2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第2讲比例线段(含详解)

第2讲比例线段r比和比例知识梳理1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量。与b相除，叫做a与6的比，记作（或表示为其中6x0；b。除以6所得的商叫做比值，如果a:b=A,那么a=姑.（1）如果a：6=c：d（或bd）,那么就说。、b、c、d成比例.其中“是〃、b、c的第四比例项.（2）如果。：b=》：c,则人是。、c的比例中项./"要点：（1）比例表达是有顺序的；（2）比例中项：b=±4ac.2、比例的性质（1）基本性质：如果@=£,那么ad=6c；（外项积等于内向积）bd如果@=£,那么q=2,3=±.bdaccdah（2）合比性质：mac,a+bc+d如果一=一，那么 = ；hd bd如果q=£,那么巴a=£z@.bdbd（3）等比性质：a_c_卜a+ca_c_卜如果石一2一，那么人+1一Z一7一（如果是实数运算，要注意强调A+d*。）.ac a+bc+d/..—=- = \a^b）（4）合分比性质：如果％d,那么c-d.3、比例线段的概念对于四条线段a、b、c、d,如果a:6=c:d（或表示为@=£）,那么a、b、c、d叫做成比例线bd段，简称比例线段.<9"要点：（1）注意顺序：线段。、b、c、d成比例，则a2=c:d；线段a、b、c、d能够构成比例线段，则有H?=cd,ac=bd,a/=/?c三种情况.（2）线段6的比例中项：b=4ac4、黄金分割如果点P把线段分割成AP和（AP>PB）两段（如下图），其中AP是AB和PB的比例中项,那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段他的黄金分割点.其中，丝=也二1。。618,称为黄金分割AB2数，简称黄金数.黄金分割相关图形:黄金三角形黄金梯形AB CAB CDCLAABBC>/5—1.底V5—lX = （—= ）48 2 腰2ABV5-1.腰4s-\、8c2底2CDV5-1{AD=CD=BC\aB~2[AB=AC=BD^上底布一1，下底一2要点：（1）一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，可能有两解;,、、w+汪长短6-1短3-75(2)简记方法：至=亲=亏'至=题型探究题型探究善题型-、比例求值&，善题型-、比例求值&，【例1】(2)(3)已知3=2,则

b3a+2b(2)(3)已知3=2,则

b3a+2b

h廿abca-b若一=一=一，则 234b+cnce\设上=V=£=L,且b+d-f00,则bdf4a+c-e

b+d-f(4)若盯ZHO且三匕=比士=壬=七则左=,zxy，八.^a+b-ca-b+c-a+b+c入(a+b)(a+c)(、+c)^5* - = ,则 一 .cb a abc/“方法总结：求比例式的比值的方法，往往用设“k”法来求解.君题型二、比例线段与比例中项耻[例2](1)下列线段。、葭c、d四条线段，成比例线段的是( )a=12力=4,c=5,d=12 B.a=15,b=3,c=5,d=la=13,Z?=2,c=8,6/=12 D.a=5,0=0.029c=0.7,d=0.3方法总结：判断四条线段是否是成比例线段的方法:先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后，方法1:判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等；方法2：判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等.若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段不是成比例线段.（2）已知线段。、葭c、d成比例.①若〃=5cm,c=3cm9d=9cm,则.②若a=x+l,b=x,c=x+4的第四比例项是4,则x的值为.③已知a=16,/?=36,则a^h的比例中项c=t（3）已知@=£，求证：06+4是。2+©2和从+1的比例中项.bdy题型三、黄金分割a【例3】（1）“黄金分割''是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐.目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该是小狗置于画面中的位置（ ）A.① B.② C.③ D.④

(2)我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形成为黄金矩形.如图，在黄金矩形(2)我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形成为黄金矩形.如图，在黄金矩形ABCD(AB>BC)的边AB上取一点E,使得BE=BC,连接DE,则二等于( )V5V5+1D.- 2(3)点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP),则"=(3)AP(4)己知点P是线段AB的黄金分割点，且AP=J^-1,则AB的长为:(5)如图，AB=l,Pi、P2是线段AB的2个黄金分割点.①求APi、AP2的长度：AP②求一，点Pl是不是线段AP2的黄金分割点？在图中你还能找到其他的黄金分割点吗?AP2P.

