2022年中考数学真题分类汇编 专题14 圆与正多边形（学生版+解析版）

专题14圆与正多边形一.选择题（2022•浙江嘉兴•中考真题）如图，在回。中，EI8OC=130",点A在EAC上，则MAC的度数为（ ）CA.55° B.65° C.75° D.130°（2022•山东滨州•中考真题）如图，在。。中，弦相交于点P,若44=48。,44产。=80。，则DB的大小为（）BA.32° B.42° C.52° D.62°（2022•江苏连云港•中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）B.一江一C.-7T—2,\/3 D.—71~~y/33 3 3（2022•湖北武汉•中考真题）如图，在四边形材料A8CO中，AD//BC,ZA=9O°,AD=9cm,A3=20cm,3C=24cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（A.110 cm13A.110 cm138cm65/2cm D.10cm（2022・湖北宜昌•中考真题）如图，四边形ABC。内接于OO,连接08,OD,80,若NC=U0。，则NO3D=AcAcA.15° B.20° C.25° D.30°（2022•四川德阳・中考真题）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和aABC的外接圆相交于点O,与8c相交于点G,则下列结论：®ZBAD=ZC4D；②若ZS4C=60。，则/BEC=120。；③若点G为8c的中点，则N8G£>=90。：@BD=DE.其中一定正确的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4（2022・湖南株洲•中考真题）如图所示，等边aABC的顶点A在团。上，边48、AC与130分别交于点。、E,点尸是劣弧£）£上一点，且与。、E不重合，连接。尸、EF,则NZVE的度数为（ ）

\/*oV\A.115° B.118° C.120° D.125°（2022•甘肃武威•中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家"，如图1,蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如图2,一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF,若对角线AO的长约为8mm,则正六边形ABCOEF的边长为（）B.2\/2mmC.2B.2\/2mmC.26mmD.4mm9.9.（2022•湖南邵阳•中考真题）如图,团。是等边“8C的外接圆，若48=3,贝崛。的半径是（10.（2022•四川眉山•中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿月4,依分别相切于点A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若NQAB=28。，则NA心的度数为（ ）

A.28° B.50° C.56° D.62°IL（2022•浙江湖州•中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在6x6的正方形网格图形48CD中，M,N分别是A8,8c上的格点，8M=4,BN=2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM,PN,则所有满足国MPN=45。的团PMN中，边PM的长的最大值是（）A.4A.4>/2 B.6C.2>/10 D.3V512.（2022・四川遂宁•中考真题）如图，圆锥底面圆半径为7cm,高为24cm,则它侧面展开图的面积是（ ）C.1C.175兀cm2D.35071cm21314.1314.（2022•浙江宁波•中考真题）已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为6cm,则圆锥的侧面积为（A.367ccmA.367ccm2 B.24兀cm?C.1671cm2D.127rcm2（2022•甘肃武威,中考真题）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（A8），点O是这段弧所在圆的圆心，半径。4=90m,圆心角NAO3=80。，则这段弯路（ab）的长度为（）30^mC.D.530^mC.D.5O;rm（2022•浙江温州•中考真题）如图，是。O的两条弦，SLAB于点D,OELAC于点邑连结08,OC.若"0石=130。，则N3OC的度数为（A.950 B.100° C.1050 D.130°（2022•山东泰安•中考真题）如图，点/为的aABC内心，连接4并延长交aABC的外接圆于点D,点E为弦AC的中点，连接CD,El,IC,当A/=28,IC=6,/。=5时，/E的长为（ ）（2022•浙江丽水•中考真题）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图.已知矩形的宽为2m,高为2jim,则改建后门洞的圆弧长是（）

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C. m31920.（2022•四川凉山•中考真题）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件,已知扇形的圆心角13847=90。，则扇形部件的面积为（）填空题-n米4D.。•万米填空题-n米416（2022♦江苏宿迁•中考真题）如图，在正六边形A8CDEF中，48=6,点M在边AF上，且AM=2.若经过点M的直线/将正六边形面积平分，则直线/被正六边形所截的线段长是22.（2022•湖南衡阳•中考真题）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120。，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了cm.（结果保留“）线交团。于点D.若MPD是所对的圆周角，则财PD的度数是（2022•云南•中考真题）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm,这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是.（2022•浙江宁波•中考真题）如图，在△48C中，AC=2,BC=4,点。在8c上，以。B为半径的圆与AC相切于点4。是8c边上的动点，当AACD为直角三角形时，AD的长为.（2022•四川自贡•中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦A8长20厘米,弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 厘米.A C B3（2022•浙江温州•中考真题）若扇形的圆心角为120。，半径为则它的弧长为.（2022•新疆•中考真题）如图，团。的半径为2,点4,B,C都在（3。上，若N5=30。.则4c的长为（结果用含有兀的式子表示）（2022•四川泸州•中考真题）如图，在RtZVIBC中，ZC=9O°,AC=6,BC=2拒,半径为1的G）O在RtZXABC内平移可以与该三角形的边相切），则点A到。。上的点的距离的最大值为.（2022•浙江嘉兴•中考真题）如图，在廓形408中，点C,。在上，将C。沿弦C£＞折叠后恰好与Q4,。8相切于点E,F.已知ZAO8=120°,OA=6,则斯的度数为；折痕8的长为三.解答题（2022•四川成都•中考真题）如图，在RtZVIBC中，ZACB=90°,以8c为直径作回。，交AB边于点O,在CC上取一点E，使BE=CD，连接OE，作射线CE交AB边于点尸.4⑴求证：NA=NACf；（2）若AC=8,cosZACF=-,求班'及£）£的长.（2022•山东滨州•中考真题）如图，已知AC为OO的直径，直线雨与相切于点4,直线PD经过OO上的点8且NCW=NC4B,连接OP交A8于点M.求证：⑴PD是。。的切线；⑵4/二加孑〃

