2021年数学高考真题卷-天津卷（含答案解析）

2021年普通高等学校招生全国统一考试・天津卷

数学本试卷分为第1卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷本卷共9小题,每小题5分，共45分.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).如果事件A.B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B).球的体积公式V=g7rR3,其中R表示球的半径.圆锥的体积公式V=£h,其中S表示圆锥的底面面积,h表示圆锥的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.⑴设集合A={-1,0,1},B={[3,5),C={0,2,4}，则(ACIB)UC=(A){0} (B){0,1,3,5)(C){0,l,2,4} (D){0,2,3,4)(2)已知2£艮则“。>6”是“。2>36”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(4)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据,将所得400个评分数据分为8组:[66,70),[70,74),…,[94,98],并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82,86)内的影视作品数量是(A)20 (B)40(C)64 (D)80(5)设〃=log20.3力=log10.4,c=0.4°3,则a,b,c的大小关系为(A)a<b<c (B)c<a<b(C)b<c<a (D)a<c<h(6)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为竽,两个圆锥的高之比为1；3,则这两个圆锥的体积之和为(A)37t (B)4兀(C)97t (D)127t(7)若2"=5，=10,则£4=(A)-l (B)lg7(C)l (D)log710(8)已知双曲线当g=l(a>0力>0)的右焦点与抛物线产=2网/?>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A,B两a'b点,交双曲线的渐近线于CO两点.若|。|=或|48],则双曲线的离心率为(A)V2 (B)V3(C)2 (D)3⑼设aGR,函数凡21Toi .若_/W在区间(0,+8)内恰有6个零点，则a的取值范围是\AT-乙(dIJLjXIQI5,ATNCl(A)(2,加转](BX《,2)U有小(C)(2,加耳,3) (D)g,2)呜3)第n卷本卷共11小题，共105分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分,全部答对的给5分.(10)i是虚数单位，复数器=.(11)在(2?\)6的展开式中V的系数是.(12)若斜率为百的直线与y轴交于点4,与圆f+(y-l)2=l相切于点仇则|AB|=.(13)若。>04>0,则工+9+6的最小值为(14)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为济哈且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响,则一次活动中，甲获胜的概率为;3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.(15)在边长为1的等边三角形A8C中，。为线段8c上的动点且交4B于点E,。尸〃AB且交AC于点F,则|2而+DF|的值为;(DE+而)•瓦?的最小值为.三、解答题:本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(16)(本小题满分14分)在4/18(7中,角4,8,(7所对的边分别为4力,。.已知5抽4/sinB：sinC=2/1：y[2,b=yfl.(I)求a的值；(II)求cosC的值;(HI)求sin(2C=)的值.6(17)(本小题满分15分)如图，在棱长为2的正方体4BCC-A由CQ1中,E为棱BC的中点,F为棱CO的中点.(I)求证:。尸〃平面AiEG;(H)求直线AG与平面AiECi所成角的正弦值;(川)求二面角A-ACi-E的正弦值.(18)(本小题满分15分)已知椭圆盘+，=1(。9>0)的右焦点为尸，上顶点为8,离心率为等，且|阴=遮(I)求椭圆的方程；(1【)直线/与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N.过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP〃8尸，求直线/的方程.(19)(本小题满分15分)已知｛〃“)是公差为2的等差数列，其前8项和为64,｛儿｝是公比大于0的等比数列为产4力3»2=48.(I)求｛斯｝和｛儿｝的通项公式.1(II)i己c〃=b2〃+s，〃£N*.⑴证明｛端9〃｝是等比数列；(ii)证明X座五<2&(〃£N*).k=l>Jck'c2k(20)(本小题满分16分)已知a>0,函数_/(x)nar-xP.(I)求曲线y=/(x)在点(0次0))处的切线方程；(H)证明式x)存在唯一的极值点；(IH)若存在a,使得应0%+6对任意xGR成立,求实数h的取值范围.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15CA B DDB C AA4-i160V32V21 73 27.C【考查目标】本题主要考查集合的交、并运算，考查的学科素养是理性思维.【解析】因为A={-l,0,l},8={1,3,5},所以4nB={1}，又C={0,2,4),所以(4CB)UC={0』,2,4},故选C..A【考查目标】本题主要考查不等式的性质、一元二次不等式的解法及充要条件的判断，考查的学科素养是理性思维.【解析】通解若a>6,则由不等式的性质得/>36,即a>6=(?>36;若4?>36,则<z<-6或a>6,即a2>36=>0a>6.所以“a>6”是“标>36”的充分不必要条件，故选A.秒解令A=(a|a>6},B={a|a2>36}=(a|a<-6或a>6),因为AUB且仇所以"a>6”是“标>36”的充分不必要条件，故选A.【方法总结】一般地，由“范围小的”能推出“范围大的”，但不能由“范围大的”推出“范围小的”.3.B【考查目标】本题主要考查根据函数解析式确定函数图象,考查的学科素养是理性思维和数学探索.