举一反二TOC\o"1-5"\h\z（2021春•武威月考）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）A.3cm、6cm>8cm、9cm B.3cm、5cm、6cm、9cmB.3cm、6cm、7cm、9cm D.3cm>9cm、10cm、30cm（2020秋•全国期末练习）若""=叱（"*"）且a、b、c、”均为正数，则下列结论不成立的是（ ）bd bb-d b+\d+\ bd（2020秋•丹东期末）已知@=£=£=2,且b+d+f/O,若a+c+e=12,则b+d+f= .bdf（2020秋•浦东新区期末）写出所有能与4,5,6组成比例的数:（2020秋•西林县期末）如果线段a=9cm,b=16cm,那么a和b的比例中项cm.（2021•海陵区一模）科学家们通过研究发现，当外界环境温度与人体正常体温（37℃）之比等干黄金分割比0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为。（3（精确到0.1）（2021•江干区模拟）线段AB=2cm,点P为线段AB的黄金分割点（AP>BP）,则AP的长为cm.若a=8an,h=6cm,c=4cm,则a、b、c的第四比例项“=cm；a、c的比例中项x=cm.课后练习（2020年•湖南长沙雨花区期中）下列各组线段中,不成比例的是（ ）A.4cm,A.4cm,10cm,6cm,8cmB.12cm,4cm,6cm,8cmD.2cm,4cm,4cm,8cmC.33cm,11cm,22cm,66cmD.2cm,4cm,4cm,8cmTOC\o"1-5"\h\z（2020年•嘉定区期中）如果2x=3y（x,y均不为0）,那么下列各式正确的是（ ）x2 x- x+y5 x2A.—=- B. =3 C.——-=- D. =-y3 x-y y3 y5（2020秋•包河区期末）若ad=bc,则下列不成立的是（ ）—=— 0,—=— 0,J^0）bda+bc+dC. = （bw0,dw0）bd「a—caz,八，八 =—（6/0,6工4）b-dbD.a+1~b+\（2020年•闵行区一模）已知产是线段的黄金分割点，且4P>BP,那么下列比例式能成立的是（）TOC\o"1-5"\h\z（AB AP AB BP 仆、BP AB 小、AB 石-1（A）=——； （B）=； （C）——=——j （D）——= .AP BP AP AB AP BP AP2（2020年•甘肃定西）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下。与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若图中b为2米，则。约为（ ）A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米（2020秋•高邮市期末）若三条线段a、b、c的长满足£=2=与1,则将这三条线段首尾顺次相连（）A.能围成锐角三角形 B.能围成直角三角形C.能围成钝角三角形 D.不能围成三角形（2020年•闵行一模）已知线段a=4厘米，c=9厘米，那么线段a和c的比例中项b为 厘米.（2020年•杨浦区一模）在比例尺是1：15000000的地图上，测得甲、乙两地的距离是2厘米，那么甲、乙两地的实际距离是千米.（2021•泰州模拟）2021年3月20日起，我国陆续公布了三星堆遗址考古最新发掘成果.地球表面纬度范围是。〜90°,对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适宜人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也囊括了大多发达国家.那么黄金地带纬度的范围是.（黄金比为0.618）已知线段AB长是2厘米，P是线段48上的一点，且满足AP2=AB-BP,那么AP长为 厘米.b-d（2020年•娄底）若。C2（2020秋•静安区期末）已知线段x,y满足生！2=与，求日的值.x-yyy（2020秋•奉贤区期末）已知a:6=2:3, c=3:4,且2a+b-c=6,求a、b、c的值.—- -m若b+cc+aa+h,求用的值.。+4b+3c+8——,（2019甘肃兰州期末）已知a,b,c是三角形ABC的三边，且满足3 2 4a+b^c=l2,则三角形ABC的形状为三角形.a-b_b・c_c-a已知a,6,c是三角形ABC的三边，且bca’判断三角形ABC为何种三角形，并说明理由.第3讲比例线段r比和比例知识梳理1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量。与b相除，叫做a与6的比，记作（或表示为其中6x0；b。除以6所得的商叫做比值，如果a:b=A,那么a=姑.（1）如果a：6=c：d（或bd）,那么就说。、b、c、d成比例.其中“是〃、b、c的第四比例项.（2）如果。：b=》：c,则人是。、c的比例中项./"要点：（1）比例表达是有顺序的；（2）比例中项：b=±4ac.2、比例的性质（1）基本性质：如果@=£,那么ad=6c；（外项积等于内向积）bd如果@=£,那么q=2,3=±.bdaccdah（2）合比性质：mac,a+bc+d如果一=一，那么 = ；hd bd如果q=£,那么巴a=£z@.bdbd（3）等比性质：a_c_卜a+ca_c_卜如果石一2一，那么人+1一Z一7一（如果是实数运算，要注意强调A+d*。）.ac a+bc+d/..—=- = \a^b）（4）合分比性质：如果％d,那么c-d.3、比例线段的概念对于四条线段a、b、c、d,如果a:6=c:d（或表示为@=£）,那么a、b、c、d叫做成比例线bd段，简称比例线段.<9"要点：（1）注意顺序：线段。、b、c、d成比例，则a2=c:d；线段a、b、c、d能够构成比例线段，则有H?=cd,ac=bd,a/=/?c三种情况.（2）线段6的比例中项：b=4ac4、黄金分割如果点P把线段分割成AP和（AP>PB）两段（如下图），其中AP是AB和PB的比例中项,那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段他的黄金分割点.其中，丝=也二1。。618,称为黄金分割AB2数，简称黄金数.A P B要点：（1）一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，可能有两解;,、、w+汪长短6-1短3-75(2)简记方法：至=亲=亏'至=题型探究题型探究善题型-、比例求值，【例善题型-、比例求值，【例1】(2)已知3=2,则

