2022届海南省海口市高三学生学能力诊断（二）数学试题（解析版）

2022届海南省海口市高三学生学能力诊断(二)数学试题一、单选题1.已知集合人=k|0<》<4},8=1k2-5工+6=0},则(QA)cB=( )A.0 B.{1} C.{2} D.{2,3}【答案】A【分析】先求出集合5,然后再根据交集和补集运算得出答案.【详解】由x2—5x+6=0解得x=2或x=3,即3={2,3}.又务A={x|x4O或xN4},所以(％4)08=0.故选：A22.复数丁下的虚部为()1+31TOC\o"1-5"\h\zA.3 B,1 C.-1 D.15 5 5 5【答案】D【分析】利用复数的除法运算法则即可求解.【详解】由已知得2 2(l-3i) 2-6i 1 3.l+3i-(l+3i)(l-3i)-10"s?'，13 3则复数，事的虚部为-；，故选：D.1v.已知x,yeR且xhO,贝是“一>二”的( )XX"A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为x*o,所以*2>0,则“x>y”两边同除以X?即可得到“2>与''，反过来XX同乘以公即可，故“x>y"是“2>W”的充要条件.XX故选：C..在核酸检测时，为了让标本中ONA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对ONA进行快速复制扩增数量.在此过程中，DNA的数量X“(单位：4g/〃L)与PCR扩增次数〃满足X“=X°xl.6",其中X。为。M4的初始数量.已知某待测标本中ONA的初始数量为0.1〃g/〃L,核酸探针能检测到的0VA数量最低值为10〃g/〃L,则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（）（参考数据：怆1.6*0.20,In1.6«0.47）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】B【分析】根据题意列出方程，利用指数与对数的互化即可求解.【详解】由题意知X。=0.1,X„=10,令10=0.1x1.6",得1.6"=100,取以10为底的对数得〃lgL6=2,所以故选：B..设公差不为0的等差数列血｝的前〃项和为S“，已知59=3（4+0s+4）,则机=（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】C【分析】根据等差数列的前"项和的性质及等差数列通项公式化简可得.【详解】因为59=3（4+6+4），又59=9%，所以9%=3（0,+。5+册），所以4+%+4=3。5,即。3+%=2。5，设等差数列｛4｝的公差为d,则4+2d+4+（zn—\）d=2（4+44）,所以（m+l）d=&/,又dwO,所以1+m=8,所以m=7.故选：C.2 26.已知双曲线E:^-*=l（a>0,b>0）的两个焦点为£,鸟，以£为圆心，|耳目为半径的圆与£交于点「，若1311/6尸6=2血，则£的离心率为（）A.73 B.2 C.2及 D.3【答案】D【分析】设|伍|=①，设线段”的中点为M则|PM|=c-a,在RtZ\"M中，可得归周=3|PM|,从而可得出答案.【详解】设|优|=2。，根据题意可得|P4|=勿，tan/用蜴=2&>0,4”为锐角则|P闾=2c-2a,设线段P玛的中点为M,^\\PM\=c-a.在 中，tan“PM=2日则⑶=2五|,所以归附=厢不j而7=3|PM|,即2c=3(c-«),即在=3(£-1］得E的离心率£=3.TOC\o"1-5"\h\za\a) a故选：D7.如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3万，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4,a76 r76 「7岳 n7后A. n d. n C. n U. n3 6 12 24【答案】D【分析】由条件结合扇形面积公式可求圆台的上下底面的半径，结合圆台的轴截面图形可求圆台的高，利用圆台体积公式求其体积.【详解】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为a,则其面积为一XCX42--xax22=3^-,得</=上，2 2 2所以扇环的两个圆弧长分别为1和2万，设圆台的上底半径，下底半径分别为4,6,圆台的高为八，所以n=g，弓T，又圆台的母线长/=4-2=2所以圆台的高为/!= =乎，所以圆台的体积为V= +『+；xl、孚=噜万.故选：D.8.已知函数“X)是定义在R上的奇函数，函数g(x)=|x-2|/(x)的图象关于直线x=2对称，若〃T)=-1，则g(3)=()A.5 B.1 C.-1 D.-5【答案】B【分析】分析可知g(x+2)=W/(x+2)是偶函数，利用偶函数的定义推导出f(2-x)=f(2+x),利用已知条件求出”3)的值，即可求得g(3)的值.【详解】因为g(x)的图象关于x=2对称，则g(x+2)=N"x+2)是偶函数，g(2-x)=|-x|/(2-x)=|jc|/(2-Jc),且g(x+2)=N〃x+2),所以，W/(2-x)=W/(2+x)对任意的xeR恒成立，所以，f(2-x)=f(2+x),因为〃T)=T且/(x)为奇函数，所以，/(3)=/(2+1)=/(2-1)=-/(-1)=1.因此,^(3)=|3-2|/(3)=f(l)=l.故选：B.二、多选题9.一组样本数据外,三，…，X”的平均数和中位数均为5,若去掉其中一个数据5,则()A.平均数不变B.中位数不变 C.极差不变 D.方差不变【答案】AC【分析】根据平均数、中位数、极差、方差概念求解即可.【详解】假设X4X24…则原来的中位数为X6=5,去掉X6后，平均数和极差不变，故A,C正确.中位数为石梦，这个值不一定为5,所以8不正确.