【解析】设凡外=鬻，则yw的定义域为3存0}.因为儿x）=哉老=黑=凡在所以函数y（x）是偶函数,其图象关于y轴对称，故排除选项A,C.当0cx<1时,1中|=111工<0片+2>0,所以於尸瞿卷<0,故排除选项D,故选B..D【考查目标】本题主要考查频率分布直方图的相关性质，考查的学科素养是理性思维和数学应用.【解析】由频率分布直方图可知评分在区间［82,86）内的影视作品的频率为0.05x4=0.2,又共有400部影视作品，所以评分在区间［82,86）内的影视作品的数量为400x0.2=80,故选D..D【考查目标】本题主要考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，考查的学科素养是理性思维.【解析】Sa=log20.3<log21=0,Z?=logi0.4>logi-=1,0«-=0.4°-3<0,4°=1,ffiIUa<c<b,故选D.2 Z2.B【考查目标】必备知识:本题主要考查球的截面性质、球的体积公式及圆锥的体积公式.关键能力:运算求解能力、空间想象能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解析】设球的半径为R,则有孑朋=等，解得R=2,设两个圆锥的高分别为3九由题意可知〃+3〃=2R=4,解得6=1,即两个圆锥的高分别为1,3,则球心到圆锥的底面的距离d=R/=l.设这两个圆锥的底面半径为r,根据球的截面性质得/;2=淤+户,即4=1+尸,解得片遍,故两个圆锥的体积之和为，/（6+3/0=，x3x4=47t,故选B..C【考查目标】必备知识:本题主要考查指数式和对数式的互化及对数运算.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维.【解析］ 因为2。=5"=10,所以a=log210,b=log510,所以;=lg2,1=lg5,则：+，=lg2+lg5=lg（2x5）=lg10=1,故选C.【方法总结】 注意:「」F=log/>a.标分别为（-重合,所以抛程为广与，生=业即.A【考查目标】标分别为（-重合,所以抛程为广与，生=业即【解析】不妨设点4,C均在第二象限，如图.双曲线的左、右焦点坐。◎，（,。，/=层+序.因为双曲线的右焦点和抛物线尸=2妙（。>0）的焦点物线的准线方程为x=-c,所以4（-c,Q）,B（-c,-竺）.因为双曲线的渐近线方a a所以C(-c,-),D(-c,-),^r以|AB|=—,|CD|=—,X|CD|=V2|A5],所以a a a ac=&b,所以d=262=2（/-/）,即/=2/£=夜。,所以离心率e=?=&，故选A.

