，但在任何时刻WC（t）≥0

电感元件以磁场能量与外界进行能量交换，电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。电容平均储能：9.4.单口网络的平均功率1、单口网络的平均功率如图(a)的一端口电路N,设其端口电压u(t)=√2Ucos(ωt+ψu)其端口电流i(u与i为关联参考方向)是同频率的正弦量,设电流i(t)=√2Icos(ωt+ψi)=√2Icos(ωt+ψu-)式中

=ψu-ψi是电压u超前于电流i的相位差。如果一端口电路N不含独立源,则就是阻抗角

Z。在任一瞬间,一端口电路N吸收的功率p(t)=u(t)i(t)=2UIcos(ωt+ψu)cos(ωt+ψu-)根据

p(t)=u(t)i(t)=UIcos+UIcos(2ωt+2ψu-)p(t)=u(t)i(t)=2UIcos(ωt+ψu)cos(ωt+ψu-)=UIcos+UIcos(2ωt+2ψu-)由上式可见,瞬时功率有两个分量:第一个为恒定分量;第二个为正弦分量,其频率为电压或电流频率的两倍。下图画出了电压u、电流i和瞬时功率p的波形。1

如果≤π/2,式中第一项大于或等于零,电路N吸收功率。式中的第二项是角频率为2ω的正弦量,它在一周期内正负交替变化两次,这表明,电路N内部与外部之间周期性地交换能量。p(t)=u(t)i(t)=2UIcos(ωt+ψu)cos(ωt+ψu-)=UIcos+UIcos(2ωt+2ψu-)=UIcos+UIcos(2ωt+2ψu)cos-UIsinsin(2ωt+2ψu)=UIcos

1+cos(2ωt+2ψu)-UIsinsin(2ωt+2ψu)2、功率因数：瞬时功率是时间的正弦函数,使用不便。为了简明地反映正弦稳态电路中能量消耗与交换的情况,常用以下几种功率。平均功率(有功功率)P和功率因数λ

平均功率又称有功功率,是瞬时功率在一周期内的平均值。即式中T为电压(或电流)的周期。对于正弦量而言,将前式代入上式,得：由于是在一周期内积分,故上式第二项积分为零,于是得平均功率（有功功率）：P=UIcos=（1/2）UmImcos

可见,在正弦稳态情况下,平均功率P不仅与电压、电流的有效值(或振幅)有关,而且与电压和电流的相位差的余弦cos有关。平均功率或有功功率的单位是瓦(W)。cos称为功率因数,用λ表示,即λ=cos

。1、无功功率Q：无功功率反映了一端口电路N内部与外部交换能量的最大速率,即能量往返的规模。它只是一个计算量,并不表示作功的情况。无功功率的单位是乏(var）9.5.单口网络的无功功率p(t)=u(t)i(t)=2UIcos(ωt+ψu)cos(ωt+ψu-)=UIcos

1+cos(2ωt+2ψu)-UIsinsin(2ωt+2ψu)如果≤π/2,式中第一项大于或等于零,电路N吸收功率。式中的第二项是角频率为2ω的正弦量,它在一周期内正负交替变化两次,这表明,电路N内部与外部之间周期性地交换能量。第二项的振幅定义为无功功率：

若单口电路N是纯电阻,

Z=0,

则P=UI;Q=0,说明电阻吸收有功功率,电阻的无功功率为零。若单口电路N是纯电感,

Z=π/2，则P=0;QL=UI;

如电路是纯电容,

Z=-π/2,P=0;QC=-UI说明电感(电容)的平均功率为零,它们不消耗能量,但与外界有能量交换。如电路N是电感性的,则

Z>0,这时Q>0；如N是电容性的,则

Z<0,这时Q<0。如果电路N中不含独立源,就是阻抗角

ZP=UIcosZ=（1/2）UmImcos

Z

其中,WL为网络中总的磁场贮能平均值,WC为网络中总的电场贮能平均值,因此,无功功率比例于网络中两种贮能平均值的差额.如果网络中两种贮能平均值相等,在稳态时电源并不参与能量的交换,两种贮能在网络内部自行交换.2、视在功率S：