对于。原来的方差为s?=百[（为—5）.+（吃一5）+ + （x”—5）~],去掉％6后，新的方差5；=\[（$一5）+（工2-5）~+ + （苦1-5）~],因为去掉的数据恰好等于平均值，所以剩下的数据的方差不变或增大.故选：AC10.已知aw（7,2乃），10.已知aw（7,2乃），sina=tana =tanA.tana=V3tan[J=4>/3cosP—-【答案】BD【分析】根据商的关系化简条件可求【分析】根据商的关系化简条件可求cosa,利用平方关系求sina,再由商的关系求tana,再利用tan，，结合二倍角公式及同角三角函数关系求tan/,cos/?.【详解】因为sina=f。=等所以cosa=g,又1£（乃,2乃），所以sina= —»tana=->/3,故A错误，B正确.2B73tan-= ,2 22tan2所以tan夕= \=~46,1-tan2=1+2=1+tan2—72.2P, 2Psin—4-cos—2 2l-tan2—i故C错误，D正确.故选：BD.11.如图所示，正方体ABC。-ABC。的棱长为2,点£产分别为CG和8c的中点,则（）

则（）A.A尸〃平面AE" B.81CJ"平面AE"4C.平面AE。截正方体的截面面积为3 D.点。到平面AER的距离为:【答案】AD【分析】如图所示，设BC的中点为G,连接GE和GA,GE与4C交于点/,连接与斗。|交于点H,连接HI.平面AED,截正方体所得的截面即AGED-然后逐个分析判断即可【详解】如图所示，设BC的中点为G,连接GE,Q和GA,GE与BC交于点/,连接A.\与4。交于点4,连接4/.平面AER截正方体所得的截面即AGER.A.\CiEC因为在正方体abco-aqga中，凡g分别为BC，BC的中点，所以用尸=BG,B\F〃BG,所以四边形BGF4为平行四边形，所以FG=BB-FG//BB、,因为/VI,=BB,,AAt//BBX,所以FG=A4,,FG//AAt,所以四边形AG硒为平行四边形，所以A尸〃AG,因为平面AE。，AGu平面AE。，所以人尸〃平面AER,故A正确：在矩形A4C。中可看出BC与小不垂直，所以89与平面AE"不垂直，故B错误;截面AGE"是一个等腰梯形，上底G£=&，下底A"=2应，在矩形A4CO中,