b3a+2b(2)廿abc(2)已知3=2,则

b3a+2b(2)廿abc若一=一=一，则234ba-bb+c(3)公4Ce1n rnmila^-C-e设工=：=：=：,且6+〃一/工0，则----bdf4 b+d-f(4)若盯zhO且三匕=比士=壬=七则左=,

zxy(5)a-b+c_-a+b+c则(a+b)(a+c)(b+c)h a' abcc【答案】(1) (2)31 1 八-：(3)-；(4)2或-1；(5)8或-1；7 4【解析】(1)设a=2k,b=3k,则竺竺b2Z+6&_弘83k一而(3)设(3)设a=2k,b=3k,c=4Z,a-b 2k~3k—k 1b+c3A+4Z7k 7根据等比的性质‘鹏;匕x+y=&z(4)设＜y+z=质，三式相加可得，2(x+y+z)=Z(x+y+z),z^x=ky因为AyzwO,当x+y+zwO时，两边同除以x+y+z,则攵=2；当x+y+z=O,有x+y=-z,则&=入+[=，二—1.综上,k的值为2或zz{a+b-c=kca—b-\-c=kb,将上面二式相加得，—a+b+c=kaa+Z?+c=k(a+〃+c),当a+〃+cwO时，两边同除以〃+Z?+c,则2=1；所以,cI 〜e”(a+b)(a+c)(b+c)2cx2bx2aoa+b=2c,b+c=2a,c+a=2b,所以^ = =8.abc abcw口八十z 77 (a+8)(a+c)S+c)(-c)x(-Wx(-tz)当a+b+c=O,有a+〃=-c,a+c=-b,b+c=-a所以^ - - -= =-1综abc abc上，式子的值为8或・1.<o/方法总结：求比例式的比值的方法，往往用设“k”法来求解.w题型二、比例线段与比例中项&【例2](4)下列线段。、b、c、d四条线段，成比例线段的是( )a=12,b=4,c=5,d=12 B.a=15,Z>=3,c=5,J=la=13,b=2,c=8,d=12 D.a=5,Z>=0.02,c=0.7,J=0.3【答案】B【解析】A.12x4#5xl2,所以不成比例，A不符合题意;B.I*15=5*3,所以成比例，B符合题意：C.13/2户8x12,所以不成比例，C不符合题意；D.0.02x5邦.3x0.7,所以不成比例，D不符合题意；故答案为：B.方法总结：判断四条线段是否是成比例线段的方法：先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后，方法1：判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等；方法2：判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等.若相等，则这四条线段为成比例线段：若不相等，则这四条线段不是成比例线段.(5)已知线段。、b、c、d成比例.

a=5cm,c=3cm,J=9cm,则°= .②若a=x+l,b=x,c=x+4的第四比例项是4,则x的值为.③已知a=16,b=36,则a和人的比例中项c=t【答案】①15cm；②2；③24.【解析】①:5:b=3:9,所以b=15：②4(x+l)=x(x+4),所以x?=4,所以x=±2,因为，x>0,所以x=2；③因为/=必，所以©2=16x36,所以c=±24,又因为c>0,所以c=24.(6)已知@=£，求证：ab+cd是和从+/的比例中项bd证明：设@=£=氏,所以a=姑,c=W,所以=匕二=k,bd ab+cd12.12,—Cl十一cab+cdkkab+cd":+”=k,所以立e=学丝，所以"+cd是4+C?和从+屋的比例中项b2+d2 ab+cdb2+d2裹题型三、黄金分割>【例3】(6)“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐.目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该是小狗置于画面中的位置( )B.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】如图：DE=0.618DC.GF=0.618EG,所以按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置②,故选：B.

