北京五中2022年高一上数学期末达标检测试题含解析

13/142022-2023学年高一上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（）A.98 B.99C.99.5 D.1002．设函数f(x)=若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.3．函数的零点个数为（）A. B.C. D.4．已知命题，，则命题否定为（）A.， B.，C.， D.，5．下列说法不正确的是（）A.奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点 B.偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和y轴相交C.若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则 D.若奇函数的图象与y轴相交，交点不一定是原点6．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测.若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（）3457078636046896082323457889078442125331253007328632211834297864540732524206443812234356773578905642A. B.C. D.7．已知函数，若则a的值为(

)A. B.C.或 D.或8．设集合，集合，则等于（）A(1,2) B.(1,2]C.[1,2) D.[1,2]9．函数在区间上的最大值为2，则实数的值为A.1或 B.C. D.1或10．已知，，则（）A. B.C. D.11．定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则下列各式一定成立的是（）A. B.C. D.12．已知定义在R上的奇函数满足：当时，.则（）A.2 B.1C.-1 D.-2二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知阳马，底面，，，，则此阳马的外接球的表面积为______.14．若，，，则的最小值为___________.15．已知是球上的点，,，,则球的表面积等于________________16．已知一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是___________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数，，.若不等式的解集为（1）求的值及；（2）判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论（3）已知且，若.试证：.18．在边长为2的菱形中，，为的中点.（1）用和表示；（2）求的值.19．已知集合，.（1）当时，求，；（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.20．某工厂有甲，乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲，乙两条生产线的产量之比为4:1.现采用分层抽样的方法从甲，乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）.一等品二等品甲生产线76a乙生产线b2（1）写出a，b的值；（2）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；（3）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲，乙两条产品生产线随机抽取10件产品记P1表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，P2表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较P1和P21．计算：22．已知集合，函数的定义域为集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）求满足的实数的取值范围.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、C【解析】根据分位数的定义即可求得答案.【详解】这组数据的60%分位数是.2、C【解析】由于的范围不确定，故应分和两种情况求解.【详解】当时，，由得，所以，可得：，当时，，由得，所以，即，即，综上可知：或.故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式的关键是对的范围讨论，分情况解，属于中档题.3、B【解析】当时，令，故，符合；当时，令，故，符合，所以的零点有2个，选B.4、D【解析】根据全称命题的否定是特称命题形式，直接选出答案.【详解】命题，，是全称命题，故其否定命题为：，，故选：D.5、D【解析】对于AB，举例判断，对于CD根据函数奇偶性和对称性的关系分析判断即可【详解】对于A，是奇函数，其图象关于原点对称，但不过原点，所以A正确，对于B，是偶函数，其图象关于轴对称，但与轴不相交，所以B正确，对于C，若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则两个交点关于轴对称，所以，所以C正确，对于D，若奇函数与y轴有交点，则，故，所以函数必过原点，所以D错误，故选：D6、C【解析】根据随机数表依次进行选取即可【详解】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为07，04，08，23，12，则抽取的第5个零件编号为12.故选：【点睛】本题考查简单随机抽样的应用，同时考查对随机数表法的理解和辨析7、D【解析】按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍即可.令，则或，解之得.