SnS-第6章拉普拉斯变换与连续时间系统课件

信号与系统多媒体教学课件

第六章Part1信号与系统多媒体教学课件

第六章Part1219十二月2022信号与系统第6章第1次课内容要点

双边拉普拉斯变换的定义和收敛域单边拉普拉斯变换及其性质拉普拉斯逆变换微分方程和电路的s域求解

LTI系统的系统函数及其性质

LTI系统的框图表示216十二月2022信号与系统第6章第1次课内容要点319十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.0引言6.1拉普拉斯变换的定义6.2单边拉普拉斯变换6.3拉普拉斯变换的性质作业316十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉419十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.4拉普拉斯逆变换6.5微分方程的求解作业416十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉519十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.6电路的s域求解6.7双边拉普拉斯变换作业516十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉619十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.8LTI系统的系统函数及其性质6.9LTI系统的框图表示作业616十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉719十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.0引言连续时间LTI系统的分析方法

1)求解微分方程(得到完全响应)2)采用卷积积分(得到零状态响应)

以上方法存在问题：计算过程繁锁

3)利用傅里叶变换(FT)优点：将时域微分方程转化为频域代数方程，求解容易；局限：①许多信号不存在FT②无法求得零输入响应拉普拉斯变换(LaplaceTransform,LT)716十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.0819十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.0引言拉普拉斯变换(LT)LT可以描述FT无法描述的信号；可以将微分方程变换为代数方程；可以直接求得系统的完全响应；对于连续时间信号及LTI系统的分析，LT具有比FT更为广泛的特性描述，更具通用性。Back816十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.0919十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义主要内容拉普拉斯正变换拉普拉斯逆变换拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的零极点图916十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.11019十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义定义一：从傅里叶变换引出傅里叶变换1016十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.11119十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义有几种情况不满足狄里赫利条件：若原信号乘一衰减因子e-σt,其中σ为任意实数，则乘积信号f(t)e-σt收敛，且满足狄里赫利条件阶跃信号增长信号周期信号1116十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.11219十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯(正)变换信号x(t)乘以一个实指数收敛因子e-σt后的傅里叶变换，即记s=σ+jω(称为复频率)

1216十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.11319十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义定义二：连续时间LTI系统的响应考虑：将一个复指数信号x(t)=est(其中s=σ+jω)输入至单位冲激响应为h(t)的连续时间LTI系统，此时系统的零状态输出框图表示

1316十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.11419十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义定义二LTI系统对输入为x(t)=est形式的复指数的作用是乘以H(s)复指数信号est为连续时间LTI系统的本征函数，H(s)称为本征值或系统函数(也称传递函数)。H(s)即为单位冲激响应的拉普拉斯变换1416十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.11519十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义单边与双边拉普拉斯变换前面定义的拉普拉斯变换能够处理从-∞至+∞整个时间区间内存在的信号，将这一定义式称为双边拉普拉斯变换对于因果信号x(t)=x(t)u(t)，双边拉普拉斯变换退化为单边拉普拉斯变换1516十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.11619十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义傅里叶变换与拉普拉斯变换的差异定义域值域x(t)实数实数X(j)纯虚数复数X(s)复数复数1616十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.11719十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的逆变换x(t)的拉普拉斯变换就是x(t)e-σt的傅里叶变换经整理，得到拉普拉斯逆变换1716十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.11819十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换与傅里叶变换拉普拉斯变换将信号x(t)表示为复指数est的加权组合，其权值正比于X(s)连续时间傅里叶变换是把时域信号表示为复谐波函数ejωt的加权组合，其权值正比于X(jω)LT是FT的一种推广1816十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.11919十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的收敛域使拉普拉斯变换存在的σ的取值范围称为收敛域(ROC)信号x(t)e-σt比信号x(t)更可能满足绝对可积条件，因此拉氏变换比傅里叶变换具有广泛的适用性1916十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.12019十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉氏变换的零极点图信号x(t)的拉普拉斯变换可表示为分子分母都是复变量s多项式的两个多项式之比，即为有理分式在s平面内，关于有理函数X(s)的零点(用圆圈表示)和极点(用叉表示)的图称为零极点图2016十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.12119十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉氏变换的零极点图X(s)有一对共轭极点-2±3j和一个零点42116十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.12219十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义【例6-1】

