2021-2022学年高二年级上册学期数学人教A版选择性必修第一册1

2021.2022学年高二数学(人教A版选择性必修一)1.3课时空间向量及其运算的坐标表示一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。.空间直角坐标系中，已知A(l,-2,3),5(3,2,-5),则线段AB的中点为A.(-1,-2,4) B.(-2,0,1) C.(2,0,-2) D.(2,0,—1).已知向量M=(l,-2,1),a-b=(-l,2,-l),则向量日=( )A.(2,-4,2) B.(—2,4,-2) C.(—2,0,—2) D.(2,1,-3).若向量M=(l,41),5=(2,-1,一2),且2与5的夹角余弦为注，则入等于()6A.-V2 B.& C-或&D.2TOC\o"1-5"\h\z.已知M=(2,-l,2),b=(2,2,1),则以万万为邻边的平行四边形的面积为( )A.V65 B.叵2C.4 D.85.已知向量。二(1,1,0),5=(—1,0,2),且攵。+坂与2。一坂互相垂直，则左的值是(3 7A.1 B.- C.- D.-5 5 5内的是( )3B.(1,3,-)26.已知平面。内有一点A(2,—1,2),它的一个法向量为3内的是( )3B.(1,3,-)2A.(1,-1,1)

C.(1,-3,-)C.(1,-3,-)2D.(—1,3,——)2.若a/WC的三个顶点坐标分别为A（l,-2,1）,8（4,2,3）,C（6,-l,4）,则的形状是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形.已知砺=（1,2,3）,丽=（2,1,2）,丽=（1,1,2）,点Q在直线OP上，那么当诬•磅取得最小值时，点Q的坐标是（ ）（1311 （131） 「448、 /447、A，157旬 B'[2'2'3） 。D.二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。.已知点P是平行四边形ABC£）所在的平面外一点，如果A8=（2,-1,-4）,A。=（4,2,0）,而=（一1,2,-1）,下列结论正确的有（ ）A.AP±AB B. AP1ADC.而是平面4BC。的一个法向量 D. APHBD10.已知向量£=（4,一2,7）,^=（6,-3,-2）,则下列结论正确的是（ ）A.a+Z?=（10,—5,—6） B.a—力=（2,-1,—6）C.a-/>=10 D.忖=611.（多选）设几何体ABCO-AqG。是棱长为。的正方体，A。与相交于点0,则（）A.^51-AC=a2 B.AB-AyC=yplcrC.CDAB^=-a2 D.丽•而」a.对于任意非零向量a=（x”x，zj,b=（x2,y2,z2）,以下说法错误的有

A.若£_1_5，则%/+%%+2/2=01i A.若。〃6,贝U—=cos<cos<a.b>=Jx；+y：+z：7x；+y；+z；D.若％=y=Z]=1,则q为单位向量三、填空题。本大题共4小题。.在空间直角坐标系中，若点B(-3,-1，4),4(1,2,-1),则|A8|=.已知A(4,1,3),8(2,3,1),C(3,7,-5),点尸(x,-1,3)在平面48c内，贝l]x=..若伍+35)_1.(71—55),且®—4b)_L(71-55),则£与方的夹角的余弦值为..已知。=(3,—2,-3),力=(一1/一1,1),且£与坂夹角为钝角，则x的取值范围为四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。.如图所示，在直三棱柱ABC-A181G中，CA=CB=\,ZBCA=90°,棱A4i=2,M,N分别为48i,A]A的中点.(1)求BN(1)求BN的长;(2)求48与BiC所成角的余弦值:.正方体A8CD481GG中，E是棱DQ的中点，P、Q分别为线段BiD,,8。上的点，且3"=而一若尸。_LAE,BD=XDQ,求入的值..已知己=(1+1,1,24),5=(6,2加一1,2).(1)若a//b＞分别求/与，"的值；(2)若|万|=石，且与乙=(2,-24-；1)垂直，求优.已知空间三点4(—2,0,2),3(—1,1,2),。(一3,0,4),设£=而出=*.