（2022•四川泸州•中考真题）如图，点C在以A8为直径的。。上，8平分N4CB交。。于点。，交AB于点E,过点。作O。的切线交CO的延长线于点F.⑴求证：FD//AB,（2）若AC=2。，BCf，求FD的长.（2022・四川南充•中考真题）如图，AB为O。的直径，点C是O。上一点，点D是O。外一点，- 4NBCD=NBAC,连接OO交BC于点E.⑴求证：8是O。的切线.（2）若CE=OA,sinNBAC=g,求tanNCEO的值.（2022•江苏扬州•中考真题）如图，48为。。的弦，OC_L04交AB于点P,交过点B的直线于点C,且。=CP.⑴试判断直线8C与。。的位置关系，并说明理由；⑵若sinA=Y^,0A=8,求CB的长.（2022•江苏宿迁•中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点，点A、8、C、。、M均为格点.【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段A8、CD,相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E,构建两个直角三角形，分别是AABC和ACDE.在R3A8C中，tanZfi4C=1在RtACDE中,,所以tan/54C=tanNDCE.所以国8ACWOCE.因为I3ACP+^DCE=0ACfi=90°,所以I3AC尸+QBAC=90°,所以=90°,BPAB^CD.所以=90°,BPAB^CD.图①图。I图。I图。（1）【拓展应用】如图②是以格点。为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使写出作法，并给出证明：（2）【拓展应用】如图③是以格点。为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦A8上找出一点P.使写出作法，不用证明.（2022•四川乐山•中考真题）如图，线段AC为团。的直径，点D、E在回。上，CO=OE，过点D作。甩4：,3垂足为点F.连结CE交OF于点G.⑴求证：CG=DG：（2）已知回。的半径为6,sinNACE=g,延长AC至点B,使8c=4.求证：8D是田。的切线.ODVCB,垂足为ODVCB,垂足为E,（2022•天津•中考真题）已知AB为OO的直径，AB=6,C为。。上一点，连接CA,CB.⑴如图①，若C为AB的中点，求NC4B的大小和AC的长：（2）如图②，若AC=2,0。为的半径，且过点。作O。的切线，与AC的延长线相交于点F,求FD的长.图②图①

图②（2022•江苏宿迁•中考真题）如图，在aABC中，3ABC=45。，AB^AC,以AB为直径的团。与边BC交于点。.（1）判断直线AC与mO的位置关系，并说明理由；（2）若AB=4,求图中阴影部分的面积.（2022・浙江湖州•中考真题）如图，己知在RtfMBC中，NC=90°,。是A8边上一点，以BD为直径的半圆。与边4?相切，切点为E,过点。作OFJ_BC,垂足为F.⑴求证：。尸=EC；⑵若NA=30。，BD=2,求AD的长.（2022•山东泰安•中考真题）问题探究（1）在aABC中，BD,CE分别是NA8C与4C4的平分线.①若NA=6O。，AB^AC,如图，试证明BC=CO+BE：②将①中的条件"AB=AC"去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由.

迁移运用（2）若四边形A8C£＞是圆的内接四边形，且NACB=2NAC£）,ZCAD=2ZCAB,如图，试探究线段AO,BC,AC之间的等量关系，并证明.（2022•云南•中考真题）如图，四边形A8CD的外接圆是以8D为直径的团。，P是团。的劣狐8c上的任意一点，连接力、PC、PD,延长8c至E,使8D2=BG8E.⑴请判断直线DE与回。的位置关系，并证明你的结P4_i_论；（2）若四边形ABCD是正方形，连接AC,当P与C重合时，或当P与8重合时，把蓝转化为正方形A8CD的有关线段长的比，可得胃=&是否成立?请证明你的结论.（2022•陕西•中考真题）如图，A8是团。的直径，AM是团。的切线，AC、8是必。的弦，且C£）_LAB,垂足为E,连接BZ）并延长，交AM于点P.⑴求证：NC4B=NAPB；（2）若田。的半径r=5,AC=8,求线

段尸。的长.（2022•湖南衡阳•中考真题）如图，A8为团。的直径，过圆上一点。作国0的切线C£＞交84的延长线与点C,过点。作OE//AD交C。于点E,连接BE.（1）直线8E与团。相切吗？并说明理由：⑵若CA=2,CD=4,求。E的长.（2022•湖南株洲•中考真题）如图所示，aABC的顶点A、8在回。上，顶点C在回。外，边AC与回。相交于点O,NB4C=45。，连接OB、OD,已知OO〃8C.⑴求证：直线8C是团。的切线；（2）若线段OO与线段AB相交于点E,连接30.①求证：aABD^aDBE；②若AB-BE=6,求13。的半径的长度.

D.（2022・湖南怀化•中考真题）如图，点A,B,C,D在团。上，AB=CD.求证:(1)AC=BD；(2)QABE^DCE.（2022•江西中考真题）（1）课本再现：在中，ZAOB是A8所对的圆心角，NC是AB所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心。与NC的位置关系进行分类.图1是其中一种情况,请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形,并从三种位置关系中任选一种情况证明NC=*OB；（2）知识应用：如图4,若O。的半径为2,P4PB分别与O。相切于点A,B.NC=60°,求P4的长.（2022•甘肃武威•中考真题）如图，aABC内接于O。，AB,CQ是的直径，E是£）8延长线上一点,且/£>EC=NABC.（1）求证：CE是OO的切线；（2）若DE=4石，AC=2BC,求线段CE的长.（2022•浙江绍兴,中考真题）如图，半径为6的回。与RttMBC的边A8相切于点A,交边8c于点C,D,(38=90°,连接。D,AD.（1）若EWCB=20°,求a及的长（结果保留开）.（2）求证：AD平分团BD。.（2022•浙江金华,中考真题）如图1,正五边形ABCDE内接于回。，阅读以下作图过程，并回答下列问题,作法：如图2,①作直径②以F为圆心，/。为半径作圆弧，与⑦。交于点M,N；③连接

图1图2图1图2⑴求NABC的度数.（2）aAMN是正三角形吗？请说明理由.（3）从点A开始，以ON长为半径，在团。上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正"边形，求"的值.专题14圆与正多边形一.选择题（2022•浙江嘉兴•中考真题）如图，在。。中，ZBOC=130°,点A在BAC上，则NBAC的度数为（A.55° B.65° C.75° D.130°【答案】B【分析】利用圆周角直接可得答案.【详解】解：；N8OC=130°,点A在BAC上，\?BACBOC65?,故选B【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握"同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.（2022•山东滨州,中考真题）如图，在。0中，弦相交于点P,若NA=48。,乙4PC=80。，则£）8的大小为（）【答案】A【分析】根据三角形的外角的性质可得NC+NA=N4PD,求得NC=32。，再根据同弧所对的圆周角相等,即可得到答案.【详解】vZC+ZA=ZAPD,ZA=48°,ZAPD=80°,.•.NC=32。.♦.々=/。=32°故选：A.【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

