2022年全国一卷新高考数学题型（含答案）圆锥曲线6抛物线(中档2多选)

2022年全国一卷新高考题型细分S1-3——圆锥曲线6小题抛物线（中档）1、试卷主要是2022年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计174套。2、题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。3、比较单一的题型按知识点、方法分类排版；综合题按难度分类排版，后面标注有该题目类型。圆锥曲线一抛物线——中档21.（多选，2022年湖南名校联盟J46）已知尸为抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线上，过点F的直线/与抛物线交于8,C两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M.则下列说法正确的是（①）JTA.NOM8的最大值为一4B.若点A（4,2）,则1PAi+|P耳的最小值为6C.无论过点F的直线/在什么位置，总有NOMB=NOMCD.若点C在抛物线准线上的射影为£>,则8、0、。三点共线（抛物线，中档；）2.（多选3,2022年河南益阳J37）在平面直角坐标系无中，若过抛物线V=4y的焦点的直线/与该抛物线有两个交点，记为4（%,乂）,8（天,必），则（②）A.yty2=1B.以A8为直径的圆与直线y=-2相切C.若|A8|=6,则y+%=4D.经过点A作AC_Lx轴，AC与OB的交点为E，则E的轨迹为直线（抛物线，直线，中档；）3.（多选4,2022年湖南永州J30）已知抛物线C:产=4x与圆/：（x-lp+尸=；,点p在抛物线C上，点。在圆尸上，点A（—l,0）,则（®）|PQ|的最小值为3NFPQ最大值为45C.当NPAQ最大时，四边形APFQ的面积为2+半D.若PQ的中点也在圆C上，则点P的纵坐标的取值范围为［-夜,（抛物线，圆，中档；）4.（多选3,2022年湖南衡阳八中J27）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C：V=2px（p>0）,O为坐标原点，一条平行于x轴的光线《从点4）射入，经过C上的点4反射后，再经C上另一点8反射后，沿直线4射出，经过点Q.下列说法正确的是（④）A.若。=4,则|A8|=8B.若p=2,贝lJ|A8|=8C.若p=2,则P8平分ZABQD.若P=4,延长A。交直线x=-2于点则M,B,。三点共线（抛物线，计算，易；计算，易；分析，中档；综合，中档；）5.（多选3,2022年湖南衡阳八中J28）已知抛物线y?=2px（p>0）的焦点为尸，过点尸的直线/交抛物线于AB两点，以线段AB为直径的圆交V轴于两点，设线段A8的中点为尸，则下列说法正确的是（®）A.若抛物线上的点E（2,r）到点尸的距离为4,则抛物线的方程为y?=4xB.以A8为直径的圆与准线相切C.线段A8长度的最小值是2PD.sinNPMN的取值范围为［；/）（抛物线，中档；）6.（多选4,2022年湖南长沙长郡中学J18）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,抛物线C上存在〃个27r点4，6,L,乙（〃22且〃eN*）满足=-= /匕=/月鹏=——，n则下列结论中正确的是（®）1 1c〃=2时，丽+西=2〃=3时，出目+㈤可+用可的最小值为911_1,〃=4时，麻丽?[+呼丽D.〃=4时，归尸|+|巴尸]+|《尸|+旧目的最小值为8（抛物线，中档；）.（多选4,2022年福建德化一中J37）已知直线/过抛物线C：V=-4y的焦点产，且直线/与抛物线。交于A,B两点，过A,8两点分别作抛物线。的切线，两切线交于点G,设A（x”力）,B（x„,%）,G（%,无）.则下列选项正确的是（⑦）3A.yA-yB=4 B.以线段A8为直径的圆与直线y=万相离C.当标=2而时，IA8|=5D.△GAB面积的取值范围为[4,+8）（抛物线，中档；）.（多选3,2022年福建集美中学J26）过抛物线。：尸=4x的焦点厂的直线/与C交于A,8两点，设A（x，y）、8（毛,%），已知M（3,-2）,N（-1,1）,则（®）A.若直线/垂直于x轴，则|AB|=4b.y]y2=~ . .现己知直线y=-1+/〃与抛物线£1: =2px（〃>0）交于A,8两点，且A为第一象限的点，E在c.若尸为c上的动点，则|尸训+|尸尸|的最小值为5D.若点N在以AB为直径的圆上，则直线/斜率为2（抛物线，直线，计算，易；中档；）.（多选4,2022年福建漳州J20）阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦A8所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角4形ABC的顶点C在抛物线上，且在过弦A8的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的一.3

