2022年上海市秋季高考数学试卷含答案解析

2022年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）.已知z=l+i（其中i为虚数单位），贝！J25=—..双曲线±-/=[的实轴长为9- 3,函数/*）=8§2彳一§百工+1的周期为 ..已知,行列式；|的值与行列式I；：|的值相等，则“=—..已知圆柱的高为4,底面积为9万，则圆柱的侧面积为..已知[“一丁"° ，贝壮=工+2），的最小值为[x+y-l>0 .二项式（3+幻”的展开式中，V项的系数是常数项的5倍，则〃=.” 2a^x-l,x<0.若函数/（x）=〈x+a,x>0为奇函数，则实数。=.0,x=0.为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为—..已知等差数列{4}的公差不为零，S”为其前〃项和，若邑=0,则S,（i=0,1,2, ,100）中不同的数值有个..已知丸>0,|a|=|/?|=|c|=A，且,c-a=2,cb=l,则4=12设函数f（x）满足〃x）=/（」-），定义域为。=[0,+oo）值域为A若集合{y|y=/（x）,X+1xg[0,a]}可取得A中所有值，则参数a的取值范围为—.二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.TOC\o"1-5"\h\z.若集合4=[一1,2）,5=Z，则Ap|B=（ ）A.{-2,-1,0,1）B.{-I,0,1} C.{-1,0} D.{-1}.若实数〃、6满足a>%>0,下列不等式中恒成立的是（ ）A.a+b>2\[abB.a+b<2>/ab C.—+2b>2-Jah D.—+2b<2-Jah2 2.如图正方体A8CD-A4CQ中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB、、CO的中点，联结城,BtD.空间任意两点M、N,若线段MN上不存在点在线段AS、BQ上,则称MN两点可视，则下列选项中与点。可视的为（）

C.点RA.①成立②成立C.①不成立②成立B.①成立②不成立D.①不成立②不成立16.1511合。={(x,y)|(x-A)2+(丫-公＞=4|女|,A.①成立②成立C.①不成立②成立B.①成立②不成立D.①不成立②不成立三、解答题(本大题共有5题，满分76分).17.(14分)如图所示三棱锥，底面为等边AABC,。为AC边中点,且PO_L底面ABC,AP=AC=2.(1)求三棱锥体积也8c；(2)若M为8c中点，求PM与面PAC所成角大小.B.(14分)f(x)=log3(a+x)+log3(6-x).(1)若将函数f(x)图像向下移以m＞0)后，图像经过(3,0),(5,0),求实数〃，，〃的值.(2)若”＞一3且awO,求解不等式/(戏,/(6-x)..(14分)在如图所示的五边形中，AD=BC=6,AB=20,O为AB中点，曲线上任一点到O距离相等，角皿3=ZABC=120。，P,。关于OM对称；(1)若点P与点C重合，求NPOB的大小；(2)P在何位置,求五边形面积S的最大值.