（2022•江苏连云港•中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A.C.-A.C.-~2>/33d.一九-Ji3【答案】B【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可.【详解】解：如图，过点OC作。Dd_八8于点D,360°■:N4O8=2x360°■:N4O8=2x =60°,12:・>OAB是等边三角形，：.ZAOD=ZBOD=30",OA=OB=AB=2,AD=BD=-AB=1,20D=y/ACf-AD2=y/3，...阴影部分的面积为6°n：2--_L>2>G=2"-G，故选：B.【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键.（2022•湖北武汉•中考真题）如图，在四边形材料A8C0中，AD//BC,ZA=9O°,A£>=9cm,AB=20cm,BC=24cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（）A.--cm B.8cm C.6&cm D.10cm【答案】B【分析】如图所示，延长BA交CD延长线于E,当这个圆为△8CE的内切圆时，此圆的面积最大，据此求解即可.【详解】解：如图所示，延长8A交CO延长线于E,当这个圆为△BCE的内切圆时，此圆的面积最大，VAD//BC,ZBAD=90°,:.丛EADs4EBC,ZB=90°,.EAADHnEA9EBBCEA+2024:.E4=12cm,:.EB=32cm,•*-EC=VER2+BC1=40cm•设这个圆的圆心为O,与EB,BC,EC分别相切于凡G,H,：.OF=OG=OH,•S&EBC=SAEOB+S&COB+S&EOC,：.-EBBC=-EBOF+-BCOG+-ECOH,2 2 2 224x32=(24+32+40)-OF,/.OF=8cm,，此圆的半径为8cm,故选B.【点睛】本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形三边的关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.（2022•湖北宜昌•中考真题）如图，四边形ABCO内接于连接。8,OD, 若NC=110°,则=A.15° B.20° C.25° D.30°【答案】B【分析】根据圆内接四边形的性质求出NA，根据圆周角定理可得ZBOD，再根据05=。。计算即可.【详解】•••四边形ABC。内接于。。，44=180。-48=70°,由圆周角定理得，NBQD=2NA=140°,OB=OD:.4OBD=NODB= =20o2故选：B.【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.（2022・四川德阳•中考真题）如图，点E是aABC的内心，AE的延长线和aABC的外接圆相交于点。，与8C相交于点G,则下列结论：①N3AQ=NC4£＞；②若Zfl4c=60。，则N8EC=120。；③若点G为8c的中点，则NBGa=90。；@BD=DE.其中一定正确的个数是(DA.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】根据点E是aABC的内心，可得NBA£>=NCA£>,故①正确；连接8E,CE,可得NA8C+NAC8=2(NCBE+NBCE),从而得到NC8E+NBCE=60。，进而得到N8EC=120。，故②正确：ZBAD=ZCAD,得出BD=CD'再由点G为8c的中点，则NBGE>=90°成立，故③正确；根据点E是aA8C的内心和三角形的外角的性质，可得NBE£>=g(NB4C+NA8C),再由圆周角定理可得NQBE=；(NBAC+NABC),从而得到NDBE=NBED,故④正确；即可求解.【详解】解：：点E是L.ABC的内心，ZBAD=ZCAD,故①正确；如图，连接8£,CE,:点E是aABC的内心，/.ZABC=2ZCBE,NACB=2NBCE,：.ZABC+ZACB=2(ZCBf+ZBC£),VZB4C=60°,/.ZABC+ZACB=120",AZCBE+ZBCf=60°,.,.ZBEC=120°,故②正确：丁点E是a4BC的内心，ZBAD=ZCAD,:.BD=CD，•.•点G为BC的中点，...线段AD经过圆心。，；.N8G£>=90。成立，故③正确;•点E是aABC的内心，，NBA。=NCA。=-NBAC,NABE=NCBE=-ZABC,2 2VZBED=ZBAD+ZABE,：.ZBED=-（ZBAC+ZABC）,,/ZCBD=/CAD,AZDBE=NCBE+NCBD=ZCBE+ZCAD,：.Z.DBE=（ZBAC+ZABC）,：.ZDBE=ZBED,：.BD=DE,故④正确；...正确的有4个.故选：D【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键.（2022・湖南株源中考真题）如图所示，等边aABC的顶点A在。。上，边A8、AC与。。分别交于点。、E,点尸是劣弧OE上一点，且与。、E不重合，连接。尸、EF,则NDFE的度数为（ ）A.115° B.118° C.120° D.125°【答案】C【分析】根据等边三角形的性质可得NA=60。，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案.【详解】解：•••△ABC是等边三角形，，ZA=60。，/.ADFE=180°-ZA=120°,故选C.【点睛】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.（2022•甘肃武威•中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家"，如图1,蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如图2,一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF,若对角线的长约为8mm,则正六边形48C。所的边长为（）图1A.2mm B.25/2mm C.26mm D.4mm【答案】D【分析】如图，连接CF与AD交于点0,易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=TaD，即可得到答案•【详解】连接CF与AD交于点0,■：ABCDEF为正六边形，3600 1AZCOD= =60°,CO=DO,A0=D0=-AD=4mmt6 2.二△COD为等边三角形，.,.CD=CO=DO=4mm,即正六边形ABC。所的边长为4mm,故选：D.【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键.（2022•湖南邵阳•中考真题）如图，。。是等边△ABC的外接圆，若48二3,则。。的半径是（ ）D.【答案】C【分析】作直径A。，连接8,如图，利用等边三角形的性质得到/8=60。，关键圆周角定理得到NACD=90。,ZD=Z8=60%然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解.【详解】解：作直径AD,连接CD,如图，:△A8c为等边三角形，.•./8=60。，：AD为直径，ZACD=90",；/。=/8=60°,则NDAC=30°,：.CD=-AD,2,:AWCU+AC?,即A8=（；AD）2+32,；.AD=2石，：.OA=OB=^AD=j3.故选：C.【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系.（2022・四川眉山•中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿小,户8分别相切于点A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若NOAB=28°,则Z4/>8的度数为（ ）A.28° B.50° C.56° D.62°【答案】C

【分析】连。8,由八。=。8得，ZOAB=ZOBA=28°,NAO8=18（T-2NOA8=124。；因为力、P8分别相切于点A、B,则NOAP=/O8P=90。，利用四边形内角和即可求出NAP8.【详解】连接。8,\"OA=OB,\"OA=OB,：.ZOAB=ZOBA=28",：.Z4OB=124°,VPA,PB切。。于A、B,J.OAA.PA,OPA.AB,：.ZOAP+ZOBP=180",：.ZAPB+ZAOB=180"；：.ZAPB=S6".故选：C【点睛】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题.（2022•浙江湖州•中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在6x6的正方形网格图形A8CD中，M,N分别是A8,8c上的格点，8M=4,BN=2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM,PN,则所有满足NMPN=45。的中，边PM的长的最大值是（）B.6B.6【答案】C【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点。为圆心，NMON=90。的圆,则点P在所作的圆上，观察圆。所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出.【详解】作线段MN中点Q,作MN的垂直平分线0Q,并使。Q=gM/V,以。为圆心，OM为半径作圆，如图，因为。Q为/WN垂直平分线且OQ=gMN,所以OQ=MQ=NQ,：.ZOMQ=ZONQ=45°,：.ZMON=90",所以弦MN所对的圆。的圆周角为45。，所以点P在圆。上，PM为圆。的弦，通过图像可知，当点P在P位置时，恰好过格点11.PM经过圆心0,所以此时。M最大，等于圆。的直径，：8M=4,8N=2,MN-V22+42=2-75>/.MQ=OQ=V5,/.0M=-J1MQ=及x石=屈，.*•P'M=2OM=2V10，故选C.【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键.（2022•四川遂宁•中考真题）如图，圆锥底面圆半径为7cm,高为24cm,则它侧面展开图的面积是（ ）