即S等于端口电压与电流有效值乘积,其单位为伏安(VA)。由于像发电机、变压器等电器设备,其功率因数cos取决于负载情况,因此通常用视在功率S表示其容量。例如某变压器的容量为560kVA。如果负载是纯电阻,则λ=cos=1,其传输功率为560kW;如果负载是感性的,譬如λ=cos=0.5时,它所传输的有功功率为280kW。所以这类设备只能用视在功率S来衡量其容量。3、视在功率S、无功功率Q和有功功率P的关系：P=UIcosQ

=UIsin

S=UISQP功率三角形

功率因数是电力技术经济中的一个重要指标。负载功率因数过低，电源设备的容量不能得到充分利用；另外在功率一定、电压一定的情况下，负载功率因数越低，则通过输电线路上的电流I=P/(Ucosφ)越大，因此造成供电线路上的功率损耗增大。显然，提高功率因数对国民经济的发展具有非常重要的意义。提高功率因数的意义是什么？如何提高？提高功率因数的意义：1.提高发配电设备的利用率；2.减少输电线上的电压降和功率损失。

尽量减少感性设备的空载和轻载，或在感性设备两端并联适当的电容。4、功率因数的提高

例1：图中是某输电线路的电路图,其中r1和X1分别为输电线的损耗电阻和等效感抗,已知r1=X1=6Ω。Z2为感性负载,其消耗功率P=500kW,Z2的端电压U2=5.5kV,功率因数cosZ2=0.91。求输入端电压的有效值U和输电线损耗的功率(即r1消耗的功率)。解：设负载端电压的初相为零,即ù2=5500∠0°(V)由于负载吸收功率P=U2IcosZ2,故线路电流其初相角

Z2=arccos0.91=±24.5°因为Z2为感性负载,所以

Z2应取正值,即

Z2=ψu2-ψi=24.5°从而ψi=-24.50(因已知ψu2=0°)。所以电流相量Ì=100/-24.5o（A）输入电压：Ù=（r1+jX1）Ì+Ù2=(6+j6)100/-24.5o==795+j297=6302/2.7o（V）即输入电压：U=6302V由于：r1=X1=6Ω输电线损耗功率:Pr1=r1I2=60000W

可见,输电线损耗功率是很大的。为减少损耗,输电线应采用导电性能良好的金属制成,并减小输电线电流。由于负载功率P=U2IcosZ2,为保证负载功率而又减小线路电流I,就必须提高电压U2和功率因数cosZ2。在电力系统中,就是用高压输电和提高功率因数的措施,以减小输电线的损耗,从而提高输电效率。

一台功率为1.1kW的感应电动机，接在220V、50Hz的电路中，电动机需要的电流为10A，求：(1)电动机的功率因数；(2)若在电动机两端并联一个79.5μF的电容器，电路的功率因数为多少？例2解（1）（2）设未并联电容前电路中的电流为I1；并联电容后，电动机中的电流不变，仍为I1，但电路中的总电流发生了变化，由I1变成I。电流相量关系为：画电路相量图分析：UIICI1ICUIICI1IC

可见，电路并联了电容C后，电流由原来的10A降到了5A，功率因数由原来的0.5提高到了0.845，电源利用率得以提高。9.6.复功率复功率守恒为了分析计算的方便,将有功功率P与无功功率Q组成一复数量,称为复功率。考虑到

=ψu-ψi,可得：Ŝ=P+jQ=UIcos+jUIsin=UIej

=UIej(ψu-ψi)=UejψuIe-jψi电压u电流i其相量分别为Ù=Uejψu和Ì=Iejψi

。电流相量Ì的共轭值为Ì*=Ie-jψi,于是一端口电路N的复功率可写为：

可见,视在功率S是复功率的模,其辐角为

(如电路N内不含独立源,则

=

z);