4处的切线为/，线段AB的中点为。，直线DC//X轴所在的直线交E于点C,下列说法正确的是（®）A.若抛物线弓形面积为8,则其内接三角形面积为6B,切线/的方程为2x-2y+p=0C.若4"±4=5皿1c则弦AB对应的抛物线弓形面积大于A+4+…+Ai+：A,（〃22）D.若分别取4G8C的中点匕，匕，过匕，匕且垂直y轴的直线分别交E于G，C2,则SgCG+SaBCG=，S^BC（抛物线，中档；）1.（多选4,2022年广东潮州二模J07）已如斜率为4直线/经过抛物线y2=4x的焦点且与此抛物线交于A（x，y）, 两点，|明<8,直线/与抛物线y=f-4交于M,N两点，且M,N两点在y轴的两侧，现有下列四个命题，其中为真命题的是（®）.A.必必为定值 B.凶+必为定值%的取值范围为（yo,-1）d（1,4） D.存在实数十使得|MN|=J13/+13（抛物线，中档；）2.（多选4,2022年广东仿真J04）（5分）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线y2=2px（p>0）,弦AB过焦点尸，AA8Q为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（11）A.存在点Q,使得QCq2>0 B.AQAB=\AF\\AB\C.对于任意的点。，必有向量。X+Q不与向量1=（-1,0）共线A48。面积的最小值为p2（抛物线，中档；）3.（多选4,2022年广东韶关二模J06）已知抛物线C:y2=g的焦点为F,准线/处轴于点O,直线机过。且交C于不同的A,B两点，B在线段AO上，点尸为A在/上的射影.线段尸眩y轴于点E,下列命题正确的是（12）A.对于任意直线m,均有B.不存在直线加，满足BF=2EBC.对于任意直线m,直线AE与抛物线C相切D.存在直线机，使lA/q+IB/quZIOFI（抛物线，中档；）®【10题答案】【答案】ACD【解析】【分析】根据抛物线的性质，结合题意，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】根据题意，可得M（—1,0）,尸（1,0）,设C&,y）,8（孙％），且8点在工轴上方.对A：过点8作8H_Lx轴交x轴与点”，如下图所示：等号.7T故可得NOM8的最大值为了，当且仅当A8垂直于x轴时取得最大值，故A正确;4对B：根据题意，过点P作PN垂直于抛物线的准线，垂足为N,作图如下：因为|H4|+|P/g|H4|+|PN|,数形结合可知，当且仅当P与P重合，N与N'重合时,|EA|+|PF|取得最小值,此时附+附=4+1=5,故B错误；

