2021届高考数学（统考版）二轮提升指导与专练15平行垂直关系的证明（文）【含答案】

优培15平行垂直关系的证例1：在三棱柱43C-481G中，＞平面Z8C,AB=BC,D,£分别为工。，BB,的中点.证明：BD//平面AEC一例2:如图，在四棱锥产一/BCD中，底面48C。是正方形，侧面尸，底面N8CD,若E,厂分别为48,PC的中点，求证：EF〃平面「/。.例3:如图，在四棱锥尸—ZBCD中，底面4SCD为正方形，PQ_L平面N88,PD=AB,点,E,F,G分别为PC,pa,8c的中点.

E(1)求证：PB1EF(2)求证：EG〃平面PC°.例4:如图，在直三棱柱444G中，点。，E分别是边sc,4G中点，且AB=AC,一、解答题.如图，正方体44GA的棱长为］,线段44上有两个动点E,F且求证：(1)AC1BE-2)EF//平面ABCD..已知四棱锥P一48CO,R4J.平面/8CO,底面/8CO为等腰梯形，AB//DCAB=2DC,AD=^-DC,M是PB中点.(1)求证：CM//平面产/。；(2)求证：PDLBC..如图，在直三棱柱'80—4同£中，N8NC=90。，45=44，点"N分别为月乃和4cl的中点，

(1)求证：1w〃平面力/cq；(2)求证：平面48C，平面M4c..如图，三角形尸8所在的平面与等腰梯形Z6C。所在的平面垂直,AB-AD—CD,AB//CD,CP_LCD,A/为PD的中点.(1)求证：NAf〃平面尸8。；(2)求证：BD1平面PBC..如图，在三棱锥/一8。中，AB=AD,BDLCD,点E、歹分别是棱BC、8。的中点.(1)求证：EF〃平面月C。；(2)求证：AE1BD..如图，在三棱柱力BC—4月G中，B£LCG，点E,E分别是8C,4g的中点,平面4G。1平面scctB,.A：(1)求证：BG1AXC;(2)求证：EE〃平面4G。..在三棱锥尸-N5C中，AB=BC,P4_L平面/8C,。为尸C的中点，E为4c的中点.(1)求证：BD1AC；(2)若M为的中点，请问线段℃上是否存在一点N,使得MN〃平面8OE?若存在，请说明点N的位置，并说明理由？若不存在，也请说明理由.7T.如图，矩形/。后厂和菱形/BCD所在平面互相垂直，已知N4OC=],点N是线段的中点.(1)求证：CN上AF；(2)试问在线段BE上是否存在点M,使得直线/尸〃平面MNC?若存在，请证明〃平面MNC,并求出丝的值；若不存在，请说明理由..如图，在四棱锥5c。中，尸/_L平面ZB。。，CD±ADtBC//AD,BC=CD=-AD.(1)求证：CD_LPD；(2)求证：80,平面/MB;(3)在棱PO上是否存在点M,使CM〃平面尸Z8,若存在，确定点〃的位置；若不存在，请说明理由..已知四棱锥中，平面尸Z81平面力8cO,底面48co为矩形，且PA=PB=4,AB=2,BC=3,。为Z8的中点，点E在』。上，且=(1)证明：ECLPE-(2)在PB上是否存在一点F,使OR〃平面PEC,若存在，试确定点尸的位置.优培15平行垂直关系的证例1：证明见解析.如图，连接4c交/G于点。，连接eo.因为。分别为"G,"的中点，mOD//c'c,OD=2C'C因为℃〃4占，CC=B1B,所以OD//EB,OD=EB所以四边形"BE为平行四边形，所以8O〃°E.因为8。平面ZEG外，OE在平面内AEG，所以BD//平面AEC,.例2:证明见解析.设加为PO的中点，连接M4,MF（如图），则A/E为△POC的中位线,所以期〃〃且披［dc,••・四边形48C。是正方形，E为的中点，J./E〃八C且=故〃/IE且A/E=/E,.•.四边形ZEEA/为平行四边形，贝IJE/〃/A/,又因平面4。，4加匚平面尸/。，所以，£尸〃平面P/O.