.A【考查目标】 必备知识:本题主要考查函数的零点问题、余弦函数的图象、一元二次方程.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力和创新能力.学科素养:理性思维和数学探索.【思维导图】ZW在区间(0,+8)内恰有6个零点T当x>0时直x)=0恰有6个根T4>0-'若/-2(q+l)x+M+5=0(x>a)无实根tcos(2itx-27nz)=0(0<x<a)有6个根-求出q的范围,若%2・2(q+l)x+M+5=o(x>Q)有两个相等实根或一个实根TCOs(2Trx-2irQ)=0(0Vx<a)有5个根-求出a的范围若%2・2(q+l)x+M+5=0(x>q)有两个不等实根Tcos(2nx・<2na)=0(0<x<a)有4个根t求出a的范围【解析】 因为函数/W在区间(0,+8)内恰有6个零点，所以当x>0时次x)=0恰有6个根.当后。时，方程F2(«+l)x+a2+5=0最多有两个不等实根，所以〃>0.函数y=x2-2(a+1)x+a2+5图象的对称轴为直线x=a+l,a+l.令1=2兀1-2兀。(0<x〈a),贝1」-2兀。</<0,则当0<x<a时,cos(2xr-27ta)=0可转化为当-2w<f<0时,cosf=0.若当x>a时，方程『・2(。+1)X+。2+5=0无实根，则当0<x<a时,cos(2兀1-2兀。)=0有6个根，即当・2m</<0时,cos(A=4(a+1)2・4(q2+5)V0U0有6个根，所以nlln ，无解;若当迂〃时，方程/2〃+1)x+/+5=0有两个相等实根( <—2na< TOC\o"1-5"\h\zI2 2或一个实根，则当0<为〈”时,cos(2兀¥・2m0=0有5个根，即当・2兀4</<0时,cos(=0有5个根，所以4=4(a+l)2-4(a2+5)=04=4(a+l)2-4(a2+5)=0、lln«c , 97T 或 <-zna< «2-2(a+l)a+a2+5<0，得，会1；若当x>a时，方程/一llnJr_9n 2 4 <-2ttq< 2 22(«+l)x+a2+5=0有两个不等实根，则当o<x<a时,cos(2m-2兀a)=0有4个根，即当・2兀aU<0时,cosr=0有4个｛』=4(q+l)2-4(a2+5)>0a2-2(a+l)a+a2+5>0，解得以『o/7n 4—<—Ana< 2 2综上，实数a的取值范围为(23 故选A.4 24维.【解析】11.160维.【解析】11.160【解析】9+2i_(9+2i)(2-i)_20-5i_20_5i_..2+i-(2+i)(2-i)-4-i2-5-一'【考查目标】必备知识:本题主要考查二项式定理.关键能力:运算求解能力.学科素养:理性思维.(2V+7的展开式的通项公式为「+|=吟(浮产(，=皓26*"33=吟2%匹4*,令18-44=6,得k=3,所以/的系数为日x23=160..V3【考查目标】必备知识:本题主要考查直线与圆相切、点到直线的距离公式.关键能力:逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:理性思维.【解题思路】设直线AB的方程为广百x+匕,根据直线与圆相切推出圆心到直线的距离等于半径，求出|尻1|,再利用勾股定理可得出结果.【解析】设直线A8的方程为产岳+"圆/+。-1尸=1的圆心为C,半径为r,则C(O,l),r=l.由直线A8与圆相切，可知圆心C(O,1)到直线48的距离d=r,即吟i=1,所以51|=2.连接BC,在RsA8C中,|4。=|尻1|=2,|BC|=1,所以|4B|=J|4C|2-|BC|2=V22-12=百..2四【考查目标】必备知识:本题主要考查利用均值不等式求最值问题.关键能力:通过对式子进行适当变形，运用均值不等式求解,考查逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:通过对均值不等式的灵活运用考查了理性思维学科素养. M_a_【解析】解法一(均值不等式，先消去再消去匕)"+此2jH+b=>心②当且仅当［匚：,即。=力=应时取等号，所以上+白+方的最小值为2&.ab2解法二(均值不等式，先消去仇再消去。)}+£+%=；+芯+9+9*+3强第=：+3坐,当且仅当表=T时取等号.令r嗤则奈+3r,令人。=a+3々>0),贝ij_f(f)=3x*，当/>当时/⑺>0次。单调递增;当0<r<?时/")<0财单调递减.所以当片孝时即min=2VI即;+堤+6的最小值为2VI解法三(均值不等式，拆项)分+%=(鸿呜+髭2聆+2舟立R器巨鱼x2J„=28,当且仅当Z1ba"2ab<Q=»，即〃=6=立时取等号，所以一+白+6的最小值为2V2.ab2J1=JIr易错警示】同学们对式子进行灵活变形的能力不强，不能熟练运用均值不等式，或连续多次运用均值不等式时忽略等号成立的条件.14【考查目标】必备知识:本题主要考查相互独立事件的概率、二项分布.关键能力:通过对数据收集、整理、分析并选择相应概率模型进行求解考查数学建模能力和运算求解能力.学科素养:数学应用.【解析】记一次活动中，甲获胜为事件4则P(A)=；x(l1)=；.记3次活动中，甲至少获胜2次为事件B,6 5 3解法一(直接法)则P(B)=髭X*)2x/髭x($3x(铲吟