(1)求3和坂的夹角。的余弦值;(2)若向量火£+刃与左£一2右互相垂直，求左的值.求CM和RN所成角的.如图，在正方体ABCO-A81GA中，M,N分别为棱AA求CM和RN所成角的22.如图，在长方体22.如图，在长方体A5CD-4瓦。|£)|中，M是AC与8。的交点.若。小=求片M的长.,D£=2,D、D=3,

答案D根据中点坐标公式，中点坐标为(2,0,-1).故选答案D根据中点坐标公式，中点坐标为(2,0,-1).故选O.A由已知可得石=£_(£_石)=(1,_2,1)_(_1,2,-4)=(2,T,2).故选：A.A解：,•,向量。=(1,九1),3=(2,-1,—2),,/.cos<a,b>=a-b向•出「立丁・囱解得a=一0.故选：A.A设向量5的夹角为仇\a\=^22+(-1)2+22=3>\b\^^22+22+=3,于是cos8=^-马土2=±.由此可得sind=^5.3x3 9 9所以以万,5为邻边的平行四边形的面积为S=2x!x3x3xY65=底.故选：AD依题意得:(衣£+杨・(2£-1)=0,即 一女76+2£%—|坂|2=0,而|£|2=2,巧|2=5,£彳=一1,7・・・4%+A-2-5=0,解得%=一.故选：DB UU1对于选项A,PA=(1,0,1),则Q4g?=(l,0,l)收3,1,2)=5#0，故排除A；uir1utrr।对于选项B,PA=(1,-4,-),则尸Ag2=(LT,/)g：3,L2)=3-4+l=0uir।uirri对于选项C,PA=(1,2,-),则PA即=(1,2,5)艮3[,2)=3+2+1=6工0,故排除C；ULT 7ULTr 7对于选项D,PA=(3,-4,—),则PZg?=(3,-4,])H3,l,2)=9-4+7=12w0,故排除D；故选:BA丽=(4,2,3)-(1,-2,1)=(3,4,2),丽=(一3,T,-2)AC=(6,-1,4)-(1,-2,1)=(5,1,3),5C=(6,-1,4)-(4,2,3)=(2,-3,1),因为丽•*=3x5+4xl+2x3=25>0，所以A是锐角，因为衣•36=2x5-3x1+lx3=10>0，所以。是锐角，因为aH=-3x2+(-4)x(-3)-2xl=4>0,所以所以B是锐角，所以aABC为锐角三角形.故选：A.C设Q(x,y,z),由点。在直线OP上，可得存在实数4使得诙=义而，即(x,y,z)=〃l,l,2),可得Q(4A24),所以苏=(1-42—人3—2九),诙=(2—/1,1-/1,2—2/1),则函0=(1_2)(2-2)+(2-2)(1-2)+(3-22)(2-22)=2(322-82+5).4 2 448根据二次函数的性质，可得当；1=一时，取得最小值-一，此时Q(一,一,一).3 3 333故选：C.ABC因为布・丽=-2-2+4=0，所以AP_LAB，A正确：因为45・Q=T+4=0，所以AP_LA£)，B正确；由AP_LA8,AP_LA£＞，可得正是平面ABC。的一个法向量，C正确；8。在平面A8CC内，可得AP_L3r＞，D错误.故选：ABC.AD解：因为£=(4,一2,—4),S=(6,-3,-2),所以a+6=(10,-5,-6),ci—b—2,1,—2),a,b=4x6+(—2)x(—3)+(-4)x(—2)=38,同=西+(-2)2+(一4)=6.