例3：(1)证明见解析；(2)证明见解析.(1)连接力C,BD,/8CO为正方形，则因为P0J_平面/8CO,ZCu平面/8CO,所以PO_L4C,PDRBD=D,所以“C，平面P8O,PBu平面PBD,所以“C_LP8,因为点E,尸分别为PC,P/的中点，所以E/〃ZC,所以(2)取4。中点"，连接印"HG,因为点E,G分别为尸/,8c的中点，所以FH〃PD,HG//CD,又HFa平面PCD,PDu平面PCD,所以HFu平面PCD,同理"G〃平面PC。，而HFCHG=H,HF,HGu平面FHG,所以平面FHG〃平面PC。，又FGu平面FHG,所以FG//平面PCD.例4:(1)证明见解析；(2)证明见解析.证明：(1).•.在直三棱柱Z8C-44G中，点。，E分别是边8C,81G中点,EG〃且=80,二四边形BDC[E是平行四边形，,BE"C[D,BEC平面4CQ,CiDu平面AQD，,Bg//平面AC{D.(2)•直三棱柱NBC""481cl中，CGJ•平面Z5C,AD±CC,・・•点o,后分别是边8C,4G中点，且= .・.4C8C,BCA0G=C,adJ_平面BCC'B],,/C}Du平面BCC、B\ AD±CXD一、解答题1.(1)证明见解析；(2)证明见解析.(1)连接80,因为四边形48co为正方形，所以/C,BO,又因为。平面/8C0,所以。。_LZC,而DQRBD=D,故“C_L平面乌。84，而BEu平面DtDBB],所以ACLBE,(2)根据正方体的结构特征可知，平面44GR〃平面/BCD,而EgBQi,FeBR,所以EFu平面44GA，故EF//平面ABCD.(1)证明见解析；(2)证明见解析.(1)证明：取尸力的中点N,连接"N,DN,在△P4B中，M是PB中息.：.MN//AB且MN=^AB,2又•..等腰梯形48co中，AB//DC,AB=2DC,MN//CD,且MN=CD,.•.四边形物VDC是平行四边形,：.CM//DN,。川仁平面P/。，DNu平面P4D,CA/〃平面,(2)证明：连接。与的中点〃,根据题意，等腰梯形中，AB//DC,AB=2DC,二四边形是平行四边形，BC//DH

设/8=2a,则Z>C=NH=a,AD-BC=~^a<：.AD2+DH2=AH2,：.AD1DH,-BC//DH,：.ADlBCtPA1平面ABCD,BCc=平面ABCD,■：PALBCt-.-PA^AD^A^P/u平面〃尸O,4Ou平面/PO,BC_L平面/PQ,■rPDu平面APD,PD1BC.（1）证明见解析；（2）证明见解析.证明：（D连结"4，"G在三棱柱NBC—/4G中，44〃BB,,AA}=BB、所以四边形原出国为平行四边形,因为M为力避的中点，所以W为幺片的中点,又因为N为gG的中点，所以mn〃“g,因为幺Gu平面4/cq,mn仁平面a}acc\