已知信号x(t)=e-atu(t),aR,a>0。求拉普拉斯变换X(s)及其收敛域

解：根据定义，得2216十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.12319十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义【例6-2】

已知信号x(t)=-e-atu(-t),aR,a>0。求拉普拉斯变换X(s)及其收敛域

解：根据定义，得2316十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.12419十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义关于拉普拉斯变换的一些推论时域中两个完全不同的信号可能有相同的拉普拉斯变换要使X(s)和x(t)之间一一对应必须标明收敛域如果在s平面找不到收敛域，那么这个信号的拉普拉斯变换就不存在2416十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.12519十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义关于拉普拉斯变换的一些推论如果信号的拉普拉斯变换的收敛域包含jω，则该信号的傅里叶变换存在，可以令s=jω来得到相应的傅里叶变换有始有终信号和能量有限信号，存在拉氏变换和收敛域对于一些比指数函数信号增长更快的信号不存在拉氏变换，除非时间有限(0≤t≤T)Back2516十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.12619十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.2单边拉普拉斯变换

在许多拉氏变换的应用中的信号为因果信号，即信号只有在时间t≥0时才有非零值。这时双变拉氏变换就退化为单边拉氏变换：积分下限选择0-基于以下两点适用于t=0时出现不连续点和冲激的一类信号直接分析或求解具有非零起始状态即0-起始状态的微分方程2616十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.22719十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.2单边拉普拉斯变换单边与双边拉普拉斯变换的比较对于t<0时为零且t=0时刻连续的信号，单边和双边拉普拉斯变换是等价的对于给定的双边拉普拉斯变换，必须指定收敛域，这样才能确定时域信号对于给定的单边拉普拉斯变换X(s)，无须指定收敛域，它的逆变换是惟一确定的2716十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.22819十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.2单边拉普拉斯变换单边与双边拉普拉斯变换的比较单边拉普拉斯变换的收敛域或者是全s平面(对时限因果信号)，或者是X(s)中以最右边极点的实部为边界的右边区域一般情况下，术语拉普拉斯变换指的是单边拉普拉斯变换2816十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.22919十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.2单边拉普拉斯变换【例6-7】分别求cosω0tu(t)和sinω0tu(t)的拉普拉斯变换及其收敛解：利用例6-1得到的结果Back2916十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.23019十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的定义式只能计算一些简单信号的拉普拉斯变换，而对于一些复杂信号的拉普拉斯变换通常利用性质来计算；拉普拉斯变换有着许多和傅里叶变换相似的性质，它们的证明也是类似的;设信号x(t)=x(t)u(t),h(t)=h(t)u(t),且有，3016十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.33119十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.1线性性质一个复杂信号的拉普拉斯变换可以通过将其分解为若干个简单信号的拉普拉斯变换之和来求解

3116十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.33219十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.2时移性质证明作变量置换，令t-t0=τ,则t=τ+t0,dt=dτ3216十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.33319十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.2时移性质时延性质仅适用于t0>0的情况时移性质表明，信号在时域延迟t0后，就相应于原信号的拉普拉斯变换乘以复指数e-st0如果在拉普拉斯变换式中出现s的指数形式，这通常是由时域的移位引起的3316十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.33419十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.2时移性质开关周期信号的拉普拉斯变换3416十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.33519十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.2时移性质【例6-9】计算图示信号的拉氏变换解：由图可知开关周期T=4，其中主周期x1(t)=u(t)-u(t-2)3516十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.33619十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.3复频域(s域)移位性质证明时间函数x(t)乘以复指数引起了拉普拉斯变换中复频率的移位3616十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.33719十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.3复频域(s域)移位性质【例6-10】求e-atcosω0tu(t)和e-atsinω0tu(t)的拉普拉斯变换解：利用例6-7得到的结果3716十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.33819十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.3复频域(s域)移位性质【例6-11】已知x(t)u(t)的拉普拉斯变换为X(s),求cosω0tx(t)u(t)的拉普拉斯变换解：利用欧拉公式3816十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.33919十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.4尺度变换性质证明