孚，所以AH=DH=应,CI=；B、C=与,所以H/=卜+孚，所以Saged=~x(V2+25/2)x32=—,故C错误;2\ ,22cosZ.AGE=AG'G^-AE?2AGGE5+2-92M1AG=j22+f=cosZ.AGE=AG'G^-AE?2AGGE5+2-92M1因为NAGf£(O,兀)，因为NAGf£(O,兀)，所以sinNAGE=-x5/5xV2x—=—2 W2'4即点。到平面AER的距离为w，所以D正确,所以s^age=^AGGEsinZAGE=设点D到平面AED］的距离为d,则VD_AGE=VE_ADG,1V .//=1v .CF3Lage4 30aadg丁匚，3 1 4所以1d=Qx2x2xl,得d=§故选：ADDi.已知函数〃x)及其导函数尸(x)满足幻"'(x)-/(x)=x2(lnx+l),且/⑴=0,则()A.“X)在(l,y)上单调递增 B.“X)在［」)上有极小值C.’()的最小值为-1 D./(x)-△立的最小值为0X X【答案】ABD【分析】构造函数g(x)=no,利用导数运算公式求出函数8。)的解析式，由此可得函数/(x)的解析式，再由导数与函数的单调性，极值及最值的关系判断各选项.【详解】设g(x)=)(X),则g［x)="")2""=lnx+l,X X

所以g(x)=xlnx+C(C为常数),所以/(X)=xg(x)=fInx+Cr,又/⑴=0，所以C=0,所以/(x)=x21nx,r(x)=x(21nx+l),当o＜x＜2时，/'(力＜°，/(x)单调递减,当x＞%时，/'(力＞°，〃x)单调递增，所以/(X)在X=%处取得极小值，因为1＜人＜2,所以;＜不＜1，所以“X)在与1)上有极小值可知A,B都正确.g(x)=xlnx,g'(x)=lnx+l,当0＜x＜1时，g'(x)＜0,g(x)单调递减,当％/时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)的极小值即最小值为所以g(x)的极小值即最小值为g故C错误./(x)―/(」)=x(j_i)]nx,当Ovxvl时，x-1<0,lnx<0,所以/(工)一"')>0,当x>l当x>l时，x-1>0,lnx>0,而当x=l时，/(1)-平=0,所以“X)-率＞0,所以的最小值为0,故D正确.故选：ABD.【点睛】本题解决的关键在于通过构造函数，利用所给条件求出函数函数解析式.三、填空题.函数〃x)=sin(2x-l)的最小正周期为【答案】兀【分析】利用正弦函数的周期公式直接求解即可【详解】/(X)的最小正周期为宁=兀.故答案为：兀.已知向量a,5的夹角为45。，同=近，且4?52,若(而+5)J_5,则2=.【答案】-2【分析】先利用数量积的运算求解|可，再利用向量垂直数量积为。即可求解.【详解】因为2出=耶际45。=2得忖=2,又因为所以(二+B"=/l7B+片=22+4=0,所以；1=-2.故答案为：-2..第二届消博会(中国国际消费品博览会)于2022年5月在海南国际会展中心举办,甲、乙两人每人从A,B,C,。四个不同的消博会展馆中选2个去参观，则他们参观的展馆不完全相同但都参观A展馆的概率为.【答案】76【分析】首先根据题意得到全部基本事件为36种，再用列举法列出符合条件的基本事件，即可得到答案.【详解】甲选2个去参观，有C；=6种方法，乙选2个去参观，有C；=6种方法，所以共有6x6=36种，他们参观的展馆不完全相同但都参观A展馆的情况有：(AB,AC),(AB,AD),(AC,AB),(AC,AD),(AD,AB),(AD,AC),共6种，所以对应的概率为尸=二=」.366故答案为：—6.已知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为尸，第一象限的A,8两点在C上，若FALAB,|M|=5,|FB|=13,则直线48的斜率为.【答案】立2【分析】利用抛物线的几何性质，以A8为斜边，构建直角三角形即可求解.【详解】如图所示，设C的准线为/,分别过A,B作/的垂线，垂足分别为O,E,过A作于点P.