r2220.(16分)设有椭圆方程r：A+%=l(a>b>0)，直线/:x+y-4应=0，「下端点为A,ab~M在/上，左、右焦点分别为£(-及，0)、F,及,0).(1)a=2,AM中点在x轴上,求点M的坐标；(2)直线/与y轴交于B,直线AM经过右焦点用，在A48M中有一内角余弦值为g,求b；(3)在椭圆「上存在一点P到/距离为d,使|P4|+|”|+d=6，随“的变化，求d的最小值.21.(18分)数列｛a“｝对任意〃eN*且〃..2，均存在正整数ie[l, ,满足a"+i=2a“-《，cl—\f勺=3・(1)求处可能值；(2)命题〃：若q,外,…，4成等差数列，则6<30，证明〃为真，同时写出〃逆命题4,并判断命题夕是真是假，说明理由；(3)若a2nl=3"\(mwM)成立，求数列｛a,,｝的通项公式.2022年上海市高考数学试卷参考答案与试即解析一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分).已知z=1+i(其中i为虚数单位)，则25=_2-万_.【思路分析】直接利用共辗复数的概念得答案.【解析】2=1+1,贝!J5=l-i,所以25=2-2i.故答案为：2-27.【试题评价】本题考查了共柜复数的概念，是基础题..双曲线二-丁=]的实轴长为6.9【思路分析】根据双曲线的性质可得a=3,实轴长为加=6.【解析】由双曲线卷-丁=],可知：。=3,所以双曲线的实轴长2a=6.故答案为：6.【试题评价】本题考查双曲线的性质,是基础题..函数八r)=0»2》-$析2*+1的周期为_n_.【思路分析】由三角函数的恒等变换化简函数可得f(x)=cos2x+l,从而根据周期公式即可求值.【解析】f(x)=cos2x-sin2x+1=cos2x—sin2x+cos2x+sin2x=2cos2x=cos2x4-1,T=—=7T.故答案为：n.2【试题评价】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用,属于基础题..已知aeR,行列式；|的值与行列式|：；|的值相等，则【思路分析】根据行列式所表示的值求解即可.【解析】因为I；；|=2a-3 /a，所以2a-3=a,解得。=3.故答案为：3.【试题评价】本题考查了行列式表示的值，属于基础题..已知圆柱的高为4,底面积为9万，则圆柱的侧面积为_24T^.【思路分析】由底面积为9%解出底面半径R=3,再代入侧面积公式求解即可.【解析】因为圆柱的底面积为9乃，即乃炉=9万，所以R=3,所以$=21/?〃=241.故答案为：24万.【试题评价】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题..已知1”‘一°，贝!|z=x+2)，的最小值为 .[x4-y—1之0【思路分析】根据已知条件作出可行域，再求目标函数的最小值即可.【解析】如图麻：由x-y,,0,x+y-L.O,可知行域为直线x-y=0的左上方和x+y-l=0的右上方的公共部分，当目标函数二=x+2.\•沿着与正方向向量d=(l,2)的相反向量平移时，离开区间时取最小值,即目标函数二=x+2y过点A(J,1)时，取最小值：'+2x1=3.2 2 2 22故答案为：-.2【试题评价】本题考查了线性规划知识，难点在于找到目标函数取最小值的位置,属于中档题..二项式(3+x)”的展开式中，V项的系数是常数项的5倍，则〃=10.【思路分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得〃的值.【解析】•.•二项式(3+幻”的展开式中，X。项的系数是常数项的5倍，即C；x3i=5C>3",即若工=5x9,:.n=\0,故答案为：10.【试题评价】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题."2ax-1,x<0.若函数f(x)〜x+a,x>0为奇函数，则实数。=.0,x=0【思路分析】由题意，利用奇函数的定义可得/(-x)=-/(x),故有/(-1)=-/(1),由此求得。的值.a2x-lx<0【解析】♦.,函数/(x)=«x+〃x>0,为奇函数，・・・/(一x)=-/。)，0x=0/./(-1)=-/(1),-a2_1=_(«+1)，即a(a-l)=0,求得a=0或a=l-l,x<0当a=0时，〃x)=,O,x=O，不是奇函数，故。工0；.r,x>0fx-l,x<0当4=1时，f(x)=O,X=O ，是奇函数，故满足条件，[x+l,x>0综上，a=1,故答案为：1.【试题评价】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题.9.为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为』.一7—【思路分析】由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果.【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有c：.c；y+C；•C；种，而所有的抽取方法共有C：种，故每一类都被抽到的概率为0：•.玛；4c,《,《=,=!■,故答案为：T.