第七章向量与空间解析几何-第二节

第二节向量及其运算一、向量及线性运算二、向量的坐标表示三、向量的数量积与向量积上一页目录下一页退出向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量：模长为0的向量.||向量的模：向量的大小.单位向量：一、向量及线性运算或或或1、向量的概念上一页目录下一页退出自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.向径：空间直角坐标系中任一点

与原点构成的向量.上一页目录下一页退出[1]加法：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）2、向量的线性运算上一页目录下一页退出向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）[2]减法上一页目录下一页退出3、向量与数的乘法上一页目录下一页退出数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：两个向量的平行关系上一页目录下一页退出证充分性显然；必要性‖两式相减，得上一页目录下一页退出按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.上一页目录下一页退出例1

化简解上一页目录下一页退出例2

试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证.上一页目录下一页退出思考题已知平行四边形ABCD的对角线试用表示平行四边形四边上对应的向量.上一页目录下一页退出二、向量的坐标表示1、向量在轴上的投影与投影定理上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出证于是上一页目录下一页退出空间一点在轴上的投影上一页目录下一页退出空间一向量在轴上的投影上一页目录下一页退出关于向量的投影定理（1）证上一页目录下一页退出定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)

相等向量在同一轴上投影相等；上一页目录下一页退出关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）上一页目录下一页退出•o2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设为任一向量，将平行移动，使其起点与坐标原点O重合，其终点则可用向径OM表示，由唯一确定.•o称为基本单位向量，则向量沿三个坐标轴方向的分向量向量的坐标分解式有序数组称有序数x、y、z为向量的坐标，记为

•o——向量的坐标令则——向量的坐标分解式——向量的坐标表达式将平行移动，使其起点与坐标原点O重合，注1°恰好为的终点坐标与起点坐标之差由于向量和它的坐标1–1对应，所以对于3.向量线性运算的坐标表达式设注2°(1)则(2)(3)平行向量对应坐标成比例:对应坐标成比例注理解为：例2解例3已知两点在AB直线上求一点M,使解

设M

的坐标为如图所示及实数∵而解得——定比分点公式点

M为AB

的中点,于是得中点公式:4.向量的模与方向余弦的坐标表达式(1)向量的模则有由勾股定理得因为对两点与(2)方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,

=∠AOB(0≤

≤

)记作两非零向量的夹角：称为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.方向角：与三坐标轴正向的夹角

,,

为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

向量方向余弦的坐标表示式：方向余弦的性质:方向余弦通常用来表示向量的方向.例4

已知两点和的模、方向余弦和方向角.解计算向量例4设点A

位于第一卦限,解

已知夹角依次为求点A

的坐标.则因点A

在第一卦限,故于是故点A

的坐标为向径OA

与x

轴y轴的解所求向量有两个，一个与同向，一个反向或上一页目录下一页退出解上一页目录下一页退出内容小结3.

向量的概念4.

向量的加减法5.

向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）1.

空间直角坐标系2.

空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的区别）（轴、面、卦限）6.

向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.7.

向量的模与方向余弦的坐标表示式.（注意分向量与向量的坐标的区别）8.启示实例两向量作这样的运算,结果是一个数量.定义三、向量的数量积与向量积1、两向量的数量积上一页目录下一页退出数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.上一页目录下一页退出关于数量积的说明：证证上一页目录下一页退出数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数：若、为数：上一页目录下一页退出设数量积的坐标表达式上一页目录下一页退出两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为上一页目录下一页退出解上一页目录下一页退出证上一页目录下一页退出

证明三角形余弦定理证则如图.设例3实例2、两向量的向量积上一页目录下一页退出定义关于向量积的说明：//向量积也称为“叉积”、“外积”.上一页目录下一页退出向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数：证////上一页目录下一页退出设向量积的坐标表达式上一页目录下一页退出向量积还可用三阶行列式表示//由上式可推出上一页目录下一页退出补充例如，上一页目录下一页退出解上一页目录下一页退出解三角形ABC的面积为上一页目录下一页退出解上一页目录下一页退出定义设混合积的坐标表达式3、向量的混合积上一页目录下一页退出（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：上一页目录下一页退出解例7上一页目录下一页退出解上一页目录下一页退出式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.上一页目录下一页退出向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）小结上一页目录下一页退出向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式.小结（注意分向量与向量的坐标的区别）上一页目录下一页退出向量的数量积向量的向量积向量的混合积