直线与圆的代数方法专题训练(教师版)

直线与圆的代数方法专题训练(教师版)直线与圆的代数方法专题训练(教师版)直线与圆的代数方法专题训练(教师版)资料仅供参考文件编号：2022年4月直线与圆的代数方法专题训练(教师版)版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：直线与圆的代数方法专题训练一、有关垂直问题：1、已知圆C：，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。解析：圆C化成标准方程为假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）由于CM⊥l，∴kCMkl=－1∴kCM=，即a+b+1=0，得b=－a－1=1\*GB3①直线l的方程为y－b=x－a，即x－y+b－a=0CM=∵以AB为直径的圆M过原点，∴，∴=2\*GB3②把=1\*GB3①代入=2\*GB3②得，∴当此时直线l的方程为x－y－4=0；当此时直线l的方程为x－y+1=0故这样的直线l是存在的，方程为x－y－4=0或x－y+1=0评析：此题用,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b的方程比较简单二、取值范围问题2、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C：x2＋y2=m2，当圆C与线段AB没有公共点时，求m的取值范围.解：∵过点A、B的直线方程为在l：x－y＋1=0,作OP垂直AB于点P，连结OB.由图象得：|m|＜OP或|m|＞OB时，线段AB与圆x2＋y2=m2无交点.（I）当|m|＜OP时，由点到直线的距离公式得：，即.（II）当＞OB时,,即.∴当和时，圆x2＋y2=m2与线段AB无交点.3、．已知动圆与轴相切，且过点.⑴求动圆圆心的轨迹方程；⑵设、为曲线上两点，，，求点横坐标的取值范围.解：⑴设为轨迹上任一点，则化简得：为求。⑵设，，∵∴∴或为求三、定点（或定值）问题4、已知圆，直线过定点。（1）若与圆相切，求的方程；（2）若与圆相交于丙点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。解：（1）①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意。……2分②若直线斜率存在，设直线为，即。由题意知，圆心以已知直线的距离等于半径2，即：，解之得所求直线方程是，（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为由得又直线与垂直，由得∴为定值。故是定值，且为6。四、探索性问题NCMQPOAxy···lml第17题5、已知过点的动直线与圆：相交于、两点，是中点，与直线：NCMQPOAxy···lml第17题（１）求证：当与垂直时，必过圆心；（２）当时，求直线的方程；（３）探索是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.NCMQPOAxy·NCMQPOAxy···lml第17题故直线方程为，即∵圆心坐标（0，3）满足直线方程，∴当与垂直时，必过圆心（２）①当直线与轴垂直时,易知符合题意②当直线与轴不垂直时,设直线的方程为，即，∵，∴，………8分则由，得,∴直线：.故直线的方程为或………10分（３）∵,∴……12分当与轴垂直时，易得，则,又,∴………14分当的斜率存在时，设直线的方程为，则由，得（）,则∴=综上所述，与直线的斜率无关，且.…16分课后综合训练1、已知过点,且与:关于直线对称.(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)设为上的一个动点,求的最小值；(Ⅲ)过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.

解:(Ⅰ)设圆心,则,解得…………(3分)则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为………(5分)(Ⅱ)设,则,且==,…………(7分)所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,,由,得………(11分)因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得同理,,所以=所以,直线和一定平行2、已知圆O的方程为且与圆O相切。求直线的方程；设圆O与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为，直线PM交直线于点，直线QM交直线于点。求证：以为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标。解析：（1）∵直线过点，且与圆：相切，设直线的方程为，即，…………2分则圆心到直线的距离为，解得，∴直线的方程为，即．（2）对于圆方程,令，得,即．又直线过点且与轴垂直，∴直线方程为，设，则直线方程为解方程组,得同理可得,∴以为直径的圆的方程为，又，∴整理得，若圆经过定点，只需令，从而有，解得，∴圆总经过定点坐标为．3、已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且.(1)求直线的方程；⑵求圆的方程；⑶设点在圆上，试问使△的面积等于8的点共有几个？证明你的结论.

解：⑴直线的斜率，中点坐标为，∴直线方程为（4分）⑵设圆心，则由在上得：①又直径,,又∴②（7分）由①②解得或∴圆心或∴圆的方程为或（9分）⑶，∴当△面积为时，点到直线的距离为。又圆心到直线的距离为，圆的半径且∴圆上共有两个点使△的面积为.（14分）4、在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．xxyOABl2l1l解析．（Ⅰ）直线设．的倾斜角为，反射光线所在的直线方程为．即．已知圆C与圆心C在过点D且与垂直的直线上，①又圆心C在过点A且与垂直的直线上，②，由①②得，圆C的半径r=3．故所求圆C的方程为．（Ⅱ）设点关于的对称点，则得．固定点Q可发现，当共线时，最小，故的最小值为为．，得最小值．5、已知过点A（0，1），且方向向量为，相交于M、N两点.（1）求实数的取值范围； （2）求证：；（3）若O为坐标原点，且.解：（1）由6、已知圆，点，直线.⑴求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；⑵在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.解：⑴设所求直线方程为，即，直线与圆相切，∴，得，∴所求直线方程为---------5分⑵方法1：假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，；当为圆与轴右交点时，，依题意，，解得，（舍去），或。下面证明点对于圆上任一点，都有为一常数。设，则，∴，从而为常数。方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，∴，将代入得，，即对恒成立，∴，解得或（舍去），所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。7、已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．（1）若，试求点的坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方