【试题评价】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题.10.已知等差数列｛4｝的公差不为零，S“为其前〃项和，若$5=0，贝！Js,(i=o,1,2, ,100)中不同的数值有98个.【思路分析】由等差数前〃项和公式求出4=-2d,从而S,,=^(〃2-5〃)，由此能求出结果.【解析】•••等差数列｛。“｝的公差不为零，5.为其前〃项和，5,=0,5x4 .S5=5qH d=0,解得4=—2d,..4=叫+^^=一2加+^^=*-5”),♦.♦dxO,.-.S,(j=O,1,2…，100)中So=Ss=O,S]=S3=-3d,S、=S4=-2d,其余各项均不相等，.•.S,.(/=0,1,2…，100)中不同的数值有：101-3=98.故答案为：98.【试题评价】本题考查等差数列的前"项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力,是中档题.11.已知4>0,\a\=\b\—\c\=A，且a-B=O,c-a=2,c-b=\,则2=【思路分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果.【解析】由题意，有无6=0,贝!,iS.<a,c>=0,a-c=2,同加。=2,①b-c=\ 卜I同血彳鼻一夕卜入②则舞得,tan^=—,① 2由同角三角函数的基本关系得：COS9=^,2月贝!Ja・d=|a||5|8s6=>i・i =2,纪=石,则；1=括.故答案为：</5.【试题评价】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题.12设函数f(x)满足/'(x)=/(—!—)，定义域为。=[0，+<»)值域为A若集合{y|y=f(x),xg[O,0}可取得A中所有值，则参数。的取值范围为[年口,+oo).【思路分析】由X=」一可得x= ，可判断当"与'时，与1；当x+1 2 2 x+12TOC\o"1-5"\h\z0,,X<吏」时,-^―>-5~1；从而可得4={丫|丫=/(工),xg[0,a]}时，参数。的最小2 x+1 2值为立二1,从而求得.2【解析】令X=，得，x=或x= (舍去)；x+1 2 2当x..否二时，一二,一=更二,故对任意工.更」，2 x+1V5-1tt2 22都存在x0g[0, --],---j*=%，故/(x)=f{xQ),^A={y\y=f(x),xe[0,舟%,而当Q,x<—~-时,--->厂1 =—―,2 2 x+1V5-1, 2 +12故当A={y|y=/(x),xg[0,a]}时，参数"的最小值为,故参数“的取值范围为['要,+oo),故答案为：[告1,+oo).【试题评价】本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题.二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.TOC\o"1-5"\h\z13.若集合4=[-1,2),B=Z，则Ap|B=( )A.{-2,-1,0,1)B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{-1}【思路分析】根据集合的运算性质计算即可.【解析】••-A=[-l,2),B=Z,.-.AQfi={-l,0,1}, ：B.【试题评价】本题考查了集合的交集的运算，是基础题.14.若实数〃满足a>b>0,下列不等式中恒成立的是( )A.a+b>2\[abB.a+bv2\[abC.—+2b>2\lab D.—+2b<2>/ab2 2【思路分析】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解.【解析】因为a>0>0,所以。+k.2疯，当且仅当。=6时取等号，又a>6>0,所以a+b>14cib,故A正确,B窗吴，-+2b..2.-x2b=24^h,当且仅当@=防，即a=4t时取等号，故CD错误，故选：A.2 \2 2【试题评价】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题.15.如图正方体A88-A4CQ中，尸、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB、、8的中点，联结AS,与。.空间任意两点M、N,若线段MN上不存在点在线段AS、BQ上,则称MN两点可视，则下列选项中与点。可视的为（）、 ♦!''X；Rzf±XAPBA.点P B.点8 C.点R D.点。【思路分析】线段MN上不存在点在线段”、与。上，即直线MN与线段於、BQ不相交，因此所求与。可视的点，即求哪条线段不与线段AS、片£>相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断.【解析】线段上不存在点在线段AS、用。上，即直线MN与线段AS、片。不相交，因此所求与可视的点，即求哪条线段不与线段AS、耳。相交，对A选项，如图，连接AP、PS、。母，因为P、S分别为AB、8的中点，易证AR//PS,故4、D、、p、s四点共面，.•.£>/与as相交，.•）错误；对8、C选项，如图，连接D8,易证四、B、A四点共面，故。出、都与四。相交，rBC错误；