对C对C：根据题意，作图如下:设过点厂（1,0）的直线方程为x=my+l,联立抛物线方程V=4x,可得:,2-4冲一4=0,故可得y+旷2=4m,y%=_4，故可得+^MC故可得+^MC=%上%_y, % r - r %+1x2+1myx+2my2+22m％+2(乂+%) n- 7 \ =U,myly2+2m(yl+y2)+4故可得NOMB=NOMC,故可得NOMB=NOMC,故C正确;因为，故可得。（一Ly）,又丽=（孙％），而=（T，X），wy+%=（冲2+i）y+%=阳①+%+%=~+4m=o,故丽，亚共线，且有公共点o,故8,0,。三点共线，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查直线与抛物线相交，利用韦达定理以及抛物线定义处理最值、共线等问题,处理问题的关键是充分利用抛物线定义和韦达定理，进行合理的转化，属综合中档题.®【答案】ACD【解析】【分析】由题，设直线/的方程为y=kx+\,进而与抛物线联立方程结合韦达定理得％%=1,判断A；再求弦长|/3|=4炉+4,进而得以A5为直径的圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系判断B；结合弦长公式求解判断C；根据AC方程与直线0B方程联立得以=-1,进而判断D.【详解】解：根据题意，抛物线的焦点为口（0,1）,直线/的斜率存在，设为女，所以直线/的方程为丁=履+1,fy=kx+1所以联立方程:2,得幺一46—4=0，[X2=4y所以△=16公+16，%+%=4攵,玉工2=-4，2 2/ 、2所以,必=十・"=（节J=1，y+%=Mx+W）+2=4公+2故A选项正确：所以，|46|=%+必+2=422+4,以A8为直径的圆的圆心坐标为（号■，岩卜（2W+1）,半径为二=粤=经尹=2^+2,所以圆心到直线y=-2的距离为2y+3>r=2公+2,故以A5为直径的圆与直线y=-2相离，故B选项错误；对于C选项，当|A5|=6时得X+%+2=6,即b+丫2=4,故C选项正确；对于D选项，经过点A作ACJ_x轴，则AC方程为x=x，直线08方程为旷=比工，再y=4 名故联立方程fx2得,=21内=/_芭=些=7,所以点E为E（W，T），即E的x=Xi /।X2।4轨迹为直线丁=一1,故正确.故选：ACD®【答案】ACD【解析】【分析】对于A,根据IPQI+IQE以尸尸|,结合抛物线的定义可判断A：IPMI对于B,设PM是圆尸的切线，切点为M，根据NFPQWNEPM，cosNFPM=---,Im可得NFPQ<NFPM=30,，由此可判断B；对于C,根据P,Q两点在x轴异侧，且AP与抛物线V=4x相切于p,AQ与圆尸相切于Q,可求出四边形APFQ的面积，由此可判断C；对于D,设P。的中点为N,PM是圆F的切线，切点为M,利用圆的切割线长定理得到1 1 3|PF|2—=2\NQ\2,再根据|NQ区2x-=l得到|「产区一，再根据抛物线的定义可求4 2 2出点尸的纵坐标的取值范围，由此可判断D.【详解】由y2=4x可知其焦点为圆尸的圆心厂(1,0),圆尸的半径为设？(%,%),则x0>0,对于A,因为|PQ|+|QbRPQ|+；日PF|=x0+121,所以|PQ色;，故A正确；对于B,设PM是圆尸的切线，切点为何，则NEPQWZFPM,cos阿二I==工，I"'冲14X41Ppl2因为|Pf|=%+1N1,所以cosNFPM=Jl-1 匚=立,所以V41PF|2V4x1 2NFPMW30°，所以NbPQWNFPM=30',即/CQ最大值为30°，故B不正确；对于C,如图：当P,Q两点在X轴异侧，且AP与抛物线y2=4x相切于p,AQ与圆F相切于。时，NPAQ取得最大值，