复功率的实部为有功功率P,其虚部为无功功率Q。

引入复功率的作用是能直接使用相量法计算所得的电压相量和电流相量,使平均功率、无功功率和视在功率的表达和计算更为简便。但需注意,复功率不代表正弦量,也不直接反映时域范围内的能量关系。对于正弦稳态电路,可以证明,电路中的复功率守恒,即有∑Ŝ=0

这包含有∑P=∑UIcos=0∑Q=∑UIsin=0

即对于正弦稳态电路,电路的总有功功率之代数和等于零,或者说，电路中各发出的有功功率之和等于各吸收的有功功率之和;电路的总无功功率之代数和恒等于零。例1：如图的电路,求：(1)各元件吸收的功率；(2)电源供给的功率。解：

(1)支路1的阻抗为Z1=2+j1(Ω),故电流I1=10/Z1=4.48/-26.57o

AR1吸收的有功功率和L吸收的无功功率分别为

PR1=I12R1=40WQL=I12XL=20var或者Ŝ1=ÙsÌ1*=10/0o×4.48/26.57o=40+j20

R2吸收的有功功率和C吸收的无功功率分别为

PR2=I22R2=10WQC=I22(-XC)=-30var容易验证Ŝ=

Ŝ1

+Ŝ2

或者：电路的总电流：供给的复功率（因Ùs与Ì为非关联参考方向）

例2：如图(a)的电路,感性负载(虚线方框内)的额定功率P=1.1kW,功率因数cos=0.5。电源电压U=220V,f=50Hz。(1)求线路电流IL；(2)若要功率因数提高到cos′=0.9,求与负载端口并接的电容C和线路电流I。解：(1)由P=UILcos,可得

IL==10A设电压Ù=220∠0°(V),由cos=0.5,得

=±60°由于是感性负载,故应取

=60°。(2)当负载端口并联电容C后,若电容电流为Ìc(它超前于电压Ù90°)，则线路电流相量关系如图(b)所示。由图可见,当并联C后,负载电压、电流并未改变,而线路电流明显减小。根据要求,并联C后,cos′=0.9,而负载的功率因数cos=0.5。由图(b)可见Icos′=ILcos故有I=ILcos/cos′=10×0.5/0.9=5.56A可见,补偿了电容以后,线路电流由原来的10A降低到5.56A。由图：ILsin-IC=Isin′所以：IC=ILsin-Isin′由于cos=0.5,可得sin=0.866;由于cos′=0.9,sin′=0.436,故得IC=10×0.866-5.56×0.436=6.24A由于IC=ωCU,所以由此可见,并联电容C的前后,电源供给的有功功率并未改变,而无功功率则大为减小。负载所需的无功功率的一部分由电容C提供，即负载中的感抗与电容C进行部分能量的交换。同时,视在功率也相应减小。现在比较一下补偿电容前后,电源供给功率的情况。并联电容前,cos=0.5,=60°。复功率：并联电容后：复功率：9.7.正弦稳态最大功率传输定理现在分析,在正弦稳态情况下,负载阻抗满足什么条件才能从给定电源获得最大功率。如图(a)所示电路为含源一端口电路NS向负载ZL传输功率。根据戴维南定理,图(a)的电路可化简为图(b)的电路。1、R和X可变，其它参数不变：

设ZS=RS+jXS,ZL=RL+jXL电路中的电流其模值负载吸收的功率

由于负载阻抗包括电阻和电抗(或模和相角)两部分,调节不同的参数其获得最大功率的条件也不相同。一般而言,电源电压及其等效内阻抗ZS是给定的,不能改变。当RL一定,仅调节XL时,

由上式可见,当XS+XL=0,即

XL=-XS时,负载获得功率为最大,这时

在XL=-XS的条件下,如果再调节RL,可将式对RL求导数,并令其等于零,即dPLm/dRL=0，可得：

RL=RS

如果XL和RL均可调节,

当XL=-XS,RL=RS,即ZL=ZS*时,

负载能获得最大功率（代入得PLm=US2/4RS

）。这时称为最大功率匹配或共轭匹配。2、负载阻抗角不变，阻抗的模可变：在有些情况下,负载阻抗的实部和虚部以相同的比例增大或减小。这实际上是阻抗角保持不变,而调节阻抗的模。设电源内阻抗ZS=RS+jXS