解法二（间接法）则P（B）=1-（$3-C区乂铲吟15.1为【考查目标】必备知识:本题主要考查平面向量的数量积运算和坐标运算.关键能力:运算求解能力、逻辑思维能力和数学建模能力.学科素养:理性思维和数学探索.【解析】⑴如图，过尸作FGH8,交AB于点G,易证得△BEZ注zMGF,四边形EOFG是矩形，所以而=何，而=前，则 以人2BE+DF=BE+GA+lG=BA,^\^\,2BE+DF\=\BA\=\. /X⑵连接OG,由题意知，屁+而=而，则（屁+而）•或=而应L /1/ \解法一（基底法）设|而|=2"0<<；）,则|而|=|而|=川前|=12,所以DG=DB+BG=DB+（1-t）BAjDA=DB+BA,所以丽•丽=［而+（1-t）BA］（DB+BA）=DB2+（2-t）BADB+（1-。瓦?2=4尸+（2一》1*2芥（悔）+（1小12=5/2_3什1=5（梏）2+得所以当］=总时屈殖取得最小值算即（屁+赤）.砺的最小值为非解法二（坐标法）以8为坐标原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设出力|=2«0</<9,则|BG|=1-62r,0）超净,G（空等）,所以而=（詈涔当面/2净,所以而加=5--3什1=5（帚2+弟所以当片总吐丽.而取得最小值弟即（屁+而）.万?的最小值为养.【考查目标】 必备知识:本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等知识.关键能力:逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:理性思维和数学探索.【解题思路】（/）利用正弦定理变形得出•吗，结合题目中条件即可求解;（〃）通过正弦定理角化边，得sino到边长之比,再用余弦定理，求得cos。;（//7）由（〃）求得sinC,进而由二倍角公式求得sin2C,cos2C,最后利用两角差的正弦公式求解.解：（/）由正弦定理号=七,得4="当，s\nAs\nB s\nB因为sinA/sin3=2：1,b=也,所以a=V2x^=2y/2.（〃）由正弦定理可得a.b.c=sinA/sinB/sinC=2/1/V2,不妨设〃=2A（&>0）,贝ljh=k,c=y/2k9由余弦定理可得cos由余弦定理可得cosC=a2+b2-c2_(2k)2+k2-[y[2k)2_3k22x2kxk 4k24'(力)由题意结合(〃)可知,sinC=V1-cos2C=J1-([)2=，，所以sin2C=2sinCeosC=2x，x；手,cos2C=2cos2C-1=2x(^)2-1=^,所以sin(2C--)=sin2Ccos--cos2Csin-=—x--ixi-3^-16 6 6 8 282 16.【考查目标】必备知识:本题主要考查面面平行的性质和线面平行的判定，以及用向量法求线面角、二面角的正弦值等知识.关键能力:通过题干观察分析出面面平行需要的条件，分析命题证明的步骤和要求，用数学语言描述其论证过程，考查了逻辑思维能力、空间想象能力和运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】第(/)问，利用面面平行判定定理得出平面AEG〃平面。GF,再利用面面平行的性质，即可证明;第(〃)问和第(〃7)问，利用空间向量知识，建立空间直角坐标系并写出各点的坐标，即可求出线面角、二面角的正弦值.解:(/)如图，取AO的中点G,连接DGFGACEG,因为G,F分别是D4,OC的中点，所以GF//AC,又在正方体ABCD-AxB\C\D\中,AC〃41cl，所以G尸〃4cl.又GFC平面AEGAGu平面4EG,所以GF//平面AEG.因为G,E分别是DA,CB的中点，所以GE//DCQ.GE=DC,又在正方体A8clM181CQ1中,。C〃01G且OC=OiG,所以GE〃01cl且GE=AG,所以四边形AGEG是平行四边形，所以C\E〃DiG,又OiGC平面AiEG,GEu平面A|EG,所以OG〃平面4EG,又G/TIOiG=G,GFQiGu平面RGF,所以平面4EG〃平面D\GF,又OiFu平面QGF,所以。尸〃平面A\EC\.(〃)连接B。,以A为坐标原点，以AB,AOA4i所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyzMA(0,0,0),Ci(2,2,2)4i(0,0,2),E(2,1,0),B(2,0,0),D(0,2,0),AC】=(2,2,2)&E=(2,1,-2)&G=(2,2,0),BD=(-2,2,0),设平面AEG的法向量为"=(x,y,z),则母翼;患脸+2ylo。令z=l,则x=2j=-2，所以〃=(2,-2,1)为平面4EG的一个法向量.设直线AG与平面AxECx所成的角为a,则

