湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2023届数学高一上期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的最小正周期是（）A.π B.2πC.3π D.4π2．在同一坐标系中，函数与大致图象是（）A. B.C. D.3．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为A. B.C. D.4．设全集，，，则如图阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.5．已知函数，下列结论正确的是（）A.函数图像关于对称B.函数在上单调递增C.若，则D.函数的最小值为6．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）A. B.C. D.7．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三条线段中A.最长的是AB，最短的是ACB.最长的是AC，最短的是ABC.最长的是AB，最短的是ADD.最长的是AD，最短的是AC8．已知扇形的周长是6，圆心角为，则扇形的面积是（）A.1 B.2C.3 D.49．在内，使成立的的取值范围是A. B.C. D.10．已知中，，，点M是线段BC（含端点）上的一点，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．经过点作圆的切线，则切线的方程为__________12．已知函数的定义域为R，，且函数为偶函数，则的值为________，函数是________函数（从“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选填一个）.13．如图，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为___14．关于函数f（x）=有如下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称②f（x）的图象关于原点对称③f（x）的图象关于直线x=对称④f（x）的最小值为2其中所有真命题的序号是__________15．若函数（，且）的图象经过点，则___________.16．已知，，，则________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB118．已知甲乙两人的投篮命中率分别为，如果这两人每人投篮一次，求：（1）两人都命中的概率；（2）两人中恰有一人命中的概率.19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的值；若a不存在，请说明理由.已知集合________，.若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20．已知函数是定义在R上的偶函数,当时,(1)画出函数的图象;(2)根据图象写出的单调区间,并写出函数的值域.21．已知，计算：（1）；（2）.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】化简得出，即可求出最小正周期.【详解】，最小正周期.故选：A.2、B【解析】根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果.【详解】由指数函数与对数函数的单调性知：在上单调递增，在上单调递增，只有B满足.故选：B.3、C【解析】用列举法得出：抛掷三枚古钱币出现的基本事件的总数，进而可得出所求概率.【详解】抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8中，其中出现两正一反的共有3种，故概率为.故选C【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.4、D【解析】解出集合、，然后利用图中阴影部分所表示的集合的含义得出结果.【详解】，.图中阴影部分所表示的集合为且.故选：D.【点睛】本题考查韦恩图表示的集合的求解，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是弄清楚阴影部分所表示的集合的含义，考查运算求解能力，属于基础题.5、A【解析】本题首先可以去绝对值，将函数变成分段函数，然后根据函数解析式绘出函数图像，最后结合函数图像即可得出答案.【详解】由题意可得：，即可绘出函数图像，如下所示：故对称轴为，A正确；由图像易知，函数在上单调递增，上单调递减，B错误；要使，则，由图象可得或、或，故或或，C错误；当时，函数取最小值，最小值，D错误，故选：A【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的对称轴、三角函数的单调性以及三角函数的最值，考查分段函数，考查数形结合思想，是难题.6、C【解析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．【详解】设底面半径为r，则，所以.所以圆锥高.所以体积.故选：C.【点睛】本题考查圆锥的性质及体积，圆锥问题抓住两个关键点：（1）圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长；（2）圆锥底面半径r、高h、母线l组成直角三角形，满足勾股定理，本题考查这两种关系的应用，属于简单题.7、C【解析】由斜二测画法得到原三角形，结合其几何特征易得答案.【详解】由题意得到原△ABC的平面图为：其中，AD⊥BC，BD＞DC，∴AB＞AC＞AD，∴△ABC的AB、AD、AC三条线段中最长的是AB，最短的是AD故选C【点睛】本题考查了斜二测画法，考查三角形中三条线段长的大小的比较，属于基础题8、B【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，先由周长求出半径和弧长，即可求出扇形的面积.【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，因为圆心角为，所以.因为扇形的周长是6，所以，解得：.所以扇形的面积是.故选：B9、C【解析】直接画出函数图像得到答案.【详解】画出函数图像，如图所示：根据图像知.故选：.【点睛】本题考查了解三角不等式，画出函数图像是解题的关键.10、D【解析】如图所示，建立直角坐标系，则，，，．利用向量的坐标运算可得．再利用数量积运算，可得．利用数量积性质可得，可得．再利用，，可得，即可得出【详解】如图所示，建立直角坐标系则，，，，，及四边形为矩形，，，．即点在直线上，，，，，，即（当且仅当或时取等号），综上可得：故选：【点睛】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算及其性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】点在圆上，由，则切线斜率为2，由点斜式写出直线方程.【详解】因为点在圆上，所以，因此切线斜率为2，故切线方程为，整理得故答案为：12、①.7②.奇【解析】利用函数的奇偶性以及奇偶性定义即可求解.【详解】函数为偶函数，由，则，所以，所以，，定义域为，定义域关于原点对称.因为，所以，所以函数为奇函数.故答案为：7；奇13、【解析】图像阴影部分对应的集合为，，故，故填.14、②③【解析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，，，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，，，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.第ⅠⅠ卷15、【解析】把点的坐标代入函数的解析式，即可求出的值.【详解】因为函数的图象经过点，所以，解得.故答案为：.16、【解析】由诱导公式将化为，再由，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.【详解】因，所以，，又，，所以，，所以，，所以.故答案为【点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换，熟记两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求解，属于常考题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】（1）通过证明，来证得平面.（2）通过证明平面，来证得平面平面.【详解】（1）由于分别是的中点，所以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平面，所以平面平面.【点睛】本小题主要考查线面平行证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.18、（1）0.56；（2）0.38.【解析】（1）利用相互独立事件概率计算公式，求得两人都命中的概率.（2）利用互斥事件概率公式和相互独立事件概率计算公式，求得恰有一人命中的概率.【详解】记事件A，B分别为“甲投篮命中"，“乙投篮命中”，则.（1）“两人都命中”为事件AB，由于A，B相互独立，所以，即两人都命中的概率为0.56.（2）由于互斥且A，B相互独立，所以恰有1人命中概率为.即恰有一人命中的概率为0.38.【点睛】关键点睛：本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查互斥事件概率公式，关键在于准确地理解题意和运用公式求解.19、见解析【解析】首先解一元二次不等式求出集合B，依题意B，再根据所选条件得到不等式组，解得即可；【详解】解：由，所以，解得所以.由题意知，A不为空集，选条件①时，，因为“”是“”充分不必要条件，所以B，，则，等号不同时取到，解得.所以实数a的取值范围是.当选条件②时，因为“”是“”的充分不必要条件，所以B，所以，解得．此时，不符合条件故不存在的值满足题意．当选条件③时，因为“”是“”的充分不必要条件，所以B，所以，该不等式组无解，故不存在的值满足题意．20、(1)见解析；(2)单调区间为:上是增函数,上是减函数,值域【解析】(1)由偶函数的图象关于y轴对称可知,要画出函数的图象,只须作出当时的图象,然后关于y轴对称即可;(2)观察图象,结合函数单调性和值域的定义,写出的单调区间及值域.【详解】(1)函数的图象如图