aR,a>0

是傅里叶变换中尺度变换性质在s域内的直接推广形式，对时域信号的压缩将导致复频域信号的扩展，反之亦然。该性质只适用于缩放因子a>0的情况3916十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.34019十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.5时域微分性质时域微分性质的数学表示4016十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.34119十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.5时域微分性质时域微分性质的证明4116十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.34219十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.5时域微分性质【例6-12】已知信号x(t)=e-2tu(t),求其微分的拉普拉斯变换解：另解4216十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.34319十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.6复频域(s域)微分性质s域微分性质的数学表示证明：拉普拉斯变换的定义式对s求导4316十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.34419十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.6复频域(s域)微分性质【例6-12】求x(t)=te-atu(t)的拉氏变换解：4416十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.34519十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.7卷积性质卷积定理的数学表示证明4516十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.34619十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.7卷积性质关于卷积定理的补充说明利用拉普拉斯变换的卷积性质，可以将时域的卷积运算变换为s域中的代数运算，再作拉普拉斯逆变换就可求得卷积结果若x(t)是输入信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们的卷积是系统的零状态响应系统函数H(s)的另一种定义形式4616十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.34719十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.7卷积性质【例6-14】求图示信号x(t)的拉氏变换解：信号x(t)可由信号x1(t)进行自卷积得到由卷积性质，求得4716十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.34819十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.8时域积分性质时域积分性质的数学表示证明4816十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.34919十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.8时域积分性质【例6-15】求图示信号x(t)的拉氏变换解对信号x(t)求导，x’(t)波形如图所示对x’(t)积分即得到x(t)，因此4916十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.35019十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.9初值和终值定理初值定理如果x(t)和它的导数的拉氏变换均存在，且存在,则证明利用LT的时域微分性质，并进行分部积分，经整理可得到上述结果5016十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.35119十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.9初值和终值定理终值定理如果x(t)和它的导数的拉氏变换均存在，且存在，即sX(s)在jω轴上或者在s平面的右半平面上没有极点，则证明利用LT的时域微分性质，并进行分部积分，经整理可得到上述结果5116十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.35219十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.9初值和终值定理【例6-16】根据信号的拉氏变换，判断是否存在终值

Back5216十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.35319十二月2022信号与系统第6章第1次课作业一6-1(2)(5)6-2(3)(6)(9)6-4(2)(4)Back5316十二月2022信号与系统第6章第1次课作业一6信号与系统多媒体教学课件

第六章Part1信号与系统多媒体教学课件

第六章Part15519十二月2022信号与系统第6章第1次课内容要点

双边拉普拉斯变换的定义和收敛域单边拉普拉斯变换及其性质拉普拉斯逆变换微分方程和电路的s域求解

LTI系统的系统函数及其性质

LTI系统的框图表示216十二月2022信号与系统第6章第1次课内容要点5619十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.0引言6.1拉普拉斯变换的定义6.2单边拉普拉斯变换6.3拉普拉斯变换的性质作业316十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉5719十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.4拉普拉斯逆变换6.5微分方程的求解作业416十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉5819十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.6电路的s域求解6.7双边拉普拉斯变换作业516十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉5919十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.8LTI系统的系统函数及其性质6.9LTI系统的框图表示作业616十二月2022信号与系统第6章第1次课第6章拉6019十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.0引言连续时间LTI系统的分析方法