【点睛】本题主要考查分段函数，属于基础题型.8、B【解析】由指数函数、对数函数的性质可得、，再由交集的运算即可得解.【详解】因为，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了指数不等式的求解及对数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.9、A【解析】化简可得，再根据二次函数的对称轴与区间的位置关系，结合正弦函数的值域分情况讨论即可【详解】因，令，故，当时，在单调递减所以，此时，符合要求；当时，在单调递增，在单调递减故，解得舍去当时，在单调递增所以，解得，符合要求；综上可知或故选：A.10、C【解析】详解】分析：求解出集合，得到，即可得到答案详解：由题意集合，，则，所以，故选C点睛：本题考查了集合的混合运算，其中正确求解集合是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力11、A【解析】根据题意，先得到是周期为的函数，再由函数单调性和奇偶性，得出在区间上是增函数；根据三角形是锐角三角，得到，得出，从而可得出结果.【详解】因为偶函数满足，所以函数是周期为的函数，又在区间上是减函数，所以在区间上是减函数，因为偶函数关于轴对称，所以在区间上是增函数；又，是锐角三角形的两个内角，所以，即，因此，即，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查由函数的基本性质比较大小，涉及正弦函数的单调性，属于中档题.12、D【解析】由奇函数定义得，从而求得，然后由计算【详解】由于函数是定义在R上的奇函数，所以，而当时，，所以，所以当时，，故.由于为奇函数，故.故选：D.【点睛】本题考查奇函数的定义，掌握奇函数的概念是解题关键．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】将该几何体放入长方体中，即可求得外接球的半径，再由球的表面积公式即可得解.【详解】将该几何体放入长方体中，如图，易知该长方体的长、宽、高分别为、、，所以该几何体的外接球半径，所以该球的表面积.故答案为：.14、3【解析】利用基本不等式常值代换即可求解.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为3，故答案为：315、【解析】由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以，又，，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，因为，,所以，所以球的表面积点睛：本题考查了球内接多面体，球的表面积公式，属于中档题．其中根据已知条件求球的直径（半径）是解答本题的关键16、【解析】由题意，函数的图象在x轴上方，故，解不等式组即可得k的取值范围【详解】解：因为不等式为一元二次不等式，所以，又一元二次不等式对一切实数x都成立，所以有，解得，即，所以实数k的取值范围是，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）；（2）函数在区间上的单调递增，证明见解析（3）见解析【解析】（1）根据二次不等式的解集可以得到二次函数的零点，回代即可求出参数的值（2）定义法证明单调性，假设，若，则单调递增，若，则单调递减（3）单调性的逆应用，可以通过证明函数值的大小，反推变量的大小，难度较大【小问1详解】，即，因不等式解集为，所以，解得：，所以【小问2详解】函数在区间上的单调递增，证明如下：假设，则，因为，所以，所以，即当时，，所以函数在区间上的单调递增【小问3详解】由（2）可得：函数在区间上的单调递增，在区间上的单调递减，因为，且，，所以，，证明，即证明，即证明，因为，所以即证明，代入解析式得：，即，令，因为在区间上的单调递增，根据复合函数同增异减的性质可知，在区间上的单调递减，所以单调递增，即，所以在区间上恒成立，即，得证：【点睛】小问1求解析式，较易；小问2考察定义法证明单调性，按照常规方法求解即可；小问3难度较大，解题过程中应用到以下知识点：（1）可以通过证明函数值的大小，结合函数的单调性，反推出变量的大小，即若，且单减，则；解题过程（2）单调性的性质，复合函数同增异减以及增函数减去减函数为增函数18、(1)；(2)-1【解析】（1）由平面向量基本定理可得：.（2）由数量积运算可得：，运算可得解.【详解】解：（1）.（2）【点睛】本题考查了平面向量基本定理及数量积运算，属基础题.19、（1），或；（2）【解析】（1）当时，求出集合，，由此能求出，；（2）推导出，的真子集，求出，，列出不等式组，能求出实数的取值范围【小问1详解】或，当时，，，或；【小问2详解】若，且“”是“”的充分不必要条件，，的真子集，，，，解得实数的取值范围是20、（1）a=4,b=18；（2）1415（3）P1【解析】（1）根据题意列出方程组76+a+b+2=10076+a=4b+2，从而求出a，（2记C为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后再找出事件C所包含是基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案.（3）根据样本中甲，乙产品一等品的概率，同时结合二项分布即可比较大小.【小问1详解】由题意，知76+a+b+2=10076+a=4b+2，解得【小问2详解】记样本中甲生产线的4件二等品为A1，A2，从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，它们是：A1A3记C为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则C中的结果有1个，它是B1所以PC【小问3详解】P121、（1）（2）0【解析】（1）根据对数的运算法则和幂的运算法则计算（2）根据特殊角三角函数值计算【详解】解：；【点睛】本题考查指数与对数的运算，考查三角函数的计算．属于基础题22、(1)或；(2)或.【解析】（1）由知4满足函数的定义域，由此可得，解不等式可得所求范围．（2）由可得，再根据的大小关系求得集合A，然后根据转化为关于实数的不等式组，解