2022年1月上海市普通高等学校招生统一考试数学春季高考真题试卷（含详解）

2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）（4分）已知z=2+i（其中i为虚数单位），则^=.（4分）已知集合4=（-1,2）,集合8=（1,3）,则ACB=.（4分）不等式上1<0的解集为.XTOC\o"1-5"\h\z（4分）若tana=3,则tan（a+2L）= .4（4分）设函数=丁的反函数为fl（x）,则（27）=.（4分）在（4+工）】2的展开式中，则含」一项的系数为 .X .4A x（5分）若关于x,y的方程组［'何'有无穷多解，则实数m的值为 .\mx+16y=8（5分）已知在△ABC中，ZA=2L,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为 .3（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为.（用数字作答）（5分）在△4BC中，ZA=90°,AB=AC=2,点M为边4B的中点，点P在边BC上,则而•而的最小值为.2（5分）已知Pi（xi，yi）,Pi（刈，”）两点均在双曲线r：2L.-/=i（a>o）的右a支上，若恒成立，则实数a的取值范围为.（5分）已知函数y=f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x=l对称，且当在（0,1］时，f（x）=lnx,若将方程/（x）=x+l的正实数根从小到大依次记为xi,K1，孙…，X"，则lim（X"+i-X"）="n-*8二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.TOC\o"1-5"\h\z（5分）下列函数定义域为R的是（ ）_1_ J_A.y=x2 B.y=x1 C.y=x3 D.y=%2（5分）若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是（ ）A.a+d>b+c B.a+c>b+d C.ac>bd D.ad>bc（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（ ）A.0 B.2 C.4 D.12（5分）已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S”前〃项积为7”，则下列选项判断正确的是（）A.若的022>52021，则数列｛斯｝是递增数列B.若72022>乃021，则数列｛斯｝是递增数列C.若数列｛S"｝是递增数列，则42022242021D.若数列｛〃｝是递增数列，则。2。222。2021三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为。、。1，441为圆柱的母线，底面半径长为1.（1）若A4i=4,M为AAi的中点，求直线MOi与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过。Oi的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积.（14分）已知在数列｛%｝中，“2=1，其前"项和为S”.（1）若｛〃”）是等比数列，52=3.求limS”；（2）若｛斯｝是等差数列，Sm^n,求其公差d的取值范围.(14分)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块A8C£＞,AB=30m,AD=\5m.为保护。处的一棵古树，有关部门划定了以。为圆心、04为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为48边上的点E,出线口为C。边上的点F,施工要求E尸与封闭区边界相切，£尸右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到0.所，计算面积精确到0.0加2)(1)若NAOE=20°,求EF的长；(2)当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？(16分)已知椭圆「：三_+/=1(a＞l),A、8两点分别为「的左顶点、下顶点，C、a。两点均在直线/：x=a上，且。在第一象限.(1)设尸是椭圆「的右焦点，且nafb=?L,求r的标准方程：6(2)若C、。两点纵坐标分别为2、1,请判断宜线40与直线BC的交点是否在椭圆「上，并说明理由；(3)设直线A。、8C分别交椭圆「于点尸、点。，若尸、Q关于原点对称，求|CL)|的最小值.(18分)已知函数/(x)的定义域为R,现有两种对/(x)变换的操作：甲变换：f(x)-fCx-t\3变换：If(x+r)-/(x)I，其中，为大于0的常数.(1)设/(x)=2\f=1,g(x)为/(x)做＜p变换后的结果，解方程：g(x)=2；(2)设/(x)=7,h(x)为f(x)做3变换后的结果，解不等式：/(x)部(x)；(3)设f(x)在(-8,0)上单调递增，/(x)先做＜p变换后得到u(x),u(x)再做3变换后得到h\(X)；/(X)先做3变换后得到V(X),V(X)再做＜p变换后得到h2(X).若hl(x)=h2(X)恒成立，证明：函数f(X)在R上单调递增.2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分)1.【分析】根据已知条件，结合共轨复数的概念，即可求解.【解答】解：；z=2+i,故答案为：2-i..【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解：•••集合A=(-1,2),集合B=(1,3),.".ADB=(1,2).故答案为：(1,2)..【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解.【解答】解：由题意得x(x-1)<0,解得0<xVl,故不等式的解集(0，1).故答案为：(0,1)..【分析】由两角和的正切公式直接求解即可.【解答】解：若tana=3,71tanCL+tan-r"则tan(a+2L)= =3+1=-2.41-tanCLtanr^-"XI故答案为：-2..【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值.【解答】解：函数/(X)=丁的反函数为(X),整理得f7(x)=也；所以『7(27)=3.故答案为：3..【分析】求出展开式的通项公式，令x的次数为-4,求出k的值即可.TOC\o"1-5"\h\z【解答】解：展开式的通项公式为Tk+i=Ck(?)12"(1)k=ckx36y由36-4412 x12=-4,得42=40,得女=10,即711=(710灯4=型,即含二项的系数为66,12 4 4X X故答案为：66..【分析】根据题意，分析可得直线x+my=2和wx+16y=8平行，由此求出机的值，即可得答案.【解答】解：根据题意，若关于x,y的方程组!,.