所以MV〃平面//CG.⑵因为”=冽，点"为4台的中点，所以W48,在直三棱柱ABC_4A£中，_L平面/6C,因为力CU平面ABC,所以J-AC因为Z8/1C=9O。，即又48rl44]=4/5,44]U平面所以ZCJ_平面因为48u平面,所以/C_L4B,因为4朋"[?/。=/,NCu平面M4C,所以481,平面〃幺。，因为45u平面48C,所以平面4BCJ■平面M4c.（1）证明见解析；（2）证明见解析.证明：（1）如图，取尸C的中点N,连MN,BN,为尸。的中点，N为PC的中点，.•.A/N〃C0,MN=\CD.2又AB〃CD,AB=gcD,MN//AB,MNAB,•・四边形ZBNM为平行四边形，AM//BN.又AM<z平面PBC)BNu平面PBC)AM//平面PBC.(2)如图，在等腰中梯形/8CO中，取8的中点T,连BT.：AB=-CD,AB//CD,AB=DT,AB//DT,2•・四边形为平行四边形.又= ，四边形Z8T。为菱形，，47180.同理，四边形/8CT为菱形，：.4T〃BC.:AT1BD,.-.BC1BD.•.•平面PCD1平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,CPLCDtCPu平面PC。，CP1平面ABCD,又BDu平面ABCD，」.CPLBD.■：BC1BDt8CnC?=C,二台。，平面PBC.5.(1)证明见解析；(2)证明见解析.(1)因为点E、尸分别是棱6C、8。的中点，所以EF是ABCD的中位线，所以EF〃CD,又因为£户仁平面/CD,CQu平面NCQ,EE〃平面4CD.(2)由(1)得，EF//CD,又因为8DJ_CD,所以所，6£>,因为48=4。，点/是棱8。的中点，所以/尸，8。，又因为= 所以6。，平面4EE,又因为4Eu平面4EF,所以4E1.BD.(1)证明见解析；(2)证明见解析.(1)因为81G上。。，平面4GC平面8cq用，平面4£CZA平面BCCAB[=G。，81Gu平面BCClB[则4G，平面/CG4.又因为40u平面4cle/,所以4G_l/c.(2)取4G的中点G,连接FG,GC.在△4B©中，因为尸，G分别是4片，4G的中点，所以FG//BG,且FG=；B£在平行四边形80G片中，因为E是8c的中点，所以EC//B£,且“0一/£所以EC〃尸G,且EC=FG,在平行四边形FECG是平行四边形，所以EF//GC.又因为跖仁平面4Gd,GCu平面4G。/,所以EF〃平面a(1)证明见解析；(2)存在，点N是线段PC上靠近点P的四等份点，详见解析.(1)证明：•.•/£=EC,PD=CDtDE//AP,又PA1平面ABC,DE//AP,DE1平面ABC,ACu平面ABC，二DE±AC,•AB=BCAE=EC-BELAC,,,,,,；AC上DE,ACLBE,BEC\DE=E,BEu平面BDE,£>Eu平面8OE,NC，平面BOE.又；BDu平面BDE,BD上AC.(2)假设线段PC上存在一点N,使得MN//平面BDE，如图，取/E的中点。，连M。、NQ,：MB=MA,AQ=QE,:.MQ//BE,又平面BOE, M0〃平面8£>E,•.•MNu平面MAQ,MQu平面A/?VQ,MN[}MQ=M,MN//平面BDE,MQ//平面BDE,平面MNQ//平面BDE,又NQu平面MNQ,，NQ〃平面BDE,•.•平面尸/CPI平面8£>E=O£,NQ〃平面BDE,NQu平面p/。,.NQ//DE又...4Q=QE,NQ//DE,...N为线段PQ的中点，故假设成立，线段PC上存在一点N,使得MN//平面BDE,此时点N是线段尸。上靠近点尸的四等份点.8.（D证明见解析；（2）存在‘证明见解析’黑=2.JT(1)菱形/8C。，AD=DC,^ADC=-,则△/OC是等边三角形,又N是线段NO的中点，「.CNJ.NO.又平面ADEF1平面ABCD,平面ADEFD平面ABCD=AD,所以CN,平面力.又；AFu平面ADEF,故CN_L4/.(2)取EE的中点P,连接05交BE于点”，M点即为所求的点.证明：连接附，•••PE//AD,AD//BC,PE//BC,所以C尸与CE相交于点M,・.■N是40的中点，P是尸E的中点，,PN〃“产，又PNu平面MNC,AF(Z平面MNC,，直线4尸〃平面脑VC.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，M是的中点.(1)证明：因为尸Z1平面”8CZ),COu平面力8CZ),所以COJ.PZ.因为CO_LNO,PAC\AD=A,所以C0_L平面P/O.因为PDu平面尸40,所以C£>_LPD.(2)因为尸/1平面48CD,BDu平面48CD,所以8O1/M.在直角梯形48。。中，BC=CD=^-AD,由题意可得=80=&6C,^AD2^AB2+BD2,所以 .因为尸力口/8=/,所以30,平面045.(3)解：在棱上存在点A1,使CM〃平面PN6,且M是尸。的中点.证明：取PN的中点修，连接，BN,r1因为舷是尸。的中点，所以MN〃且=74。.因为BC〃且=340,所以M