2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）

阅卷人得分2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共51分）（5分）己知全集U=H，2,3,4,5},集合M={l,2},N={3,4},则Cu（MUN）=（ ）A.{5} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4}【答案】A【解析】【解答】因为U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4}则MUN={1,2,3,4},于是Cu（MUN）={5}。故答案为：A【分析】先求MUN,再求Cu（MUN）。（5分）设iz=4+3i,贝l]z等于（ ）A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i【答案】C【解析】【解答】因为iz=4+3i,所以2=丝之=耳=3—故答案为：C【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。（2分）已知命题p：3xGR,sinx<l；命题q：VxGR,泮8,则下列命题中为真命题的是（）A.pAq B.-ipAq C.pA->q D.-i（pVq）【答案】A【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题q也是真命题，故答案为：A【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。（5分）函数f（x）=si得+cos1的最小正周期和最大值分别是（ ）37r和V237r和26兀和y/26兀和2【答案】C2tt【解析】【解答】因为f（x）=sin|+cosJ=V2sin（|+5），所以周期T=—=6n,值域［tL即最大值是V2,故答案为：Co【分析】先将f（x）解析式化成4sin（3x+3）的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。（%+y>4x-yW2,则z=3x+y的最小值为（ ）y<3A.18 B.10 C.6 D.4【答案】C【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域），当直线z=3x+y经过点（1,3）时，z取得最小值。此时，min=3x1+3=6.故答案为：C【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。（5分）cos2^2~cos2y7=（ ）A1 r 「4T. r-）t/3a.2 -3- T N【答案】D【解析】【解答】因为cos25_COS2招=1+C°S,X振_l+COS'X怜=丸39_COS沿=孚故选D。【分析】由降塞公式，可以化成特殊角的三角函数求值。(5分)在区间(0,1)随机取1个数，则取到的数小于1的概率为( )A., B.| C.| D-1【答案】Bi-02【解析】【解答】由几何概型得：p=?—=4.故答案为：B【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。(5分)下列函数中最小值为4的是( )4A.y=xz+2x+4 B.y=|sinx|+C.y=2X+22~x D.y=lnx+白【答案】C【解析】【解答】对于A：因为y=(x+l)2+3,则ymin=3;故A不符合题意；对于B：因为y=|sinx|+归也川'设t=lsinx|(t€(01]),则y=g(t)=t+半(0<tw1)由双沟函数知，函数y=g(t)=t+彳(0<tW1)是减函数，所以ymin=g(l)=5,所以B选项不符合；对于C：因为y=2x+22~x=2X+p>2卜•去=4,当且仅当*=*=>%=1时"=”成立,即ymin=4,故C选项正确；TOC\o"1-5"\h\z对于D：当％6(0,1)时，y=lnx+j^-<0，故D选项不符合，J Inx故答案为：C.【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D举反列说明其不符合。(5分)设函数/(%)=亨，则下列函数中为奇函数的是( )A.f(x-1)-1B./(X-1)+1C./(x+1)-1D.f(x+1)+1【答案】B【解析】【解答】对于A：因为心)=51)-1,=三支上一1=2-2,/1(-*)=——2,则11(3)工l+(x-19x xh(X),所以h(X)不是奇函数，故A不符合;TOC\o"1-5"\h\z对于B：因为h(x)=f(x-l)+l,=l-(xT，+i=£九(-%)=一刍则h(-X)=h(X),所以h(X)是奇函数，1+(%—1) x X故B符合；对于C：h(x)=f(x+l)—1,=^^—―1=3—2,九(一x) —2,则h(-X)Hh(X),所以C不l+(x+19 x+2 ' ' -x+2符合；对于D：h(x)=f(x+l)+l,=1(x+lj+1=：^,九(一")=_?_，则h(-X)#i(X),故D不符14-(x+17 '十4 r+2入口•故答案为：B.【分析】设选项的各个函数是h(x),分别计算h(-x),与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。TOC\o"1-5"\h\z(2分)在正方体ABCD-AiBiCiDi中，P为BiDi的中点，则直线PB与ADi所成的角为( )A.* B.J C.J D.I【答案】D【解析】【解答】如图，连接AC,设AC与BD交于O,连接ODi,ADi,BP,设正方体的棱长为X,D, C.A B因为DFIQBIIBD,且DiP=BO=；BD,所以四边形ODFB是平行四边形，所以BP||ODi,所以乙4劣。即为所求的角，易证4。_L平面BDDB,故401OD1,又4。= =9名,所以4A20=今故答案为：D【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。2(5分)设B是椭圆C：卷+必=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )A.1 B.V6 C.V5 D.2【答案】A【解析】【解答】由题意知B(0,l),设P(x,y)KiJ|PBp=(x-O)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1=一4丫2%+6=4&+4)2+竽,因为-1WyW1,所以当y=-刎寸，|PB|2nm专,此时，1PBimax