七有无穷多解，(mx+16y=8则直线x+my=2和〃ix+16y=8重合，则有lX16=mX〃z,即〃产=16,解可得〃?=±4,当m=4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当加=-4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故机=4.故答案为：4.【分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果.【解答】解：在△ABC中，ZA=—,AB=2,AC=3,3利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB・AUcosA,整理得BC=4，所以_区_=2口解得R=叵.sinA 3故答案为：返］.3.【分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有2/^3=12种情况，即有12个符合题意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134,则有6-1=5个比2134大的四位数，故有12+5=17个比2134大的四位数，故答案为：17..【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出诬•百=2?-3x,再利用二次函数求最值即可.【解答】解：建立平面直角坐标系如下,则B(2,0),C(0,2),M(1,0),直线8c的方程为三+工=1,即x+y=2,22点P在直线上，设尸(x,2-x),AMP=(X-1,2-x),CP=(X,-X),MP*CP=^(x-1)-x(2-x)-3x=2(y—-—>,4， 8 8•••诬•而的最小值为-2.8故答案为：一9.11.【分析】取P2的对称点「3（X2，-”），结合XlX2>yi”，可得OP；・OP；>O,然后可得渐近线夹角NMONW90。，代入渐近线斜率计算即可求得.【解答】解：设尸2的对称点尸3（X2，-J2）仍在双曲线右支，由XlX2>yi”，得用12-yiy2>0，即0P；•0P 恒成立，•••NP1OP3恒为锐角，即NMONW90。,.•.其中一条渐近线y=L的斜率工《1,aa・••心1,所以实数。的取值范围为［1,+°°）.故答案为：［1,+8）.12.【分析】f(x)是周期为4的周期函数，作出图象，lim(q+i-x〃)的几何意义是两口->8条渐近线之间的距离，由此能求出结果.【解答】解：•.•函数y=/(x)为定义域为R的奇函数，其图像关于x=l对称，且当在(0,1］时，f(x)=lnx,：.f(x)是周期为4的周期函数，图象如图：将方程/(X)=X+1的正实数根从小到大依次记为XI，刈，刈，…，X",则lim(xn+i-xQ的几何意义是两条渐近线之间的距离2,nf8••lim(Xzi+1-X")—2.n—8故答案为：2.二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13•【分析】化分数指数累为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案.【解答】解:【解答】解:定义域为{x|x>0},y=x-1=—,定义域为{X|XRO},xy=X§=%，定义域为R，J_y=x2=«，定义域为{小20}.・••定义域为R的是v=3.故选：c.14•【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.【解答】解：对于A,令a=2,b=\,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,（0a+d=b+c,故A错误，对于B,a>b>c>d,BPa>b,c>d,.••由不等式的可加性可得，a+c>lHd,故B正确,对于C,令a=2,b=\,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,但ac=6d,故C错误，对于。，令a=2,b=l,c=-1,d=-2,满足a>6>c>d,但ad<6c,故。错误.故选：B.15.【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直.【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，,每天。点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2,故选：B.16•【分析】反例判断A；反例判断B；构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推出数列公比以及数列项的范围，即可判断。.【解答】解：如果数列G=-1,公比为-2,满足S2O22>S2O2”但是数列｛&.｝不是递增数列，所以A不正确；如果数列01=1,公比为-工，满足72022>72021，但是数列｛©>｝不是递增数列，所以B2不正确；1-3）n如果数列m=l,公比为工，Sn=————=2（1-2。），数列｛S"｝是递增数列，但是2 1 2n202022<2021，所以C不正确；数列｛刀,）是递增数列，可知力|>。1-1，可得斯>1,所以可得420222。2021正确，所以。正确；故选：D.三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17•【分析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解.【解答】解：（1）因为AA1为圆柱的母线，所以AAi垂直于上底面，AM所以NMO1A1是直线MOi与上底面所成角，tanNMOiAi=—i—=2=2,01Al1所以Z.MO\A\=arctan2.（2）因为圆柱过OOi的截面为正方形，所以A4i=2,所以圆柱的体积为V=nr2/j=Tfl2,2=27T,圆柱的侧面积为S=27u%=2tt1*2=411.18•【分析】（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前〃项和，求极限得答案;（2）求出等差数列的前2〃项和，代入S2”》〃，对〃分类分析得答案.【解答】解：⑴在等比数列｛斯｝中，02=1.52=3,则m=2,，公比q=工，则S=-1 -=4（1——），TOC\o"1-5"\h\z2nl-q 2nlimS产lim4（1—）=4：n->8 n-82n（2）若｛斯｝是等差数列，（a2+a2n-l）,2n 0 、贝」s2n=一-―2 =2dn2+（2-3d）n^«>即（3-2n）当〃=1时，dWl：当〃22时，心1恒成立,V1E[-1,0）,：.d^0.3-2n 3-2n综上所述，Je[O,1]..【分析】（1）作凡然后结合锐角三角函数定义表示出E凡（2）设NAOE=8,结合锐角三角函数定义可表示AE,FH,然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求.