【答案】CC.1【答案】CC.17571cm2D.35O?tcm2【分析】先利用勾股定理计算出AC=25cm,由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积.【详解】解：在心/MOO。，AC=V72+242=25cm,,它侧面展开图的面枳是gx2;rx7x25=175万cm2.故选：c【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键.(2022・陕西・中考真题)如图，aABC内接于G)O,NC=46。，连接Q4,则N0A8=( )A.44°BA.44°B.45°C.54°D.67°【答案】A【分析】连接。8,由2NC=NAO8,求出NAO8,再根据OA=O8即可求出/OA8.【详解】连接。8,如图，

,:ZC=46°,，Z4OB=2ZC=92°,，Z04B+Z08>4=180°-92°=88°,V04=08,：.Z0AB=Z0BAt：.Z0AB=Z0BA=yx88°=44°,故选：A.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出N4O8=2NC=92。是解答本题的关键.（2022•浙江宁波•中考真题）已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为6cm,则圆锥的侧面积为（ ）A.36兀cm? B.247tcm: C.167rcm2 D.127tcm2【答案】B【分析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：S何=乃〃；【详解】==尸,4•6=24icm2,故选B.【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可.（2022•甘肃武威•中考真题）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，半径。4=90m,圆心角4OB=80°,则这段弯路（4B）的长度为（）A.20mnBA.20mnB.30〃mC.40〃rnD.5(hrm【答案】C【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（AB）的长度.【详解】解：•半径OA=90m,圆心角NAO8=80。，

・•・这段弯路・•・这段弯路（A3）的长度为:80^x90180=407r(m),故选cIh'j］本题考杳了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式/=黑.（2022•浙江温州•中考真题）如图，AB,4c是。。的两条弦，O£）_LAB于点D,OELAC于点E,连结。8,OC.若N£）OE=130。，则N8OC的度数为（ ）A.950 B.1000 C.1050 D.130°【答案】B【分析】根据四边形的内角和等于360。计算可得N8AC=50。，再根据圆周角定理得到N8OC=2N8AC,进而可以得到答案.【详解】解：'：OD1AB,OE1AC,：.ZADO=90",ZAEO=90°,VZDOf=130",/.ZB4C=360o-90o-900-130,,=50o,：.ZBOC=2ZBAC=WO°,故选：B.【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.（2022•山东泰安•中考真题）如图，点/为的aABC内心，连接/V并延长交aABC的外接圆于点D,点E为弦AC的中点，连接CD,EI,1C,当A/=28,/C=6,"）=5时，/E的长为（ ）【答案】c【分析】延长ID到M,使DM=/D,连接CM.想办法求出CM,证明IE是△ACM的中位线即可解决问题.【详解】解：延长/。到M,使DM=/D,连接CM.:/是8c的内心，：.ZIAC=ZIAB,Z/G4=ZICB,"：ZDIC=ZIAC+ZICA,ZDCI=ZBCD+ZICB,：.ZDIC=ZDCI,：.DI=DC=DM,：.ZICM=90°,-IC-=8,'：AI=2CD^10,：.AI=IM,\'AE=EC,二任是的中位线，：.IE=^CM=4,故选：C.【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理,直角三角形的判定,勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题.（2022•浙江丽水・中考真题）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图.已知矩形的宽为2m,高为2AAm,则改建后门洞的圆弧长是（）5n 8兀 _lOn /5兀，八A.—m B.—m C.-^-m D.I—+2Im【答案】C【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径8C,再利用矩形的性质证得ACOD是等边•:角形，得到ZCOD=60°,进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为360°-60°=300°,利用弧长公式即可求解.【详解】如图，连接AD,BC,交于。点，,:ZBDC=90。,二BC是直径，•••BC=>JCD2+BD2=卜+(29-=4,•.•四边形A8DC是矩形，：.OC=OD=-BC=2,2CD=2,:.OC=OD=CD,二AC。。是等边三角形，:.NCOD=60°,门洞的圆弧所刻的圆心角为360。-60。=300°,改建后门洞的圆弧长是3°°"*J__300。乃x；x4_I。,_ _7C180° 180° 3故选：C【点睛】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关

键.（2022・四川成都・中考真题）如图，正六边形ABCDEV内接于。。，若。。的周长等于6万，则正六边形的边长为（）B.R【答案】C【分析】连接。B,OC,由。。的周长等于6m可得。。的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案.【详解】解：连接08,0C,二。。的周长等于6n,二。。的半径为：3,vzeoc=-x360°=60°,6...△O8C是等边三角形，，8C=OB=3,二它的内接正六边形A8CDEF的边长为3,故选：C.【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.（2022•四川凉山•中考真题）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，己知扇形的圆心角N8AC=90。，则扇形部件的面积为（）

2 4 8 16【答案】C【分析】连接BC,先根据圆周角定理可得8C是。。的宜径，从而可得m=1米,再解直角三角形可得4B=4C=也米，然后利用扇形的面积公式即可得.2【详解】解：如图，连接8C,vZA4C=90°..•.8。是。0的直径，，8。=1米,又•.•AB=4C,.•.ZABC=ZACB=45°,AB=AC=BC•sinZABC=—（米）,2则扇形部件的面积为3601

=-n8则扇形部件的面积为3601

=-n8（米2）,故选：C.【点睛】本题考查了圆周角定理、解宜角三角形、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆周角定理和扇形的面积公式是解题关键.二.填空题（2022•江苏宿迁•中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，48=6,点M在边AF上，且AM=2.若经过点M的直线/将正六边形面积平分，则直线/被正六边形所截的线段长是.A/CD【答案】4百【分析】如图，连接AD,CF,交于点。，作直线M。交CD于"，过。作。P_LAF于P,由正六边形是轴对称图形可得：S四边形ABCO-S四边形dew，由正K边形是中心对称图形可得：Svaom=Svdoh，SvmOF=SvcHO,OM=OH,可得出线MH平分正六边形的面积，0为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案.【详解】解：如图，连接AD,CF,交于点。，作直线M。交CDfH,过。作。P_LAF于P,山正六边形是轴对称图形可得：S叫边物18co=S四边彩OENO，由正六边形是中心对称图形可得：Svaom=Svdoh,SvmoF=SycHO,OM=OH,...直线MH平分正六边形的面积，。为正六边形的中心，由正六边形的性质可得：aAO尸为等边三角形，?AFO60?,而48=6,\AB=AF=OF=OA=6,AP=FP=3,\OP76-W=3区QAM=2,则MP=1,\OM='12+（36）2=2币,\MH=2OM=45/7.故答案为：45.【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握"正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形"是解本题的