1)求解微分方程(得到完全响应)2)采用卷积积分(得到零状态响应)

以上方法存在问题：计算过程繁锁

3)利用傅里叶变换(FT)优点：将时域微分方程转化为频域代数方程，求解容易；局限：①许多信号不存在FT②无法求得零输入响应拉普拉斯变换(LaplaceTransform,LT)716十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.06119十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.0引言拉普拉斯变换(LT)LT可以描述FT无法描述的信号；可以将微分方程变换为代数方程；可以直接求得系统的完全响应；对于连续时间信号及LTI系统的分析，LT具有比FT更为广泛的特性描述，更具通用性。Back816十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.06219十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义主要内容拉普拉斯正变换拉普拉斯逆变换拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的零极点图916十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.16319十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义定义一：从傅里叶变换引出傅里叶变换1016十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.16419十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义有几种情况不满足狄里赫利条件：若原信号乘一衰减因子e-σt,其中σ为任意实数，则乘积信号f(t)e-σt收敛，且满足狄里赫利条件阶跃信号增长信号周期信号1116十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.16519十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯(正)变换信号x(t)乘以一个实指数收敛因子e-σt后的傅里叶变换，即记s=σ+jω(称为复频率)

1216十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.16619十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义定义二：连续时间LTI系统的响应考虑：将一个复指数信号x(t)=est(其中s=σ+jω)输入至单位冲激响应为h(t)的连续时间LTI系统，此时系统的零状态输出框图表示

1316十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.16719十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义定义二LTI系统对输入为x(t)=est形式的复指数的作用是乘以H(s)复指数信号est为连续时间LTI系统的本征函数，H(s)称为本征值或系统函数(也称传递函数)。H(s)即为单位冲激响应的拉普拉斯变换1416十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.16819十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义单边与双边拉普拉斯变换前面定义的拉普拉斯变换能够处理从-∞至+∞整个时间区间内存在的信号，将这一定义式称为双边拉普拉斯变换对于因果信号x(t)=x(t)u(t)，双边拉普拉斯变换退化为单边拉普拉斯变换1516十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.16919十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义傅里叶变换与拉普拉斯变换的差异定义域值域x(t)实数实数X(j)纯虚数复数X(s)复数复数1616十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.17019十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的逆变换x(t)的拉普拉斯变换就是x(t)e-σt的傅里叶变换经整理，得到拉普拉斯逆变换1716十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.17119十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换与傅里叶变换拉普拉斯变换将信号x(t)表示为复指数est的加权组合，其权值正比于X(s)连续时间傅里叶变换是把时域信号表示为复谐波函数ejωt的加权组合，其权值正比于X(jω)LT是FT的一种推广1816十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.17219十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的收敛域使拉普拉斯变换存在的σ的取值范围称为收敛域(ROC)信号x(t)e-σt比信号x(t)更可能满足绝对可积条件，因此拉氏变换比傅里叶变换具有广泛的适用性1916十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.17319十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉氏变换的零极点图信号x(t)的拉普拉斯变换可表示为分子分母都是复变量s多项式的两个多项式之比，即为有理分式在s平面内，关于有理函数X(s)的零点(用圆圈表示)和极点(用叉表示)的图称为零极点图2016十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.17419十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉氏变换的零极点图X(s)有一对共轭极点-2±3j和一个零点42116十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.17519十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义【例6-1】

已知信号x(t)=e-atu(t),aR,a>0。求拉普拉斯变换X(s)及其收敛域

解：根据定义，得2216十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.17619十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义【例6-2】