故答案为：A【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P(x,y),再用两点间的距离公式，表示出|PB|,再用本文法计算|PB|的最大值即可。(2分)设a#),若x=a为函数/(x)=a(x-a)2(%-b)的极大值点，则( )A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2【答案】D【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1),必有a<b,ab<a2.故B,C项错：当a<0时，若a为极大值点，贝I](如图2),必有a>b>a2,故A错。故答案为：D.阅卷入得分【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。二'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分(共4题；共17分)（5分）已知向量a=（2,5）,b=（九,4）,若a//b，贝U九=.88-5【解析】【解答】因为a=(2,5),/)=(入,4),且有〃儿则2x4-52=0,贝U【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。TOC\o"1-5"\h\z(5分)双曲线车一二=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 .4 5【答案】V5【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0),则134-2x0—81 /—右焦点(3,0)到直线x+2y-8的距离为d;=4s.【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。(5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为R,B=60。，a2+c2=3ac,则b= .

【答案】2V2【解析】【解答】S&ABC=^acsinB=|acsin60°=^ac=V3=>ac=4,于是b=Va2+c2-2accosB=Va2+c2—ac=yj2ac=2>/2【分析】根据面积的值，计算出ac,再由余弦定理求解。（2分）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.图①图①【答案】②⑤或③④【解析】【解答】当俯视图为@时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图;当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图,故答案为：②⑤或③④阅卷入得分【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共50分）（2分）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为元和歹，样本方差分别记为短和S22(1)(1分)求元，y,si2,S22；(2)(1分)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y-x>，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).【答案】(1)解：各项所求值如下所示元=4(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0y=-L(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3s；=4x[(9.7-l0.0)(6分)证明：平面PAM1平面PBD；(6分)若PD=DC=1,求四棱锥P-ADCD的体积.【答案】(1)因为PD1(6分)证明：平面PAM1平面PBD；(6分)若PD=DC=1,求四棱锥P-ADCD的体积.【答案】(1)因为PD1底面ABCD,AMc平面ABCD,1x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.“1U(2)由⑴中数据得y-x=0.3,2si+s2-0.551yl10显然》-元V2si+s2,所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。J10【解析】【分析】(1)先计算新旧样本平均数元歹，再直接用公式计算S>2,S22;(2)由(1)中的数据，计算得：y-x=0.3,2si+s2=0.34,显然y-了V2si+s2，可得yl10 y]10到答案。(12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD1底面ABCD,M为BC的中点，且PB1AM.所以PD1AM,又PB1AM,PBCPD=P,所以AM1平面PBD,而AMu平面PAM,所以平面PAM1平面PBD.（2）由（1）可知，AM1平面PBD,所以AM1BD,从而△DAB~△ABM,设BM=x,4。=2x,则器=瑞,即2x2=1,解得x=孝，所以AD=y[2.因为PD1底面ABCD,故四棱锥P-ABCD的体积为V=1x（lxV2）Xl=^.【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD,及PB垂直AM,可以证明4MJ.平面P80,从而可能证明平面PAM1平面PBD；（2）由连接BD（1）可得AMJ.B。，证明△OAB〜△4BM通过计算，求出高40=鱼，再用棱锥体积公式直接得到答案。（12分）设｛an｝是首项为1的等比数列，数列｛九｝满足｝=等，已知的，3a2,9成等差数列.（6分）求｛an）和｛bn｝的通项公式;⑵（6分）记Sn和Tn分别为｛an｝和｛&„｝的前n项和.证明：〈学.【答案】（1）因为｛an｝是首项为1的等比数列且由，3a2,9a3成等差数列，所以6。2=%+9。3,所以6aiq=a1+90iq2,所以“=等=/.1X（1-4）O1（2）证明：由（1）可得Sn=,『=我1一：），1-3 §6=:+1+…+ +矣，①飘=今+条+…+争+ ，②①一②得>“=g+H…+苏一苗7= =一苏)_#[-所以T'n=1(1-^i)--^n，所以？n-学='(1一玄)一^7i一号(1_^)=_^7i<。，所以X沪【解析】【分析】由由，3a2，9a3成等差数列，列关系式等比数列｛a*)的公比q,进而得到an,再由bn与an的关系求得环(2)先根据条件求得S”，再由错项相减的方法求得7"的表达式，最后用求差比较法，证明Tn<SnT'(12分)已知抛物线C：y2=2px(p>o)的焦点F到准线的距离为2.(6分)求C的方程.(6分)己知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足所=9万，求直线OQ斜率的最大值.【答案】⑴抛物线C-.y2=2px(p>0)的焦点?(m0),准线方程为x=-1,由题意，该抛物线焦点到准线的距离为岑-(-身=p=2,所以该抛物线的方程为y2=4%；(2)设Q(xo，yo)，则PQ=9QF=(9-9%0,-9y0)，所以P(10xo-9,10y0),由P在抛物线上可得(10y0)2=4(10/-9)，即/=25需+9,所以直线0Q的斜率灯<2一行一碗荷一场而，10当匕)=。时'k()Q=o；,_ 10当y。W0时，k°Q-25yo+A»当丫0>0时，因为25yo+/22q125yo怖=30此时0<k。。S，当且仅当25yo=/■，即=卷时，等号成立；"3 joz05当y0<0时，kOQ<0■综上，直线OQ的斜率的最大值为1.【解析】【分析】(1)根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；(2)先设出Q的坐标M(xo,yo),在代入已知等式~PQ=9QF，用(xo,yo)表示出P(10xo—9,10yo),再代入抛物线方程，推导出xo,yo的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。(12分)已知函数/(x)=x3-x2+ax+l.(6分)讨论f(x)的单调性；(6分)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.【答案】(1)由函数的解析式可得：/(x)=3/-2x+a，导函数的判别式4=4-12a,当zl=4-12a<0,a>|时，/(x)>0J(x)在R上单调递增，当4=4-12(1>0,"/时，/'(x)=0的解为：/=2-q12aM=2+若12g，当x€(_8，-勺12与时，/(x)>o,/(x)单调递增；当xW(2-2a,2+早2与时，/(乃<0/(%)单调递减；当xW(2+J：12a,+8)时，f'(x)>o,/(x)单调递增；综上可得：当a8时，/(X)在R上单调递增，当a<J时，f(x)在(_8,2-〃-1当上单调递增，在2-〃-12。，2+>/4-12a上单调递减,在(2+牛12匕+8)上单调递增.(2)由题意可得：f(x0)=Xq—Xq+ax04-1，f(%0)=3xq—2x0+a，则切线方程为：y—(以一诏+Q/+1)=(3%o-2%o+Q)(%-x0),切线过坐标原点,则：0-(%o-Xq+ax0+1)=(3%o-2xq+a)(0-x0),整理可得：2瑞一诏一1=0,即：(x0—1)(2xq+x04-1)=0,解得：x0=1f则/(x0)=/(I)=1—1+q+1=q+1,即曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标为(1,q+1).