由抛物线的定义可知|叫=|冏=5,怛目=|FB|=13,所以|B"=13-5=8.又因为FAYAB,|AB|=>/132-52=12,所以恒丹=1F=46，所以直线A8的斜率APk.R=tanZABP=——BP故答案为：字【点睛】四、解答题【点睛】四、解答题兀 7.在△ABC中，角A8,C的对边分别为〃也。已知5=三，b=-a.3 5⑴求sinA；(2)若a=5,AB边的中点为O,求CO.【答案】(1)地14⑵历【分析】(1)根据已知条件及正弦定理即可求解；(1)根据已知及线段中点的关系，结合余弦定理即可求解.【详解】⑴在aABC中，由正弦定理三=工，得sinAsinB.，asinB5.n5GsinA= =—xsin—=-7 3 147 , 7(2)由。=《。及〃=5,得小=,々=7,△ABC中,由余弦定理/=a2+c2-2accos3,得49=25+/-5c,即/—5c—24=0,解得c=8或c=-3(舍)，所以A8=8,又因为A8边的中点为O,所以即80=4,在△BCO中，由余弦定理得CD2=BD2+a2-2axBDxcosB=42+52-2x5x4xcos—=21,3所以CD=&I..已知数列｛4｝的各项均为正整数且互不相等，记S“为｛””｝的前〃项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列｛%｝是等比数列；②数列｛S,,+l｝是等比数列；③g=q(q+l).注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】证明见解析【分析】选择①②为条件，③为结论.根据已知条件及等比数列的通项公式，再利用等比数列前〃项和公式，结合等比中项即可求解；选择①③为条件，②为结论，据已知条件及等比数列的通项公式，再利用等比数列前〃项和公式，结合等比数列的定义即可求解；选择②③为条件，①为结论，据已知条件及等比数列的通项公式，得出S,+l,再利用a.与S,,+l的关系，结合等比数列的定义即可求解.【详解】选择①②为条件，③为结论.证明过程如下：设等比数列｛4｝的公比为g,由题意知q>0且4*1.则5]+]=q+l,S2+1=a,+axq+1,S3+1=^+atq+axq2+1,因为｛S,,+l｝是等比数列，所以(5+1)(&+1)=(52+1)2,即(q+D(q+q<7+qg2+1)=(4+axq+\^,展开整理得q/= +a闻,所以qq=a；+q,即％=q(q+l).选择①③为条件，②为结论，证明过程如下：设｛%｝的公比为q,由题意知4>。且因为%=q(4+1),即01g=q(4+1),因为q>0,所以q=q+l.所以，=I =U_L=q=l,所以S“+l=q".「qqS।in+l因为"r,甘于q,所以｛S“+1｝是首项为q,公比为q的等比数列.选择②③为条件，①为结论，证明过程如下：设｛$+1｝的公比为Q,由题意知。>0且Qwl.

则S"+]=(』+l)2i=(q+l)a'T,所以％=S2+]_(E+l)=(q+l)(Q_l),又因为4=q(q+1),且4+1>0,所以q=Q-l.所以5〃+1=。".当“22时，an=S"+[_(S〃t+1)=0"-Qi=(Q—I)。''，所以2=所以2=

«n-l(。-叱'

(Q-i)Qn-2二Q，所以｛q｝是首项为Q-1,公比为Q的等比数列..如图，正三棱柱A8C-A4G的高和底面边长均为2,点尸，。分别为Ag，BC的中点.中点.（1）证明：平面AQG，平面8CG4：（2）求直线8P与平面AQG所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1【分析】（1）由于“1BC是正三角形，。为BC的中点，可得4QJ_8C,再由正棱柱的性质得Bq_L4Q,则由线面垂直的判定定理可得AQ_L平面BCC£,再由面面垂直的判定定理可证得结论，（2）设线段AC,AG的中点分别为。，Q,以。为坐标原点，分别以OB,0C,。01所在直线为x,V,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】（1）因为aABC是正三角形，。为8c的中点，所以AQ_L8C,因为8瓦，平面ABC,AQu平面ABC,所以BqLAQ,