.a ..ACi-n. 2V3sin«=|cos</lC1,n>|=|i=i^|=^=v，所以直线ACy与平面A,£C,所成角的正弦值为日.(〃7)因为是正方体，所以/?。工人^^力工人斗心又4口?相尸斗/仁^仁平面ACG4,所以BDA.平面ACG4,又平面4CG4和平面A4G是同一平面,所以前是平面A4iG的一个法向量，设二面角A-4G-E的平面角为。，则所以sin0=V所以sin0=V1-cos20=J1一苧2三，所以二面角4Alei-君的正弦值为右【方法总结】(1)运用空间向量法求空间角的一般步骤:⑦建立恰当的空间直角坐标系;②隹确求出相关点的坐标;③写出向量的坐标;溺合公式进行计算;⑤求出空间角的正弦值、余弦值等.(2)求空间角时需要注意:©两条异面直线所成的角a不一定是两条直线的方向向量的夹角夕，满足cosa=|cos£|;题平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，两者有可能互补;③直线和平面所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值..【考查目标】必备知识:本题主要考查椭圆的方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系等知识.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】(/)根据椭圆的几何性质、离心率公式和勾股定理得出结果;(〃)根据”2〃8£柳，8/分别求出直线MP,NP的斜率，进而求出对应的直线方程，再把直线/与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，利用直线/与椭圆相切，点M在直线上，得到孙人的关系式，进而求得直线/的方程.(C24s ,Le=a=~ (a=V5解:(/)由题意可知J|BF|=〃2+c2=遮解得b=1，<a2-b2=c2 c-2所以椭圆的标准方程为9+V=L(〃)由题意，设直线/的方程为y=Ax+"?(，">0),M(XM,y”),则M。,⑼.因为MP〃BF,B(O,1),尸(2,0),所以kMP=kBF=-^又NP_L",所以％np=4=2,故直线NP的方程为y=2x+肛则P(-pO),