故选:AD.ACx如图，建立空间直角坐标系，则4(4,0,0),B(a,a,O),x如图，建立空间直角坐标系，则4(4,0,0),B(a,a,O),C(0,a,0),£)(0,0,0),A(a,0,a),B^a,a,a),(aaa\ -> - -► ->4片=(0,a,0)，AC=(-a,a,0)'AB=(0,a,0)'A,C=(-a,a,-a)>CD=(0,-a,0)-a2ABt=(0,a,a)'A°=aa2^2••••&「/=〃，A对；错；CDAB,=-a2'C对；AB\O='^a1,D错.故选：ACBD对于A选项，因为£j_〃，则。・石=%尤2+x%+Z1Z2=0，A选项正确；对于B选项，若赴=0,且%片0，Z2#0,看a/b，但分式上无意义，B选项错误：X2,一工、 %入2+,必+ZR2对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos<a,b>=II,-,/, , ,,C选项正网+X+zt-\lx2+y2+z2确；对于D选项，若X=X=Z|=1,则问=，『+]2+]2=也,此时，£不是单位向量，D选项错误.故选：BD.5及空间直角坐标系中，点8(-3,-1，4),41,2,-1),则|AB|="(1+3)2+(2+1『+(_1_4y=5>/2.故5vL11因为点P在平面ABC内，所以存在实数h,k2,使丽=人丽+&*，即(x—4,—2,0)=^i(一2,2,—2)+依(一1,6>—8)>[x-4=-2女]-6 %=-4所以12=24+6%，解得，攵2=1.[。=-2匕-池 [x=ll故11.1解：因为(G+3方)J.(7M-5b),所以他+3方)-(71-5方)=7片一515+2山石一匕加二？同？+16万―5-15|5『=0,①,因为3—4垃_1_(71-5方)，所以但-4分(76-5耐=l\af-331・5+20W『=0,②①一②得49无5=35麻，所以展5=||好.33x①+16x②得同, ，所以目.=Z.149口间5_35闾2所以COS〈1,5〉=-^yt|=：9同司同wI-M16.|—2,— —>+oo由题可知ab<0一，即<aAb-4-2%<0 5(3,-2,-3)^(-l,x-l,l)(解得、>-2且—,+0017.(1)5(2)画.10(1)如图所示，建立空间直角坐标系C-xyz.依题意得仇0,1,0),Ml，0,1),；・I丽I=7(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=右，，线段BN的长为白.(2)依题意得Ai(l,0,2),C(0,0,0),Bi(0,1,2),...砒=(1,-1,2),而产(0,1,2), =1x0+(-1)x1+2x2=3.X|^|=V6.I而_,_. -A,CBiJ3Q..cos10〈3,8〉=I^IIcbI-..cos10故48与BC所成角的余弦值为V30

"To"X=-4.以。为原点，DA，DC，函的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,则4(1,0,0),£(0,0-)，8(1,1,0),2Bi(l,1.1).A(0,o,1),由题意，可设点尸的坐标为(a,a,1),—._. , 3因为3B[P=PR,所以3(〃-1,a—1,0)=(—a,—a,0),所以3a—3=一〃，解得。=疝，33所以点尸的坐标为(1，7/).由题意可设点。的坐标为S，b,0),因为PQLAE, 3 3 1 3 1 1所以PQA£=0,所以S—力—1)(—1,0,—)=0,即—(8—)—=0,解得/?=—,4 4 2 42 4所以点。的坐标为(一,一,0),因为30二丸OQ,所以(―1,—1,。)=入(一,一,0),44 44所以一=一1,故入=-4.4(1)A=-,m=3；(2)5=(0,1,-2).5解：(1)由W/5,得(2+11,24)=攵(6,26一1,2)4+1=6& fA=k：.\\=k(2tn-Y),解得，2/1=2% ［加=3•.•\a\=45.且1_L^

(4+1)2+/+(2/1)2=5(2(A+l)-2/lxl-/lx22=0化简得5A2+2A=32-222=0,解得4=—1.10(1)-2^2；(2)后=一2或%=2.10a=AB=(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),=AC=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2).八a-b -1+0+0 V10cos0=———=―产——== \a\\b\V2xV510所以£与B的夹角。的余弦值为-巫.10ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2).ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4),所以(左一1,左,2＞优+2,k-4)=化-1)仕+2)+公一8=0,即2々2+上一10=0，所以上=—或％=2.2以。为原点，万4,加，的'为X、八Z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设