不妨设点P在第一象限，则点。在第四象限，设直线ap：y=k（x+1）（女＞0）,代入y2=4x,消去y并整理得kQ根据圆的切割线长定理可得|PM『=|PN|•|PQ|=2|NQQ根据圆的切割线长定理可得|PM『=|PN|•|PQ|=2|NQ「，又|PM尸用2_|“用2=|尸产[2 ，所以|PE|2一』=2|NQ|2,4 4 91 3因为|NQ|W2x-=l,所以|尸产『一一＜2,所以|「产区一， 4 2所以八=（2炉-4）2-软4=0,所以公=],因为2＞0,所以％=1,所以幺一2》+1=0，所以x=l,所以y=2,即P（l,2）,此时S&PAF=2IA/Ix2=2,当AQ与圆尸相切于。时，|AQ|= 而"不而=，□[=¥。 _1।xnimpi_1V151 V15SAAQF=-\^Q\-\QFl=-x^r-x-=-r-，Z LLLO所以四边形4PFQ的面积为2+巫，故C正确；8对于D,如图设2。的中点为N,PM是圆尸的切线，切点、为M,M3 1设尸(%,%),则|「尸|=%+1,所以/+14一，所以与(5，所以义=4/42,所以—即点尸的纵坐标的取值范围为血］.故D正确；故选：ACD®【答案】ACD【分析】运用数形结合的思想，将问题转化为解析几何问题，再结合抛物线的性质及几何图形特点逐项验证结果即可得出答案.【详解】如图，若P=4,则C:y2=8x,A(2,4),C的焦点为尸(2,0),则8(2,T),|48|=8,选项A正确；延长AO交直线x=-2于点M,则A/(-2,Y),M,B,。三点共线，选项D正确；若P=2,则C:y2=4x,4(4,4),C的焦点为尸(1,0),直线AF:4x-3y-4=0,可得选项B不正确；41 25P=2时，因为— 所以NAPB=NABP.又NAPB=NPBQ,所以总4 4平分NABQ,选项C正确.故选：ACD.®答案：BCD由题意，抛物线yJ2px(p>0)的焦点为尸(多0),准线方程为x=-5,对于A中，由抛物线上的点E(2,f)到点尸的距离为4,抛物线的定义，可得2+5=4,解得P=4,所以抛物线的方程为y2=8x,所以A不正确;

对于B中，分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为A，"一如图所示，则线段AB的中点为尸到准线的距离为|PQ卜囹根据抛物线的定义，可得|同=|①|,忸F|=|班所以|罔=|4£|+|四=|9|+忸町,所以|PQ|=；|A8|,即圆心户到准线的距离等于圆的半径，即以A8为直径的圆与准线相切，所以B正确；设4(3,3),8®,%),由抛物线的定义,可得网=网+|/=%+电+P，当直线/的斜率不存在时，可设直线/的方程为*=§,L=z联立方程组2 ,解得，=。,必=-夕，此时|明=2。[y2=2px当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=k(x-^),V=k(x——} 心22联立方程组 2,整理得公x2-(/p+2P»+1-=0,y=2px 4可得%+%2=kP：2p,,所以=X]+x2+p=k+p=2p+卷>2p,综上可得，线段A8长度的最小值是2p,所以C正确；设直线/的方程为x=sy+§,联立方程组『='"''+5,整理得y2-2pmy-p2=。，y2=2px可得M+必=2pm,yxy2=-p2,则％+w=m(X+%)+p=2pm2+p,贝！+%+p=2p而+2p则点尸到J的距离为d=|PC|=七歪=pm2+^,所以sinNPMN所以sinNPMN=gg=丁4-

陷2,pp万，1 ,1Ipm24-p2(m2+1) 22所以sinNPMNwgl),所以D正确.故选：BCD.