【解析】【分析】(1)先对函数求导，通过分类讨论a的取值，确定导数的符号，来确定函数的单调区间；(2)先设切点坐标横坐标xo,通过求导求出切线的斜率，写出切线的方程，再利用切线过原点的条件，就可以得到xo的值，进一步得到公共点坐标。阅卷人四、［选修4-4：坐标系与参数方程］(共1题；共2分)得分(2分)在直角坐标系xOy中，。C的圆心为C(2,1),半径为1.(1分)写出。C的一个参数方程；(1分)过点F(4,1)作。C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.【答案】⑴因为0C的圆心为(2,1),半径为1.故0C的参数方程为PZiteS(e为(y—1-rSiTlu参数).(2)设切线y=k(x-4)+l,即kx-y-4k+l=0.|2/c-l-4fc+l||2/c-l-4fc+l|即12kl=Ji+k2，4fc2=1+fc2，解得k=±孚.故直线方程为丫=字(x-4)+l,y=-字(x-4)+l等cos0+V3+1.故两条切线的极坐标方程为psin8=等cos0+V3+1.*J D【解析】【分析】(1)根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程;(2)设出过点(4,1)的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。阅卷人五、［选修4-5：不等式选讲］(共1题；共2分)得分(2分)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.(1分)当a=l时，求不等式f(x)>6的解集；(1分)若f(x)>-a>求a的取值范围.【答案】⑴解:a=l时，f(x)=|x-l|+|x+3|,即求|x-l|+|x-3R6的解集.当XN1时，2x+2>6,得xN2；当-3<x<l时，4次此时没有x满足条件；当x<-3时-2x-2N6.得x<-4,综上，解集为(-8,-4]U[2,-8).(2)f(x)最小值>-a,而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|,即|a+3|>-a.AN-3时，2a+3>0,得a>- ；a<-3时，-a-3>-a,此时a不存在.综上，a>-1.【解析】【分析】(1)当a=l,写出f(x)=|x-l|+|x+3|,进一步分段讨论去值，解不等式;(2)只要保证f(xg小值〉-a,而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：122分分值分布客观题（占比）51.0(41.8%)主观题（占比）71.0(58.2%)题量分布客观题（占比）12(52.2%)主观题（占比）11(47.8%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12(52.2%)51.0(41.8%)［选修4-4：坐标系与参数方程］1(4.3%)2.0(1.6%)［选修4-5：不等式选讲】1(4.3%)2.0(1.6%)解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。5(21.7%)50.0(41.0%)

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分4(17.4%)17.0(13.9%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(52.2%)2容易(43.5%)3困难(4.3%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号1补集及其运算