已知信号x(t)=-e-atu(-t),aR,a>0。求拉普拉斯变换X(s)及其收敛域

解：根据定义，得2316十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.17719十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义关于拉普拉斯变换的一些推论时域中两个完全不同的信号可能有相同的拉普拉斯变换要使X(s)和x(t)之间一一对应必须标明收敛域如果在s平面找不到收敛域，那么这个信号的拉普拉斯变换就不存在2416十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.17819十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义关于拉普拉斯变换的一些推论如果信号的拉普拉斯变换的收敛域包含jω，则该信号的傅里叶变换存在，可以令s=jω来得到相应的傅里叶变换有始有终信号和能量有限信号，存在拉氏变换和收敛域对于一些比指数函数信号增长更快的信号不存在拉氏变换，除非时间有限(0≤t≤T)Back2516十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.17919十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.2单边拉普拉斯变换

在许多拉氏变换的应用中的信号为因果信号，即信号只有在时间t≥0时才有非零值。这时双变拉氏变换就退化为单边拉氏变换：积分下限选择0-基于以下两点适用于t=0时出现不连续点和冲激的一类信号直接分析或求解具有非零起始状态即0-起始状态的微分方程2616十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.28019十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.2单边拉普拉斯变换单边与双边拉普拉斯变换的比较对于t<0时为零且t=0时刻连续的信号，单边和双边拉普拉斯变换是等价的对于给定的双边拉普拉斯变换，必须指定收敛域，这样才能确定时域信号对于给定的单边拉普拉斯变换X(s)，无须指定收敛域，它的逆变换是惟一确定的2716十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.28119十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.2单边拉普拉斯变换单边与双边拉普拉斯变换的比较单边拉普拉斯变换的收敛域或者是全s平面(对时限因果信号)，或者是X(s)中以最右边极点的实部为边界的右边区域一般情况下，术语拉普拉斯变换指的是单边拉普拉斯变换2816十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.28219十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.2单边拉普拉斯变换【例6-7】分别求cosω0tu(t)和sinω0tu(t)的拉普拉斯变换及其收敛解：利用例6-1得到的结果Back2916十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.28319十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的定义式只能计算一些简单信号的拉普拉斯变换，而对于一些复杂信号的拉普拉斯变换通常利用性质来计算；拉普拉斯变换有着许多和傅里叶变换相似的性质，它们的证明也是类似的;设信号x(t)=x(t)u(t),h(t)=h(t)u(t),且有，3016十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.38419十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.1线性性质一个复杂信号的拉普拉斯变换可以通过将其分解为若干个简单信号的拉普拉斯变换之和来求解

3116十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.38519十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.2时移性质证明作变量置换，令t-t0=τ,则t=τ+t0,dt=dτ3216十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.38619十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.2时移性质时延性质仅适用于t0>0的情况时移性质表明，信号在时域延迟t0后，就相应于原信号的拉普拉斯变换乘以复指数e-st0如果在拉普拉斯变换式中出现s的指数形式，这通常是由时域的移位引起的3316十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.38719十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.2时移性质开关周期信号的拉普拉斯变换3416十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.38819十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.2时移性质【例6-9】计算图示信号的拉氏变换解：由图可知开关周期T=4，其中主周期x1(t)=u(t)-u(t-2)3516十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.38919十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.3复频域(s域)移位性质证明时间函数x(t)乘以复指数引起了拉普拉斯变换中复频率的移位3616十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.39019十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.3复频域(s域)移位性质【例6-10】求e-atcosω0tu(t)和e-atsinω0tu(t)的拉普拉斯变换解：利用例6-7得到的结果3716十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.39119十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.3复频域(s域)移位性质【例6-11】已知x(t)u(t)的拉普拉斯变换为X(s),求cosω0tx(t)u(t)的拉普拉斯变换解：利用欧拉公式3816十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.39219十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.4尺度变换性质证明

aR,a>0

是傅里叶变换中尺度变换性质在s域内的直接推广形式，对时域信号的压缩将导致复频域信号的扩展，反之亦然。该性质只适用于缩放因子a>0的情况3916十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.39319十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.5时域微分性质时域微分性质的数学表示4016十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.39419十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.5时域微分性质时域微分性质的证明4116十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.39519十二月2022信号与系统第6章第1次课§6.3.5时域微