从而直线MP的方程为y=*x+£).联立直线/与椭圆的方程，得+y2=1,ly=kx+m消去y,得(53+1)『+10%〃优+5(加2-1)=0,因为直线/与椭圆相切于点M,所以/=(10%)2・20(53+l)(m2-l)=0,化简得病=53+1①,此时Xm=5km

此时Xm=5km

5k2+15km

m25km. ,z5k. m2-5k21yM-kxM^-tn=ki--)+/〃= =一,， m mm又点M在直线MP上，所以y”=之物+?),即工=-；(-任+?),化简得nr=10k-4②,2 2m2m2由。@及〃>0,可得k=1,m=巫,所以直线/的方程为y=x+>/6..【考查目标】必备知识:本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等比数列的定义及数列求和问题.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力和创新能力.学科素养:理性思维和数学探索.【解题思路】(/)由等差数列(m｝的公差为2,前8项和为64,求出首项,从而得其通项公式;由等比数列｛儿｝的首项加=4,且如岳=48及公比大于0,求出公比，从而得其通项公式.(〃)⑴求出c“,进而得以-C2",根据等比数列的定义证明｛*C2”｝为等比数列;(ii)对］粤皿化简变形并放缩，得俘£</、白令小三匹柏,利用错位7cn'c2n 7cn'c2n 2 2n nr- n相减法求出£%然后根据£警<V2S〃并放缩即可得证.k=l k=wckc2kk=l解:(/)因为数列｛%｝是公差为2的等差数列，且前8项和为64,所以80+年X2=64,解得卬=1,所以Un-a\+(n-l)x2=l+2(n-l)=2n-l.设等比数列｛瓦｝的公比为q(4>0),因为加=4力3・历=48,所以4人钠=48,又夕>0,所以q=4,所以bn-b\cfxA-^\(〃)⑴因为C“%2“+(=42"+M所以■c2n=阴+/)2_(L*)=2x4",所以"鲁"=啜9=4(常数)，所以｛*C2„｝是等比数歹IJ.

n n12 3令'n=2n n12 3令'n=2^(^^2力则2]。=]+矛+>+”，1n12 3n所以=丞+了+方+…+苏m1n 111 1两式相减，得5£〃=5+芯+%+・，・+右lk=i zzz zLL11rl 71+2所以£〃=2而一，k=l 乙nH 2n，1 1n n - =12n+i 11 2n+11-21n2M2n+i所以£

k=lQkQk+1C出C2knk/- >/2(n+2)豕》餐’=2a一1^<2V2,即三警^<2夜(n€N*).k=l4-C2k.【考查目标】必备知识:本题主要考查导数的几何意义、函数的极值点、利用导数求函数的单调区间和最值.关键能力:通过求曲线的切线方程、证明函数有唯一的极值点及求参数的取值范围，考查逻辑思维能力、运算求解能力和数学建模能力.学科素养:理性思维和数学探索.【思维导图】(I)/(x)=以-念一>/(0)=0/(x)=a-e*-xe-J/(0)=a-1t切线方程(〃W)=a-e*-xe*=a-ex(x+l)—>令g(x)=e*(x+l)—>g(x)=e*(x+2)Tg(x)的单调性‘^•y'(x)=0有且只有一^实根,设实根为&T(x)在必两侧的单调性TX=XO是函数负箝的极大值点，且为函数4x)唯一的极值点(")存在aG(0,+oo),使得心£。+人对任意xGR成立一►存在。6(0,+8),使得6Na(x-l)-xe”对任意xGR成立一a-e”(t0-1)令人(外=〃。・1)-应,—存在。e(0,+8),使得厄〃(X)max—►»(©也X)一〃(X)max=/?(XO)=。(所1)-沏e"。 xc>-1〃(X)max=〃(X0)=e”。(好女・1)(刀0>・1)一令)(X>・1)一〃(幻的单调性-〃(X。)的最小