ClAPRCl对。选项，连接。Q,由a选项分析知A、A、p、s四点共面记为平面A2PS,•••Qe平面Arps,。任平面aaps，且asu平面arps，点。任as,与AS为异面直线，同理由8,C选项的分析知A、B、、B、A四点共面记为平面。石区4,•••。€平面24旦4,Q/平面，且4Ou平面。与8A，点4。，.•・。。与与。为异面直线，故。。与AS,耳。都没有公共点，选项正确•故选：D.【试题评价】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题.16.设集合C={（x,y）|（x-A）2+（y_公尸=4伙|,&eZ}①存在直线/,使得集合建中不存在点在/上,而存在点在/两侧；②存在直线/,使得集合Q中存在无数点在/上；（ ）A.①成立②成立 B.①成立②不成立C.①不成立②成立 D.①不成立②不成立【思路分析】分％=0,4>0,A<0,求出动点的轨迹，即可判定.【解析】IkI、k2的增大幅度均大于2国,••・只要攵大到一定程度,就会存在/使得①成立；圆心（上/2）在抛物线上，且I%|、k2的增大幅度均大于2国,r.Q中的圆会夹在两条抛物线之间，，不存在直线/满足②，故选：B.【试题评价】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.

17.(14分)如图所示三棱锥，底面为等边AA8C,。为AC边中点，且PO_L底面A8C,AP=AC=2.(1)求三棱锥体积；(2)若M为8c中点，求PM与面PAC所成角大小.【思路分析】(1)直接^用体积公式求解；(2)以O为坐标原点，08为x轴，0c为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PAC的法向量，即可求解.【解析】(1)在三棱锥P-ABC中，因为尸底面ABC,所以POLAC,又。为AC边中点，所以APAC为等腰三角形,又AP=AC=2.所以APAC是边长为2的为等边三角形，PO=V3, =-SMBC-PO=-x—x22x>/3=1,(2)以O为坐标原点，为x轴,OC为.v轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，则P(0,0,6)，B(G,0,0),C(0,1,0),M肖,；,0),丽=(坐，:，-病，2 2平面PAC的法向量0启=(行,0,0),设直线PM与平面小C所成角为。，3则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sin3=|上空.|= @,\PM\-\OB\V3x24所以PM与面PAC所成角大小为arcsin£.

【试题评价】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力，是中档题.18.(14分)/(x)=log3(a+x)+log3(6-x).(1)若将函数f(x)图像向下移〃?(，〃>0)后，图像经过(3,0),(5,0),求实数"，加的值.(2)若。>一3且。工0,求解不等式/(理,/(6-彳).【思路分析】(1)写出函数图像下移，〃个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出，"和，，的值.(2)不等式化为108式“+埼+1083(6-戏，1083(“+67)+1083》,写出等价不等式组，求出解集即可.【解析】(1)因为函数/(x)=log3(a+x)+log3(6-x),将函数f(x)图像向下移讯〃?>0)后，得y=/(x)-m=log,(a+x)+log3(6-x)-/n的图像，由函数图像经过点(3,0)和(5,0),所以怕：+心-吁;[log3(5+a)+0-w=0解得a=-2tm=\.(2 ) a>-3且awO时，不等式/U)„/(6-x)可化为log3(^7+x)+log3(6—x)„log3(a+6—x)4-log3x,x>-ax<6,x>-ax<6,解得'x<a+6x>0tz(x-3)..O6-x>0等价于<a+6-x>0x>0(a+x)(6—x)„x(4?+6—x)当一3vav0时，0<-a<3,3va+6V6，解不等式彳导一av兀,3,当a>0时，-avO,a+6>6,解不等式得3„x<6；综上知，一3<。<0时，不等式〃x)„/(6-x)的解集是(-a,3],a>0时，不等式/(戏J(6-x)的解集是[3,6).【试题评价】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题.19.(14分)如图AD=8C=6,AB=20,NABC=ND4B=120°,。为他中点，曲线CM。上所有的点到。的距离相等，MO±AB,P为曲线CM上的一动点，点Q与点P关于。例对称.(1)若户在点C的位置，求NPOB的大小；(2)求五边形面积的最大值.