设负载阻抗为ZL=RL+jXL=|ZL|cos

L+j|ZL|sin

L式中，|ZL|为负载阻抗的模；

L为其辐角。ZS=RS+jXSZL=RL+jXL=|ZL|cos

L+j|ZL|sin

L将ZS和ZL代入得的负载电流和负载吸收的功率为：这时,负载ZL获得功率为最大。这种情况常称为模匹配。显然,如果负载为纯电阻RL,那么负载获得最大功率的条件为：

|ZL|=RL=|Zs|负载获得最大功率的条件为：（模匹配）

|ZL|=RL=|Zs|如果阻抗角也可调节，还能使负载得到更大一些的功率。

例：如图(a)的电路,在下列情况下,如何选择负载ZL才能使负载吸收的功率为最大？并求此时的功率。(1)如负载由RL和XL

串联组成,即ZL=RL+jXL;(2)如果负载为纯电阻RL。解：将图(a)中除ZL

以外部分看作是一端口电路,如图(b)所示。按图(b),电阻与电容相并联的阻抗可求得开路电压等效内阻抗Zeq=ZRC+j5=4+j3=5/36.9°Ω

于是可画出其戴维南等效电路,如图(c)所示。ÙOC=ZRCÌS=

（

4-j2）×2/0°=8.94/-26.6°(V)如果ZL=RL+jXL,共轭匹配时ZL=Z*eq=4-j3=5/-36.9°(Ω)此时负载吸收功率最大,PL=(2)如果负载为纯电阻,即ZL=RL。当|ZL|=RL=|ZS|=5Ω时,负载吸收功率最大。(模匹配)(Zeq=ZRC+j5=4+j3=5/36.9°Ω)负载吸收的功率：它的模：这时电流：•••axycbzSN定子转子定子中放三个线圈：axbycz首端末端三线圈空间位置各差120o

转子装有磁极并以的速度旋转。三个线圈中便产生三个单相电动势。9.8三相电路1、三相电源铁心（作为导磁路经）三相绕组匝数相同空间排列互差120:直流励磁的电磁铁定子转子发电机结构zaxyNSc-+b•••NSAZBXCYNSAZBXCYNSazbxcyax×uuby×uucz×uu(1)t=0时,A相绕组的感应电动势达到最大。(2)t=120º时,B相绕组的感应电动势达到最大。(3)t=240º时,C相绕组的感应电动势达到最大。三相交流发电机结构示意图各相绕组中感应电动势的正方向

三相对称电动势uAaxuBbyuCczt0um–umuaubuc2uA=umcostuB=umcos(t–120°)uC=umcos(t–240°)=umcos(t+120°)

三相对称电动势幅值相等,频率相同,彼此间的相位差也相等。相序A-B-C120°ua•uc•ub•120°120°相量图

三相电源是由三个同频率、等振幅而相位依次相差120°的正弦电压源按一定连接方式组成的电源,各电压源电压分别为ua、ub和uc,称为A相、B相和C相的电压,如图(a)所示,其中a、b、c称为该相的始端,x、y、z称为末端。三相交流电到达正最大值的顺序称为相序。供电系统三相交流电的相序为A

B

C若以A相为参考正弦量,它们的瞬时值表示式分别为：

ua=√2UPcosωtub=√2UPcos(ωt-120°)uc=√2UPcos(ωt-240°)==√2UPcos(ωt+120°)式中UP为相电压的有效值。三相电源的相量分别为：