所以AQ_L平面BCC冉,因为AQu平面AQG，所以平面AQCJ平面BCC内.⑵设线段AC,AC的中点分别为。，。一以。为坐标原点，分别以。8,OC,。。所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为正三棱柱的底面边长和高均为2,所以AQ-1,0),B(V3,0,0),QC,(0,l,2),,所以丽=C,(0,l,2),,所以丽=|-孚,-g,2,AQ=*,|,0uuuAC,=(022).设G=(x,y,z)为平面AQG的一个法向量,_一6 3则无竺=三+9=0,令z=],则—,1).n-AC}=2y+2z=0设直线3P与平面4QG所成角为巴则sin°=H瓯小皤=备j所以直线8P与平面AQG所成角的正弦值为g.20.为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》,某校组织学生加强100米短跑训练.在某次短跑测试中，抽取100名男生作为样本，统计他们的成绩(单位：秒)，整理得到如图所示的频率分布直方图(每组区间包含左端点，不包含右端点).(1)若规定男生短跑成绩小于13.5秒为优秀，求样本中男生短跑成绩优秀的概率.(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数.(同一组的数据用该组区间的中点值为代表)(3)根据统计分析，该校男生的短跑成绩X服从正态分布N(〃,1.222),以色)中所求的样本平均数作为〃的估计值.若从该校男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在［12.56,17.44似外的人数为匕求P(YNl).附：若Z〜N(〃,cr2),贝(〃-2b4Z4〃+2b)=0.9545.0.954510«0.6277.【答案】(1)0.11⑵15(3)0.3723【分析】(1)先由频率分布直方图求出。，然后可得出答案.(2)根据平均数的公式可得答案.⑶由(2)知〃=15,由正态分布求出该校男生短跑成绩在［12.56,17.44］以外的概率，根据题意Y~B(10,0.0455),从而可得答案.【详解】⑴由频率分布直方图可得2a+0.08+0.09+0.22+0.24+0.33=1,解得a=0.02,所以样本中男生短跑成绩优秀的概率为0.02+0.09=0.11.(2)估计样本中男生短跑成绩的平均数为12x0.02+13x0.09+14x0.22+15x0.33+16x0.24+17x0.08+18x0.02=15.⑶由(2)知〃=15,所以X〜N(15,1.222),所以该校男生短跑成绩在［12.56,17.44］以外的概率为1-P(12.56<X<17.44)=1-0.9545=0.0455.根据题意y〜8(10,0.0455),所以尸(丫21)=1-P(Y=0)=1-0.9545”>R1-0.6277=0.3723.21.已知椭圆C：5+，=l(a>〃>0)的离心率为半，且经过点(1)求C的方程；(2)动直线/与圆0:/+丁=1相切，与C交于M,N两点，求。到线段MN的中垂线的最大距离.【答案】(吟+9=16Q【分析】(1)首先根据题意列出方程组三+余=1,再解方程组即可.ab-a2=b2+c2(2)当/的斜率不存在时，。到中垂线的距离为0.当/的斜率存在时，设l:y=kx+m(k^0),M(w，x),刈林力).根据直线与圆相切得到M=3+i,求出中垂线得到。到中垂线的距离为)1+9公，再利用基本不等式即可得到答案.C_2y/26Q【详解】⑴由题知：/+泼=1,解得竹=1 .a2=b2+c2 c=2y/2所以C的方程为:+y2=i.(2)当/的斜率不存在时，线段MN的中垂线为x轴，此时。到中垂线的距离为0.当/的斜率存在时，设/:y=H+m(LH0),“(占,凶)，/V(X2，y2).因为/与圆V+y2=i相切，则。至心的距离为===1,所以病=公+1.联立方程,3"+，一、得(1+9公)/+18•1¥+9机2-9=0,y=kx+m则…=-黑，可得MN的中点为卜黑,麻).则MN的中垂线方程为k-能+1)+