【思路分析】（1）在AOBC中，直接利用余弦定理求出OP,再结合正弦定理求解；（2）利用五边形CQQMP的对称性，将所求的面积化为四边形的面积计算问题，充分利用圆弧的性质，找到最大值点,从而解决问题.【解析】（1）。在点。的es,OB=10,BC=20,NA8C=120°,AOP冲，cosZ.OBC-OB2+BC2-OC211()2+6?一cosZ.OBC-OB2+BC2-OC211()2+6?一"22xOBxBC△OP肝,ocBC2 2x10x610 14=--=>0C=14;2sinNOBC~sinZPOB'sinNPOB~sin120°nsinZ.POB= ,Z.POB=arcsin14 14(2)连接OQOP,曲线CMD上所有的点到。的距离相等,OQ^OP=OD=OM=\4点Q与点P关于对称,S&QOM=^\POM'^AAi7T设ZOOM=4PoM=a,ZQOA=/POB=一一2SMiIQABP=2(Samqo+Saqoa)1 . 1 . 71=2x[—OMxOQxsiner+—OAxOQxsin( a)\2 2 2 35=196sina+l40cosa=^58016sin(cr+(p\tan(p=—B（5..）3=286【试题评价】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考杳了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题.20.（16分）设有椭圆方程「:二+1=1（。＞。＞0），直线/：x+y-4夜=0，「下端点为A,a3M在/上，左、右焦点分别为耳-夜,0）、玛（及,0）.（1）a=2,AM中点在x轴上，求点M的坐标；（2）直线/与y轴交于B,直线AM经过右焦点工，在A4W中有一内角余弦值为g,求b；（3）在椭圆「上存在一点P到/距离为"，使IP耳|+|P^|+d=6，随。的变化，求4的最小值.

得点M的坐标；(2面直线方程可知得点M的坐标；(2面直线方程可知8(0,4夜)，分类讨论cos2+5=「从而确定〃点的纵坐标，进一步可ZBAM=-和cosNBMA=-两种情况确定b的值即可；I>ccs，+bsin6-401=6-2I>ccs，+bsin6-401=6-2a,进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得啜如|即可确定d的最小值.【解析】(1)由题意可得“=2,6=c=0,2 2r：—+-1—=1,a(o,-x^),AW的中点在x轴上，.•.M的纵坐标为夜,代入x+y-4夜=0得M(3夜,夜).(2)由直线方程可知8(0,4立)，①若cos/BAM=?,贝UtanNBAAf=±,即tanNOA居=±,5 3 3OA=-OF.=-V2,4 4b=-41.4②若cosNBM4=3,则sinNBMA),,:NMBA=—,cos(NM8A+^AMB)=—x x—= 4 25 25 10/.cosZBAAf=——ztanZ.BAM=7.10BPtanZOA/s=7,OA=—,h=—7 7综上6=3&或虫.(3)设尸(a8sO,bsin。)，

由点到直线距离公式可得Iacos04-Z?sin0由点到直线距离公式可得Iacos04-Z?sin0-4\/2|=6-2a,很明显椭圆在直线的左下方，则-acos。+bsin。-4>/2艮V4&_Qa1+b2sin(e+0)=6&_2缶,•<,a2=h2+2,42a2-2sin(6+e)=2叵a-20,据此可彳导'Ja'—1sin(8+夕)=2a—2,|sin(g+<p)|='. 1,Va2-1整理可得。，即驰|,<Q Q从而d=6-2a..6-2x-=-.即d的最小值为一.【试题评价】本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题.21.(18分)数列｛4｝对任意“eN*且〃..2，均存在正整数ie[l,〃-1],满足a华=24-4,4=1,%=3・⑴求知可能值；(2)命题p:若q,a2,-,&成等差数列，则为<3。，证明.为真，同时写出p逆命题q,并判断命题q是真是假