Ùa=UP/0°Ùb=UP/-120°Ùc=UP/-240°=UP/120°

其相量图如图(b)所示。这组电源也称为对称三相电源。对称三相电源的电压瞬时值之和等于零,其相量和也等于零,即Ùa+

Ùb+

Ùc=0

对称三相电源常接成Y形(星形)或△形(三角形)向外供电。图(a)是三相电源的Y形连接。三个电源的末端x、y、z连接为公共节点n,称为中点,由中点引出的线称为中线(地线),由始端a、b、c分别引出的线称为端线(火线)。端线与中线间的电压为相电压Ua、Ub、Uc；各端线之间的电压Uab、Ubc、Uca称为线电压。若以Ùa为参考相量，由图(b)得各线电压分别为：Ùab=Ùa-Ùb=UP/0°-UP/-120°=（√

3）UP/30°Ùbc=Ùb-Ùc=（√3）UP/-90°Ùca=Ùc-Ùa=（√3）UP/-210°=（√3）UP/150°各线电压与各相电压的相量关系如图(b)所示。

由以上可见,若相电压是对称的,则线电压也是对称的,而且线电压的有效值(设为U1)是相电压有效值UP的（√3）倍,即

Ul=（√3）UP

图(a)是三相电源的△形连接。三个电源的始、末端依次相连(即b与x、c与y、a与z相连接)构成回路,并从三个连接点引出端线。由图可见,三相电源接成△形时,线电压等于相电压。在正确连接的情况下,三相电源构成的回路中有Ùa+Ùb+Ùc=0,如图(b)所示,这时电源能正常运行。但若将一相电压接反,譬如,C相电源将y与a,z与c相接,则回路中总电压为Ùa+Ùb+（-Ùc）=-2ÙcÙa+Ùb+（-Ùc）=-2Ùc其相量关系如图(c)所示。这样,就有一个有效值等于两倍相电压的电压源作用于闭合回路,由于发电机绕组的阻抗很小,故在回路中产生很大的电流,致使发电机绕组烧毁,因此三相电源极少接成△形。2、对称三相电路的计算三相电路中，三个负载连接成Y形或△形,如果三个负载的参数相同,则称为对称三相负载,否则称为不对称负载。由对称三相电源和对称三相负载组成的三相电路(如考虑连接导线的阻抗,三条端线的阻抗也相等)称为对称三相电路。这里只讨论对称三相电路的一些基本知识。（1）Y形（星形）接负载：下图是对称三相四线制Y-Y系统,图中nn′为中线,Zn为中线阻抗。在三相电路中，端线电流称为线电流,其有效值用Il表示;流过各相负载的电流称为相电流,其有效值用Ip表示。显然,在负载为Y形连接时相电流等于线电流。上图的电路只有两个节点,用节点法分析较为方便。设对称负载的阻抗Z=|Z|/Z,选n为参考点,节点n与n′间的电压为Ù

n

n′,可列出节点方程为

由于Ùa+Ùb+Ùc=0，故Ù

n

n′=0式中,IP为相电流有效值(它等于线电流有效值I1,即IP=Il);Z为负载的阻抗角。由上式可见,各线电流也是对称的,故中线电流：这表明,在Y-Y连接的对称三相电路中,中线的有无是无关紧要的。如果省去中线,就成为三相三线制。对称的三相三线制相当于图中的Zn趋于无限大,令Zn→∞,仍有Ù

n

n′=0。在分析Y-Y连接的对称三相电路时,无论中线是否存在,都可将节点nn′短路,用上述方法求出相电流。图中，各相负载吸收功率(注意到Ul=（√3）Up,Il=IP)为

PP=UPIPcos

Z=Ilcos

Z三相负载吸收的总功率为

P=3PP=3UPIPcosZ=（√3）UlIl

cos

Z（2）△形（三角形）接负载：三相电源可能是Y形或△形。线电流与相电流的关系：各电流的相量关系如图(b)所示。可见,各相电流、线电流也是对称的。由图：各相负载吸收功率(注意到Ul=√3Up,Il=IP)为

PP=UPIPcos

Z=Ilcos

Z三相负载吸收的总功率为

P=3PP=3UPIPcos

Z=cos

Z以上功率表达式在形式上与Y形相同。

（3）总瞬时功率为常量对称三相电路的一个突出优点是瞬时功率为常量,不随时间变化。如图的电路中,若设A相电压的初相为零,即ua=（√2）UP