关键.（2022•湖南衡阳•中考真题）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120。，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了cm.（结果保留万）【答案】4万【分析】利用题意得到市:物上升的高度为定滑轮中120。所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可.【详解】解：根据题意，重物的高度为120x4x6. =4%(cm).180故答案为：47.H-7TtR【点睛】本题考查了弧长公式：/=徐/（弧长为/,圆心角度数为"，圆的半径为R）.180（2022•浙江杭州•中考真题）如图是以点。为圆心，A3为直径的圆形纸片，点C在（3。匕将该圆形纸片沿直线C。对折，点8落在。。上的点。处（不与点A重合），连接C8,CD,AD.设CD与直径A8交于点E.若AD=ED,则点E.若AD=ED,则N8=【答案】【分析】由等腰三角形的性质得出NDAE=NDEA,证出N8EC=NBCE,由折叠的性质得出NECO=/8C。，设【分析】NECO=NOCB=NB=x,证出N8CE=NECO+/8co=2x,ZCEB=2x,由三角形内角和定理可得出答案；证明△CE。CFRF R1s/^BEC,由相似三角形的,1HM=丁，设EO=x,EC=0C=08=a,得出a2=x(x+a),求出OE=^^a,EOCE 2证明ABC£sAD4E,由相似三角形的性质得出器=生，则可得出答案.ADAE【详解】解：•・ND=DE,：.ZDAE=ZDEA,•:NDEA=/BEC,/DAE=/8CE,工NBEC=/BCE,:将该圆形纸片沿直线8对折,:・/ECO=/BCO,又・：OB=OC,：.ZOCB=ZBf设NEC0=N0C8=N8=x,.・・ZBCE=ZECO+ZBC0=2x,：.NCE8=2x,「ZBEC+ZBCE+ZB=180°,Ax+2x+2x=180°,Ax=36°,.\ZB=36°;■:NECO=NB,NCEO;NCEB,・・・△CEOs△bec,.CEBE''EO~~CE：.CE2=EO^BE,设EO=xfEC=OC=OB=af/.a2=x(x+a),解得，x二避二1q(负值舍去),2•nr>/5-1..OE= at2«浦匚c/ic匚 a/5—1 3—a/5..AE=OA-OE-a- a- a,VZAED=ZBEC,NDAE=NBCE,TOC\o"1-5"\h\z:ABCEsADAE, ,ADAEBC_a3+逐 r-•■-AD-3->/5~~2~-故答案为：36,士也. a 22【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.（2022•浙江湖州•中考真题）如图，已知A8是。。的弦，ZAOB=120",OCJ.AB,垂足为C,OC的延长线交。。于点D.若NAPD是AO所对的圆周角，则NAPD的度数是D【答案】30°##30度【分析】根据垂径定理得出NAO8=N8。。，进而求出ZAOD=60"，再根据圆周角定理可得NAPD=gNAOD=30。.【详解】：OCLA8,OD为直径，BD-AD-：.ZAOB=ZBOD,,/Z4OB=120°,，Z4OD=60",：.ZAPD=^ZAOD=30",故答案为：30°.【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键.（2022•云南•中考真题）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm,底面圆的半径为10cm,这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是.【答案】120°【分析】设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为。，驾=2xttx10,进行解答即可得.1OV【详解】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为“°,迎U=2xnxl0 n=120°故答案为：120°.【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，解题的关键是掌握扇形的弧长公式.（2022•浙江宁波•中考真题）如图，在AA8C中，AC=2,8c=4,点。在8c上，以。B为半径的圆与AC相切于点A,D是8c边上的动点，当AACD为直角三角形时，AD的长为.【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可.【详解】解：连接OA,①当D点与。点重合时，/CAO为90。，设圆的半径=r,，OA=r,OC=4-r,TOC\o"1-5"\h\z3 3V4C=4,在At△八OC中，根据勾股定理可得：/+4=（4-r）2,解得：r=；,BRAD=AO=^t②当NADC=90。时，过点4作4DJ_BC于点D,1 .AOAC.. 3 5 . 6•一4＞心一。。4。，・・4。= ,.4。二一，AC=2,OC=4-r=-,：.AD=-,2 OC 2 2 5综上所述，AD的长为3或9,故答案为：|■或g.2 5 2 5【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键.（2022・四川自贡・中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦A8长20厘米,弓形高CQ为2厘米，则镜面半径为厘米.