®【答案】®【答案】BC【解析】11【分析】以《乙为抛物线通径，求得丽+西的值，判断A;当〃=3时，写出焦半径山目目丹的表达式，利用换元法，结合利用导数求函数最值，可判断B;当〃=4时,求出归印巴刊,|学叫月用的表达式,利用三角函数的知识,可判断C,D.【详解】当〃=2时，与=N与FA=兀,此时不妨取，鸟过焦点垂直于x轴，1111,不妨取4(1,2),£(1,-2),则丽+西=5+5=1，故A错误；2万当〃=3时，= =午，7T此时不妨设％A在抛物线上逆时针排列，设N[&=a,a€(0,5),.„. 2 \P,F\= --—,|P,F\=, , 4%、，l-cos(a+——), , 4%、，l-cos(a+——)故|"1+出产|+山目=21-cos故|"1+出产|+山目=21-cosa令/(f)=4 令/(f)=4 2t+33-2tt2则f'(t)=(3-2r)22t+6-27(1)(3-2,浮1 3当一<r<l时，r(r)>0,f(t)递增，当l<t(一时，,f(t)递减,2 2故/⑺.=A1)=9故当f=l,即cosa=5，a=C时，出川+区目+区同取到最小值9,故B正确;当〃=4时，/产鸟="鹏=/"2="州=1,此时不妨设％£,4,6在抛物线上逆时针排列，设则1-cos(1-cos(e+乃)2，1单卡 丁一,/八31、l-cos(^+—)\P,F\=-——-,l^|= ,|［尸|二21+sin。,IS=13。- 1-COS21+sin。,IS= z ।?/|= z

1+cos。'4l-sin，故|片A+^?= + =——,1 '11-cos。1+cos0sin-0\P1F\+\PiF\=―-—+―--=-4-1- 11+sin。l-sin。cos"01 1sin26cos201所以［修+|4目+忸丹+旧/「4+4—“故C正确；由C的分析可知子|+|*|+|/|+|勿卜熹+熹=嬴』=磊,当41?2，=1时，-.f取到最小值16,sin"20即忸H+|2尸|+|A尸|+仍尸|最小值为16,故D错误;故选：BC【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式的应用，综合性较强，涉及到抛物线的焦半径\PF\=--^—的应用，以利用导数求最值，和三角函数的相关知识，难度较大.1—cosa®【答案】BD【解析】【分析】求出抛物线c的焦点、准线，设出直线/的方程，与抛物线C的方程联立，再逐一分析各个选项，计算判断作答.【详解】抛物线C:V=_4y的焦点20,-1),准线方程为y=l,设直线/的方程为y="-l,与抛物线的方程联立，可得f+4履-4=0,可得Xa4=Y，xA+xB=-4k,以为=区汕=1,故A错误；16由|A8|二2-%-4=2-2(乙+/)+2=4+4-，AB的中点到准线的距离为d=l一丛土2k=1一±3=2+2公,可得"= 即有以A8为直径的圆与准线y=l相切，则它与直线y=3相离，故B2 2正确；由赤=2而，可得0-4=2(4一0),即4=一238，又44=-4,xA+xB=-4k,解得乙=-20,%=-2,Xb=血,%=-；，所以|AB|=2+2+；=g,故C错误；由/=_4y即^:一；/的导数为？=-；、，可得人处的切线的方程为y=-/x+亨，8处的切线的方程为y=-^x+^-,联立两条切线的方程，解得Xg=L(Xa+Xb)=—2A，1 , X2 1 1%=~"(XA+X4Xfl)+-^~=--XAXB=--X(~4)=1，12+2/I 即G(-2Z,1),G到AB的距离为d」/_lABbTiTF.Jb到+16,5+匕则△GAB的面积为5=已〃|48|=5・2，^T・4(1+攵2)=4(1+22)2.4,当％=0时，取得等号，则△G48面积的取值范围为［4,+8),故D正确.故选：BD.®【答案】ABD【解析】【分析】联立抛物线C与直线X=1求其交点判断A,联立直线I的方程与抛物线C的方程,结合设而不求法判断B,结合抛物线定义判断C,利用设而不求法判断D.