【解答】解：(1)作O”J_E凡垂足为”，贝ijEF=E/7+4F=15tan2O°+15tan5O°弋23.3/n；(2)设NACE=O,则4E=15tanO,F/7=15tan(900-20),yX15X15tan(900-20>SnuKadef=2Smd计S&dfh=2XyX15X15tan(900-20>- 2=(=(3Otan0+15cot20)=2 _等Wan。长)普叵2生(3Otan0+15X1+及匚J2 2tan0当且仅当3tanB=——1—,即lan8J巨时取等号，此时4E=15tan8=5j§,最大面积tan8 3为450-225-/3^255.14/W2.2.【分析】(1)根据条件可得tanNA/9=上，解出c,利用/=〃+/,求得小即可求得

C答案；(2)分别表示出此时直线3C、直线AO的方程，求出其交点，验证即可；(3)设尸(acos0,sin0),Q(-acos0,-sin。)，表示出直线8P、直线A。方程，解出C、。坐标，表示出|8|,再利用基本不等式即可求出答案.【解答】解：(1)由题可得3(0,-1),F(c,0),因为N4F8=2-,所以tanZAFB=-=—=tan2L,=^[3-1解得c=V3»6 cc6 3_ 2所以/=1+(V3)2=4,故r的标准方程为江+y=1；4(2)直线A。与直线8C的交点在椭圆上，由题可得此时A(-a,0),B(0,-1),C(a,2),D(小1),(3a)2则直线BC：y=^x-1,直线AD：y=-Lx+^L,交点为(迎,刍),满足———+(A)2=1(a 2a2 55a25故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；(3)8(0,-1),PCacosQ,sinG),则直线BP：＞=皇迪21r-1,所以C(a,sin8+1acos9 cos0-1),A(-a,0),。(-acosOA(-a,0),。(-acosO,-sin0),则直线AQ：y=所以\CD\=sin£+l

cos8j,2sin8

cos8-1:———(x+a),所以D(〃,-2g」nB),acos9-a cos8-1.8 9 .28 282sin-^-cosr-^-+sin-^~+coscos2-f-sin2-f・eedsin-^-cos-^-rel(^—J)(^—J)-2,1-ttJ-4^=4,1-tt1-t+t设tan、-=f,则|CD|=22因为工所以.aba+b则|CD|26,即|CD|的最小值为6・21•【分析】(1)推导出g(x)=/(x)-f(x-1)=2X-2V,=2X,=2,由此能求出x.(2)推导出(x+r)2-/|=|2及+「|,当x主时，f(x)2〃(x)恒成立；当2-主时，由此能求出/(x)2flCx)的解集.2(3)先求出u(x)=f(x)-f(x-r),从而h\(x)=\f(x+r)-/(x)-[f(x)-f(x-t)]|,先求出v(x)=\f(x+z)-f(x)I，从而hi(x)=|f(x+z)-f(x)I-\f(