C BC B【答案】26【分析】令圆。的半径为。B=r,则。C=r-2,根据勾股定理求出。C2+8C2=O82,进而求出半径.【详解】解：如图，由题意，得。。垂直平分A8,，8C=10厘米，令圆。的半径为。8=r，则。C=r-2,在RtZk8OC中。C2+8C2=O82,二62）2+1。2=巴解得片26.故答案为：26.00【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键.（2022•浙江温州•中考真题）若扇形的圆心角为120。，半径为则它的弧长为.【答案】n【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长.【详解】解：•••扇形的圆心角为120。，半径为3，3二它的弧长为：12。”、万-ZT,180故答案为：71【点睛】本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式/=怒.1oO（2022•新强•中考真题）如图，。。的半径为2,点A,B,C都在。。上，若NB=30。.则AC的长为（结果用含有兀的式子表示）2【答案】一九3I分析】利用同瓠所对的圆心角是四周角的2倍得到ZAOC=60°，再利用弧长公式求解即可.【详解】vZAOC=2ZB,NB=30°，/.ZAOC=60°，・・・oo的半径为2,••.ac=S史二=2万，故答案为：二万.180 3 3H7rr【点睛】本题考查了圆周由定理和弧长公式，即/=—,熟练掌握知识点是解题的关键.180（2022•四川泸州•中考真题）如图，在RtZVIBC中，ZC=9O°,AC=6,8c=2石，半径为1的。。在8△ABC内平移可以与该三角形的边相切），则点A到。。上的点的距离的最大值为.【答案】2币+1【分析】设直线人。交O。于M点（M在。点右边），当O。与人8、8c相切时，AM即为点A到。。上的点的最大距离.【详解】设匕线A。交。。于M点（M在。点右边），则点A到。。上的点的距离的最大值为AM的长度当。。与A8、8c相切时，AM最长设切点分别为。、F,连接。8,如图VZC=90°,AC=6,BC=2y/3ACl ；•tanB=钎=j3,AB=>IaC2+BC2=473，ZB=60°Voo与A8、8c相切/.ZOBD=-ZB=30°2OO的半径为1OD=OM=1：.BD=y/3OD=s/3/.AD=AB-DB=3>j3•••OA=JAD2+OD2=7（3>/3）2+l2=2不：.AM=OA+OM=277+1，点A到G）O上的点的距离的最大值为2"+1.【点睛】本题考查切线的性质、特殊角度三角函数值、勾股定理，解题的关键是确定点A到。O上的点的最大距离的图形.（2022•浙江嘉兴•中考真题）如图，在廓形AOB中，点C,D在ab上，将CO沿弦C£>折叠后恰好与OA,。8相切于点E,F.已知4408=120°,04=6,则/的度数为；折痕8的长为.O FB【答案】60。##60度4>/6【分析】根据对称性作。关于CD的对称点则点。、£、F、8都在以M为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可.［详解】作。关于CD的对称点M,则0N=MN连接MD.ME,MF,MO,M0交CD于N:将CD沿弦CD折叠...点D、E、F、8都在以M为圆心，半径为6的圆上•••将CO沿弦CQ折叠后恰好与。8相切于点E,F.：.ME±OA,MF1OB：.NMEO=ZMFO=90°•/ZAOB=120°四边形MEOF中ZEMF=360°-ZAOB-ZMEO-ZMFO=60°即)的度数为60。；ZMEO=ZMFO=90°,ME=MFuMEO=^MFO(HL)NEMO=NFMO=-NFME=30°2，OM=———=―--=4GcosZ.EMOcos30°MN='：MO±DC：.DN=-JDM--MN2=而_(26丫=2卡=gCO/.CD=4>/6故答案为：60°；4底【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键.三.解答题（2022•四川成都・中考真题）如图，在RtZXABC中，ZACB=9O°,以8C为直径作。。，交48边于点在CC上取一点E,使BE=CC，连接OE，作射线CE交AB边于点尸.4⑴求证：NA=NAB；⑵若AC=8,cosZACF=-,求8尸及OE的长.【答案】(1)见解析(2)8F=5,DE=—【分析】(1)根据RtZ\ABC中，Z4CB=90°,得至Ij/A+N8=/Z»CF+/8CF=9O°,根据BE=C£>，得到N8=NBCF,推出/A=NACF；(2)根据N8=N8CF,ZA=ZACF,得至ljAF=CF,8F=CF,推出AF=8F=；AB, cosZACF=cosA=-=-,2 AB5 BC3AC=S,得到A8=10,得到8F=5,根据BC=J/B?-AC?=6,得到sinA=-===,连接8,根据8c是。。AB5的直径，得到N8DC=90。，推出/8+/8CD=90°,推出NA=/8CD,得至ljsinNBC。=黑=],推出8£>=兽，dC5 57得至ljDF=BF-8£)=w,根据NFDE=N8CE,Ze=ZBCf,得至1J/FDE=/8,推出DE//BC,得到△FDEs^FBC,推出需处得到由H(1)解：・.・Rtz\ABC中，ZACB=90°,，NA+N8=NACF+N8CF=90°,,:BE=CD，・,.N8=N8CF,AZ4=Z4CF：(2)VZB=Z8CF,ZA=ZACF：.AF=CF9BF=CF,：.AF=BF=^AB,AC4cosZ.ACF=cosA==—,AC=8fAB5.*.48=10,/.BF=5,bc=>Jab2-ac2=6-...BC3・・sinA= =一,AB5连接C。，・・・8C是。。的直径,ZBDC=90°,AZB+ZBCD=90°,/./A=NBCD,..“八BD3..sinZ.BCD==—,BC5・・・BD=—,57,DF=BF-BD=-,5VZFDE=ZBCE,NB=N8CE,：.NFDE=N8,JDE//BC,.♦•△F0£s"8C,.DEDF♦・正一茄’【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质.（2022•山东滨州•中考真题）如图，已知为OO的直径，直线PA与相切于点4直线PD经过上的点8且NC8D=NC4B,连接OP交48于点M.求证：D⑴PD是59的切线；⑵4M2=om.PM【答案】⑴见解析(2)见解析【分析】(1)连接。8,由等边对等角及直径所对的圆周角等于90。即可证明；(2)根据直线雨与O。相切于点4得到NOAP=9()。，根据余角的性质得到NQ4M=NAPM,继而证明△04"〜aAPM,根据相似二角形的性质即可得到结论.⑴连接。8,•：OA=OB=OC,：.ZOAB=NOBA/OBC=NOCB,；AC为。。的直径，ZABC=NOBA+NOBC,NCBD=NCAB,：.NOBA=NCBD,：./CBD+NOBC=90。=NOBD,•••PD是。。的切线：(2)1•直线P4与。。相切于点A,：.ZOAP^90°,；PD是。。的切线，ZAMO=ZAMP=ZOAP=90°,：.ZOAM+ZPAM=ZPAM+ZAPM=90°,：.ZOAM=ZAPM,:.^OAM~aAPM..AMOMPM~AM'am2=ompm.【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.(2022•四川泸州•中考真题)如图，点C在以AB为直径的上，C。平分ZACB交于点。，交AB于点E,过点。作O。的切线交CO的延长线于点F.⑴求证：FD//AB;⑵若4c=2石，BC=布,求尸。的长.【答窠】(1)见解析(2)?O【分析】(1)连接。。，由8平分NAC8,可知= ，得4»。。=/8。。=90°,由DF是切线可知/0。尸=90。=ZAOD,可证结论;(2)过C作CMJ_A8于M,已求出CM、BM、OM的值，再证明△D0Fs/\MC0,得色•=?”，代入可ODFD求.⑴证明：连接。。，如图,平分NAC8,・・AD-BD»:./400=N80D=90。，•・・DF是。。的切线，・'・NODF=90°：.ZODF=ZBOD1J.DF//AB.(2)解：过C作CMJ_A8于M,如图,TAB是直径,:.Z4CB=90°,・•・AB=VaC2+BC2=J(2右)2+(6)2=5.TOC\o"1-5"\h\zA-AB.CM=-AC-BC,2 2即,？5・CM，仓必班后,2 2ACM=2,,BMNBC?-CM?=J(@2_22=1，1 3/.0M=0B-BM=-251=-,2 2•:DF〃AB,：.ZOFD=ZCOM,又〈NODF=NCMO=90%/.△DOF^AMCO,.CMOM^^D~~FDf3即!■二二5FD2【点睛】本题考查了圆的圆心角、弦、弧关系定理、圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质,勾股定理，解题的关键是熟练掌握这吟定理，灵活运用相似三角形的性质求解.35.（2022・四川南充•中考真题）如图，AB为O。的直径，点C是。。上一点，点。是OO外一点，NBCD=ZBAC,连接0。交BC于点E.C4⑴求证：。。是O。的切线.（2）若CE=OAsinNBAC=《，求tanNCEO的值.【答案】⑴见解析；（2）3【分析】（1）连接0C,根据圆周角定理得到NACB二90。，根据060C推出N8CD=N4C。，即可得到N8C0+ZOC8=90°,由此得到结论；（2）过点。作OF_L8c于F,设BC=4x,则八8=5x,O4=CE=2.5x,BE=1.5xt勾股定理求出AC,根据。l〃AC,得到竺="=1，证得OF为△48C的中位线，求出OF及EF,即可求出tan/CEO的值.・・・N4C8=90°,Z4CO+ZOCB=90°,OA=OCf:.ZA=ZACOtV/BCD=/BAC,：.ZBCD=ZACO,ZBCD+ZOCB=90°,/.OC±CD,