2=4x可得《=1y=-2【详解】直线/垂直于X2=4x可得《=1y=-2所以A(l,2),5(1-2),所以|AB|=4,A对，由已知可得直线/的斜率不为0,故可设其方程为％=冲+1,y?=4x联立《 化简可得产一4冲-4=0,x=myA=(4/w)2+16>0,设4%,力),8(々，旷2)，则,+%=46，yty2=-4.b对，点N在以AB为直径的圆上，则而［.丽=0，又所以(西+l)(/+l)+(y_1)(%-1)=0，又X|=my+1, =my2+\所以(冲］+2)(^,+2)+(^-1)(72-1)=0,所以(机2+1)乂%+(2加-1)(乂+%)+5=0,所以4m2一4机+1=0，故加=2，此时直线/的斜率为2,D对，

2过点P作尸耳垂直与准线x=-l,垂足为R,过点M作MMi垂直与准线x=—l,垂足为Kij|W?|=|PF|,当且仅当点P的坐标为(1,-2)时等号成立，所以|PM|+|尸尸I的最小值为4C错，故选：ABD.

yy®【答案】ABD【解析】【分析】A选项直接通过题目中给出的条件进行判断;B选项联立直线抛物线求出A点坐标,求导确定斜率，写出切线方程进行判断；C选项令〃=2,进行判断：D选项根据条件依次求出各点坐标，分别计算三角形的面积进行判断.【详解】A选项:y2=2px3，解得【详解】A选项:y2=2px3，解得＜y=T+yx=R12,,X=P9P2，又A为第一象限的点，，A%=—3pp_2，P，y=y[2px,y'=„=1,故切线方程为y-p=x-£，即y=y[2px,y'=咨 2C选项：由4'1・4=5"叱（〃£.）,得A=44,令〃=2,Smsc=4・4,弓形面积4 16 4 4为§Smbc=丁4=4&+—A2=A]+—A2f所以不等式不成立，错误；D选项：由 学,一3〃）知£）（^■，-2p）,£>CV/x轴，。（壬一”），又AC,8C的中点匕，匕，易求匕（多qM（^,—2p），G（0,0），G（2p,-2p）,S^acg=；xCMx2p=g,Swe、= C'?x2p=*»^aabc=—xCDx4p=4p2,因此5AAeG+SaBCG=w"a8c成乂，正确，故选：ABD.【点睛】本题需要依次判断四个选项，A选项直接利用定义判断，B选项关键在于按照切线方程的通用求法进行求解，C选项通过特殊值进行排除即可，D选项关键在于求出各点坐标，再求三角形面积进行判断.®【答案】ACD【解析】y~=4_V【分析】设/方程为y=Mx-l）（%H。），联立「 ，/八，整理得。2_4y-4&=0,y=K[x-i）根据根与系数的关系可判断A、B选项.由弦长公式AB=Xi+X2+P=r+4<8,得％2>i，再联立《I，，M,N两点11 k [y=x-4在y轴的两侧，求得Z<4,由此判断C.设时（工,％），N（X4，”），由弦长公式得|MN|=J1+公.42一我+16,继而由已知得-44+16=13，求解即可判断D选项.【详解】解：由题意可设/的方程为丁=左（1—1）小0。），y2=4x , -4k联立,z八，得矽2_4-4&=0,则,%=1-=T为定值，故A正确.y=A:（x-l） k4又%+%=一，故B不正确.%）+x,=———+2=——+2,则IAfil=X]+X-,+p=--+4<8,即K>1,kk k'y=k（x—1） ,联立（ ；',得f一6+%—4=0，y=x-4'：M,N两点在y轴的两侧，=左〜-4（Z—4）=左〜-4%+16>0,且左一4<0,；♦%<4.由公>1及&<4可得左<-1或1<%<4,故及的取值范围为（fo,T）D（l,4）,故C正确.设时（工,%），N（X4，”），则X3+X4M,x3x4=k-4,则|MN|=>]\+k2-Ju+z）2-54=yl\+k2•42-4k+16.假设存在实数k,则由|MN|=413k2+13，得公一以+16=13,解得女=1或3,故存在上=3满足题意.D正确.故选：ACD.11【答案】BCD【详解】设A（x，%）,B（x2,y2）.设直线AB:x=my+^联立卜一"D+2，化为y2-2pmy-p2=