x/5-1(7)我们把宽与长的比值等于黄金比例二"的矩形成为黄金矩形.如图，在黄金矩形ABCD(AB>BC)的x/5-12Af7TOC\o"1-5"\h\z边AB上取一点E,使得BE=BC,连接DE,则一等于( )【答案】BJ5-I J5-1 3-x/5【解析】设AB=m,因为矩形ABCD是黄金矩形，所以BC= m，所以AE=m m= m,2(8)点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP),则理= .AP【答案】叵1【解析】根据黄金分割的原则，——=*=、一AP长2(9)已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP=J^-1,则AB的长为L【答案】2或JJ+i

A.短—3-石【解析】如图，线段的黄金分割点有两个，A8全2，所以ab=0+1； 1 1 APi P2AA_长后「小■廿L-十〃 -=- >日厅以AB=2.综上，AB的长为2或5/5+1.A8全2（10）如图，AB=l,Pi、P2是线段AB的2个黄金分割点.①求APi、AP?的长度：②求世，点Pi是不是线段AP2的黄金分割点？在图中你还能找到其他的黄金分割点吗？AP2A P.Pi B【答案】①AP产拽，AP2=@Z1；②必=叵！.点P1是线段AP：的黄金分割用:有其他的黄金2 2AP22分割点，P2是线段BP,的黄金分割点.；.AP2=23-45Tsi.--；.AP2=23-45Tsi.--,/.APi=2,,.AR\/5-1..AB-AP.2又；一L=--，且APi+BPt=AB,期AB-AP.2上仓②=—3一=―-—>点Pi是线段AP?的黄金分割点.AP2V5-1 2F另外，还有黄金分割点，P2是线段BP1的黄金分割点.・^举一反三（2021春•武威月考）下列各组中的四条线段成比例的是（A.3cm>6cm>8cm>9cm B.3cm>5cm、6cm>9cmD.3cmD.3cm、6cm>7cm>9cmD.3cm>9cm、10cm>30cm【答案】D【解析】A.；3x9#6x8,...四条线段不成比例，A不符合题意:B.：3x9用x5,...四条线段不成比例，B不符合题意；C.；3x9用x7,...四条线段不成比例，C不符合题意；D.•.,3x30=9x10,...四条线段成比例，D不符合题意；故选：D.（2020秋•全国期末练习）若以且久b、c、”均为正数，则下列结论不成立的是（ ）.ac oaa-c 6a+1c+1 na+bc+dhd bb-d b+1d+1 bd【答案】C【解析】由= 且a、b、c、d均为正数，可得：-=故A正确；bd,故B正确；—,故D正确，不能得到丝1=包，故C错误；故选：Cbb-d bd b+\d+\（2020秋•丹东期末）已知凹=£=刍=2,且b+d+//0,若a+c+e=12,则b+d+/= :bdf【解析】•••3【解析】•••3=£=£=2,

bdfa=2b,c=2d,e=2/,又<a+c+e=12,**.2b+2d+2/=12,得/?+d+f=6.（2020秋•浦东新区期末）写出所有能与4,5,6组成比例的数t【答案】学登【解析】设能与4,5,6组成比例的数为，则有4x=5x6,5x=4x6,6x=4x5,解得3253（2020秋•西林县期末）如果线段a=9cm,b=16cm,那么a和b的比例中项cm：【答案】12【解析】根据比例中项的概念结与比例的基本性质，得：比例中项的平方等下两条线段的乘积.设a和b的比例中项为xcm,依题意有x2=9xl6,解得x=±12（线段是正数，负值舍去），故答案为：12.（2021•海陵区一模）科学家们通过研究发现，当外界环境温度与人体正常体温（37。0之比等干黄金分割比0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为。（3（精确到0.1）【答案】22.9【解析】根据黄金比的值得：37x0.618=22.9（℃）.故本题答案为：22.9