是oo的切线.⑵解：过点。作OFJ_8C于F,4VCE=OAsinZBAC=-,•・设8c=4x,则48=5x,O4=Cf=2.5x,:.BE=BC-CE=1.5x,ZC=90",•,4c=yjAB2—BC2=3x，04=08,OF//AC,.BFOB,・ = =1，CFOA：.CF=BF=2xfEF=CE-CF=0.5x,・・0F为△A8C的中位线，0F=-AC=\.5xf2“cOF1.5xc..tan/CEO= = =3.【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键.36.（2022•江苏扬州•中考真题）如图，AB为O。的弦，OC_L04交4B于点P,交过点B的直线于点C,SlCB=CP.,。4=8,求C8的长.⑴试判断直线BC与的位置关系，并说明理由：,。4=8,求C8的长.【答案】(1)相切，证明见详解(2)6【分析】(1)连接。8,根据等腰三角形的性质得出NA=NOB4,NCPB=NCBP,从而求出ZAOC=ZOBC=90°,再根据切线的判定得出结论；(2)分别作交A8于点M,ONLAB交AB于N,根据sinA=@,0A=8求出。P,AP的长，利5用垂径定理求出A8的长，进而求出8P的长，然后在等腰三角形CP8中求解C8即可.⑴证明：连接。8,如图所示：.CP=CB,OA=OB.ZA=NOBA,NCPB=NCBP.ZAPO=ZCPB,：.ZAPO=NCBP,QOCA.OA,即/AOP=90。，/.ZA+ZAPO=90°=NOBA+4cBp=NOBC,OBVBC,QOB为半径，经过点。，・・・直线8c与OO的位置关系是相切.⑵分别作。交AB于点M,ON_LA8交AB于N,如图所示:

:.AM=BM，•:CP=CB,AO±CO,:.ZA+ZAPO=4PCN+4CPN、PN=BN,/PCN=4BCN:./A=/PCN=4BCNOMOP正,OA~AP~'5'85/5 ... ，AM=5包OP=4,5：.sinA=AP=4y/5,・•.OM=PN=BN=gpB= AP)=-:.sinA=sinZ.BCN= =—，CB5:.CB=&N=&-=6.【点睛】本题考查了切线的证明，垂径定理的性质，等腰三角形，勾股定理，三角函数等知识点，熟练学握相关知识并灵活应用是解决此题的关键，抓住直角三角形边的关系求解线段长度是解题的主线思路.（2022•江苏宿迁•中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点，点A、8、C,。、”均为格点.【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段48、CD,相交于点尸并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E,构建两个直角三角形，分别是8c和ACDE.在RtAABC中，tanZBAC=~在Rt^CDE中，，所以tanZBAC=tanZDCE.所以NBAC=NOCE.因为NACP+ZDCE=ZACB=90°,所以NACP+ZBAC=90°,所以NAPC=90°,即AB-LCD.

图。(1)【拓展应用】如图②是以格点。为圆心，A8为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明：⑵【拓展应用】如图③是以格点。为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P.使AA/2=APAB,写出作法，不用证明.【答案】(1)tanNOCE=g：见解析(2)见解析【分析】(1)取8M的中点Q,作射线。QaBM「/1P，点P即为所求作，利用全等三角形的判定和性质证得府。=8。，再利用等腰三角形的性质即可证明；(2)取格点/,连接M/交AB于点P,点P即为所求作.利用正切函数证得/FM/=/M/VA,利用圆周角定理证得N8=NMM4,再推出△力Ms/\MA8,即可证明结论.⑴解：【操作探究】在网格中取格点E,构建两个宜角三角形，分别是AA8C和ACDE.6：Rt^ABC't1,tanABAC在RtACDE中，tanZDCE=-2所以tanZBAC=tan/DCE.所以NBAC=NOCE.因为NACP+ZDCE=ZACB=90°,所以NACP+ZBAC=90°,所以NAPC=90°,即ABLCD.故答案为：tanNOCE=g；取8M的中点Q,作射线OQ交BM于点P，点P即为所求作:证明：^EaOGM>K1aOHBOG=OH=1,ZOGM=ZOHB=90a,MG=BH=3,...△OGM—OH8,：.MO=BO,•.•点Q是8M的中点，；.OQ平分NM08,即/P0M=NP08,PM=AM-图②(2)解：取格点/,连接M/交A8于点P,点P即为所求作:证明：作直径AN,连接8M、MN,在R3FMI中，tanNFMI=-,在RSMNA中，tan/MNA=-,所以tan/FA〃=tan/MV4.NFMI=/MNA,■:/B=/MNA,・・・N4MP=/8,*：ZPAM=ZMAB,：.^PAM^^MABt.PAAM'AM~AB图。【点睛】本题考查作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.（2022・四川乐山・中考真题）如图，线段AC为。。的直径，点D、E在。。上，CD=DE，过点D作DF1AC,垂足为点F.连结CE交DF于点G.⑴求证：CG=DG；3（2）已知。。的半径为6,sinZACE=-,延长AC至点8,使BC=4.求证：BD是。。的切线.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）连接AD,得至IJ/ADF+/FDC=90°,由DF_LAC,得至Ij/ADF+/OAF=90°,应由CO=OE，可推出/DCE=NFDC,即可证明CG=DG；（2）要证明8D是。。的切线，只要证明ODL8。，只要证明8D〃CE,通过计算求得sin/8=1,即可证明结论.⑴证明：连接AD，YAC为。。的直径，AZ4DC=90°,则NADF+NFDC=90。,VDF14C,/.Z4FD=90°,则N4DF+/O4F=90°,・•・NFDC=NDAF,VCD=DE^・•・/℃£=ND4C,・・・NDCE=/FDC,：.CG=DG；・・・OD_L£C,*/DF.LACf：./ODF=/OCH=/ACE,3VsinZACE=",5sinZODF=sinZOCH=—,BP ,5ODOC5:.0F=—,524由勾股定理得。仁三，12FC=OC-OF=-132/.FB=FC+BC=—,540由勾股定理得。8=7r=8,5

- JBDS：.ZB=ZACE,J.BD//CE,'：OD±EC,：.ODLBD,VOD是半径，.•.8D是。。的切线.【点睛】本题考查了切线的判定、解宜角三角形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键.（2022•天津♦中考真题）已知A8为OO的直径，A8=6,C为。O上一点，连接CA,C8.⑴如图①，若C为A8的中点，求NOW的大小和AC的长；（2）如图②，若AC=2,0。为O。的半径，且ODLCB,垂足为E,过点。作的切线，与AC的延长线相交于点F,求产£＞的长.【答案】⑴NC4B=45。，AC=3&⑵尸。=2五【分析】（1）由圆周角定理得NACB=90。，由C为ab的中点，得AC=BC，从而AC=BC,即可求得NOW的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度：（2）证明四边形ECED为矩形，FD=CE=jCB,由勾股定理求得8c的长，即可得出答案.（1）VAB为。。的直径，ZACfi=90°,由C为ab的中点，得4c=BC，AAC=BC,得ZABC=NC48,在R/aABC中，ZABC+ZCAB=90°,：.NC4B=45°；根据勾股定理，有AC2+8C2=AB\又A5=6,得2AC?=36，AC=3历（2）；F£）是O。的切线，/.OD1.FD,即NOD尸=90°,'：ODLCB,垂足为E,:.ZCED=90°,CE=-CB,2同（1）可得NACB=90°,有NFCE=90。，ZFCE=NCED=Z.ODF=90°,...四边形ECED为矩形，/.FD=CE,于是=在R/aABC中，由A8=6,4C=2,得CB=《AB2-AC^2=4&，/•FD=25/2.【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题.（2022•江苏宿迁•中考真题）如图，在aABC中，ZABC=45。，AB^AC,以48为直径的。。与边8c交于点D.⑴判断直线AC与。。的位置关系，并说明理由：（2）若AB=4,求图中阴影部分的面积.【答案】⑴证明见解析（2）6-%【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明AB，AC从而可得结论；（2）如图，记8c与O。的交点为M,连接。M,先证明？AOM22ABe90?,?BOM90?,再利用阴影部分的面枳等于三角形A8c的面积减去三角形BOM的面枳，减去扇形40M的面积即可.⑴证明：・・・ZABC=45%AB=AC,\?ACB?ABC45?,/.ZB4C=90°,即8”AC,A在QO上,二.AC为G)O的切线.(2)如图，记8c与(DO的交点为M,连接。M,vZABC=45°,\1AOMZ!ABC90?,?BOM90?,QAB=4,OA-2,\S'ABC=；ABgAC=；仓也4=8,Svbom=g仓必2=2,【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握"切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键.（2022•浙江湖州•中考真题）如图，已知在8c中，ZC=90°,。是A8边上一点，以BD为直径的半圆。与边AC相切，切点为E,过点。作Ok_L8C,垂足为F.⑴求证：。尸二衣：⑵若人二？。。，BD=2,求AD的长.【答案】（1）见解析（2）1

即可.,AC切半圆。于点E0E1AC,四边形OFCE是矩形0E1.AC,辅助线并灵活运用相关性质是解题关键,ABC中CE分别是ZA8c与NBC4即可.,AC切半圆。于点E0E1AC,四边形OFCE是矩形0E1.AC,辅助线并灵活运用相关性质是解题关键,ABC中CE分别是ZA8c与NBC4的平分线①若ZA再由直角三角形中"30。角所对的直角边是斜边的【分析"1）连接OE,根据已知条件和切线的性质证明四边形OFCE是矩形，再根据矩形的性质证明OF（2022•山东泰安•中考真题）问题探究【点睛】本题主要考查J'切线的性质、矩形的判定与性质以及含30。角的直角三角形性质等知识，正确作出如图，连接。E,OFLBC,ZC的性质，可推导AO=2OE=2,最后由A£>=AO-Z）Oi|尊AD的长即可②将①中的条件"AB=AC"去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由根据题意:，结合（1）可知OE迁移运用（2）若四边形A8C£＞是圆的内接四边形，且NAC8=2/48,ZCAD=2ZCAB,如图，试探究线段AO,BC,AC之间的等量关系，并证明.【答案】（1）①见解析；②结论成立，见解析；（2）AC=AD+BC,见解析【分析】（1）①证明aABC是等边三角形，得出E、。为中点，从而证明BC=CO+8E；②在BC上截取8G=BE,根据角平分线的性质，证明/且△GBF,ADFC^AGFC,从而得到答案;（2）作点8关于AC的对称点E,证明N2+N3=60°,从而得到NM=60。，再根据AE、OC分别是NAMC、"CA的角平分线，得到AC=AO+BC.【详解】（1）①•Z=60。，AB=AC,：.AB=AC^BC.又QBD、CE分别是NA8C、NBC4的平分线.•••点D、E'分别是AC、4B的中点.1 1 1 1;.BE=-AB=-BC,CD=-AC=-BC.2 2 2 2・•.BC=BE+CD.②结论成立，理由如下:6；6；5设BO与CE交于点F,由条件，得N1=N2,Z3=Z4.又NA=60。..z64BC+ZBC4=120°.Zl+Z3=-(ZABC+NBCA)=60°..-.ZBFC=120°.AZ5=Z6=60°.在8c上截取8G=BE.^•：BF=BF,：.AEBF"AGBF..-.Z7=Z6=60°.♦.N8=60。..-.Z8=Z5.又,：CF=CF,：.△DFC^AGFC.:,DC=GC：.BC=BG+GC=BE+CD.AC=AD+BC,理由如下:・・四边形A8CO是圆内接四边形,/DAB+4BCD=180°.ZACB=2ZACD,ZCAD=2ZCAB：.ZZMC=2Z1,ZBG4=2Z2,3N1+3/2=180°.・・Zl+Z2=60°.作点8关于AC的对称点E,连结CE,E4,CE的延长线与AO的延长线交于点M,AE与C。交于点打AZ1=Z3,BC=CE.JZ2+Z3=60°./.2N2+2N3=120。♦.ZMAC+ZMCA=\20°ZAf=60°'：AE.DC分别是NM4C、NMC4的角平分线由②得AC=AO+BC.【点睛】本题考查三角形、等边三角形、全等三角形、圆的内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形、等边三角形、全等三角形、圆的内接四边形的相关知识.43.(2022•云南•中考真题)如图，四边形48CD的外接圆是以8。为直径的。。，P是。。的劣狐8c上的任意一点，连接力、PC、PD,延长8c至£,使8。2二808£.⑴请判断直线DE与。。的位置关系，并证明你的结论;P4-4-PC(2)若四边形A8CD是正方形，连接AC,当P与C重合时，或当P与B重合时，把葭转化为正方形ABCDpAj_PCi—的有关线段长的比，可得if=&是否成立?请证明你的结论.【答案】(1)DE是。。的切线，证明见解析；(2)成立，证明见解析【分析】(1)ilEBJjABDC^ABFD,推出N8CD=N8DE=90。，即可证明DE是。。的切线；(2)延长小至Q,使AQ=CP,则%+PC=%+AQ=PQ,证明AQAD丝APaXSAS),再推出△PQ。是等腰直