（2021•江干区模拟）线段AB=2cm,点P为线段AB的黄金分割点（AP>BP）,则AP的长为cm.【答案】V5-1【解析】•••线段AB=2cm,点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）,.ap-x/5-1 V5-1 %,・AP-AB=x2=寸5・1.若a=8cvn,b=6cm9c=4cmf则a、6、c的第四比例项d=cm；a、c的比例中项x=cm.【答案】3,4立.【解析】根据第四比例项和比例中项的基本定义，可得@=£, 代入即可分别求得,bdxcx=4\/2cm.Q―课后练习（2020年•湖南长沙雨花区期中）下列各组线段中,不成比例的是（ ）A.4cm,l0cm,6cm,8cm B.12cm,4cm,6cm,8cmC.33cm,l1cm,22cm,66cm D.2cm,4cm,4cm,8cm【答案】A【解析】A.4xl0加x8,所以不成比例，故A符合题意；B.4x12=6x8,所以成比例，故B不符合题意；C.66x11=22x33,所以成比例，故C不符合题意；E..2x8=4x4,所以成比例，故D不符合题意；故选：A.（2020年•嘉定区期中）如果2x=3y（x,y均不为0）,那么下列各式正确的是（ ）x2A.x2A.—=—y3B.-^-=3D. =-x+y5【答案】【解析】X3人.；2》=3火左丁均不为0）, 故A不正确【解析】B.V-x3B.V-x3—=—=3,故B正确;2x—y3-2c••X-3y2c••X-3y2.x+y3+25 丁十m，・——-= =-,故C不正确;x3D.V—=-y2x+y3+253—»故D不正确；故选：B.3.（2020秋•包河区期末）若ad=bc,则下列不成立的是（ ）na-ca/1八,八B. =一(b丰。力丰d)b-dbdca+1c+1. ,.八dD. = (Z?w—l,dw-1)b+\d+1【答案】D【解析】解：A,•/—=—,;.ad=bcy故选项成立；bdB、•：—~,:.b(a-c)=a(b-d),:.ab-bc=ab-ad,ad=be故选项成立；b-dbC、•.・a+".='+4, (a+b)d=(c+d)b,;.ad+bd=bc+bd，ad=be,故选项成立;bd0、= .・.(a+l)(d+l)=(b+l)(c+l),・•.加+a+d+l=bc+0+c+l,h+\d+1：.ad+a+d=bc+b+c,故选项不成立.故选：D.（2020年•闵行区一模）已知尸是线段48的黄金分割点，且力尸>8P,那么下列比例式能成立的是（）（A）世=" （B）丝=竺；（C）理=组（D）理^昱LAPBP APAB APBP AP2【答案】AAP2=BPxAB,—= =—【解析】•.•点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP,.I A82APBP,故A正确，B和C错误，同时D错误，故选:A.（2020年•甘肃定西）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身方的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若图中b为2米，则a约为（ ）A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米【答案】A-«0.618 ,oi【解析】•••雕像的腰部以下a与全身6的高度比值接近0.618,...匕，:。二乙..""L24故选人（2020秋•高邮市期末）若三条线段a、b、c的长满足凹=2=正里，则将这三条线段首尾顺次相连（hc2）A.能围成锐角三角形 B.能围成直角三角形C.能围成钝角三角形 D.不能围成三角形【答案】D【解析】解：•.•三条线段a、b、c的长满足@=2=垦1,hc2iia=（x/54-1）k»b=2k，则c=（>5-l）A，•«-75+1=>/5-1+2,r.不能围成三角形，故选：D.（2020年•闵行一模）已知线段a=4厘米，c=9厘米，那么线段a和c的比例中项b为 厘米.【答案】6【解析】因为6是线段a和c的比例中项，所以炉="=4'9,所以6=±6（线段是正数，负值舍去）.故答案为：6.（2020年•杨浦区一模）在比例尺是1：15000000的地图上，测得甲、乙两地的距离是2厘米，那么甲、乙两地的实际距离是千米.【答案】3002 1【解析】设甲、乙两地的实际距离是x厘米，根据题意，得一= ，解得x=30000000,30000000厘米x15000000=300千米，所以甲、乙两地的实际距离是300千米.（2021•泰州模拟）2021年3月20日起，我国陆续公布了三星堆遗址考古最新发掘成果.地球表面纬度范围是0〜90°,对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适宜人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也囊括了大多发达国家.那么黄金地带纬度的范围是.（黄金比为0.618）【答案】34.38。〜55.62。【解答】解:90°x0.618=55.62°,90°-55.62°=34.38°.黄金地带纬度的范围是：34.38°~55.62°.故答案为：34.38°-55.62°已知线段48