时间序列模型的特征讲义课件

第五章时间序列计量经济学模型的理论与方法第一节随机时间序列的特征第二节随机时间序列分析模型第三节协整分析与误差修正模型第五章时间序列计量经济学模型的理论与方法第一节随机时间序1§5.1随机时间序列的特征一、随机时间序列模型简介二、刻画时间序列的自相关函数三、时间序列平稳性的检验四、趋势平稳与差分平稳随机过程§5.1随机时间序列的特征一、随机时间序列模型简介2一、随机时间序列模型简介

前提假设：时间序列是由某个随机过程生成的。即，假定序列Y1,Y2,…,YT的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到。

注意：模型不必（一般也不会）与序列的过去实际行为完全一致，因为序列和模型都是随机的，只要模型能够刻画序列的随机特征就可以应用。一、随机时间序列模型简介前提假设：时间序列是由某个随31.时间序列过程规范地，一个标有时间脚标的随机变量序列被称为一个随机过程(Stochasticprocess)或时间序列过程(timeseriesprocess)。当搜集到一个时间序列数据集时，就得到该随机过程的一个可能结果或实现(realization)。该时间序列所有可能的实现集，相当于横截面分析中的总体。样本容量就是我们观察的时期数。1.时间序列过程规范地，一个标有时间脚标的随机变量序列被称4美国通货膨胀和失业率部分数据表year通货膨胀率(%)失业率(%)19488.13.81949-1.25.919501.35.319517.93.3﹕﹕﹕19981.64.519992.24.220003.44.020022.84.720021.65.820032.36.0美国通货膨胀和失业率部分数据表year通货膨胀率(%)失业率52.白噪声和随机游走另一个简单的随机时间列序被称为随机游走(randomwalk)，该序列由如下随机过程生成：Yt=Yt-1+t这里，t是一个白噪声。一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立同分布序列：Yt=t，t~N(0,2)该序列常被称为是一个白噪声(whitenoise)。2.白噪声和随机游走另一个简单的随机时间列序被称为随机游6对随机游走过程的预测：

T+1期的预测：

T+2期的预测：类似地，T+l期的预测也是YT

。预测误差的方差随着l的增大而增大。T+l期的预测误差的方差为。对随机游走过程的预测：T+1期的预测：T+2期的预测7

带漂移的随机游走过程如果d>0，平均而言过程向上移动，T+1期的预测为：T+l期的预测则是：预测的标准误差同随机游走过程。预测值随l增加而线性增加，预测标准误差随而增大。带漂移的随机游走过程如果d>0，平均而言过程83.平稳和非平稳时间序列经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致性”要求——被破怀。经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变量放宽该假设：X是随机变量，则需进一步假定：X与随机扰动项不相关∶Cov(X,)=0(1)平稳性与经典回归3.平稳和非平稳时间序列经典回归分析暗含着一个重要假设：数9任一随机时间按序列Y1,Y2,…,YT都可以被认为是由一组联合分布随机变量生成，即Y1,Y2,…,YT代表一个联合概率分布函数的某一特定结果。那么，一个未来的观测Yt+1可以认为是由条件概率分布函数生成，即是给定过去观测值Y1,Y2,…,YT下的Yt+1的概率分布。定义平稳过程为其联合分布和条件分布均不随时间而变化的过程。即如果Yt是平稳，则对任意的t，k和m，都有：(2)平稳过程的性质且任一随机时间按序列Y1,Y2,…,YT都可10如果时间序列Yt满足：1）均值E(Yt)=是与时间t无关的常数；

2）方差Var(Yt)=2是与时间t无关的常数；

3）协方差Cov(Yt,Yt+k)=k是只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationarystochasticprocess）。问题：白噪声过程是否平稳？随机游走过程是否平稳？

如果时间序列Yt满足：11如果Yt是随机游走过程，对Yt取一阶差分(firstdifference):Yt=Yt

−Yt-1=t由于t是一个白噪声，则序列Yt是平稳的。如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。(3)齐次非平稳过程如果一个时间序列是非平稳的，经过一次或多次差分后成为平稳序列，产生这样的非平稳序列的随机过程称为齐次随机过程。原序列转化为平稳序列所需的差分次数称为齐次的阶数。如果Yt是随机游走过程，对Yt取一阶差分(fir12如果Yt是一阶齐次非平稳过程，则序列:Wt=Yt

−Yt-1=Yt就是平稳的。如果Yt是二阶齐次非平稳过程，则序列：Wt=Yt

−Yt-1=2Yt就是平稳的。如果Yt是一阶齐次非平稳过程，则序列:13(4)单整与非单整如果一个时间序列经过一次差分变成平稳序列,也称原序列是1阶单整(integratedof1)序列,记为I(1)过程。如果经过d次差分后变成平稳序列,则称原序列是d阶单整(integratedofd),记为I(d)。

I(0)代表平稳时间序列。多次差分无法变为平稳的时间序列称为非单整的(non-integrated)。(4)单整与非单整如果一个时间序列经过一次差分变成平14只有当-1<

<1时，该随机过程才是平稳的。2)=1时,是一个随机游走过程,也是非平稳的.

1阶自回归过程AR(1)又是如下k阶自回归AR(k)过程的特例：Yt=1Yt-1+2Yt-2…+kYt-k该随机过程平稳性条件将在后面讨论。随机游走过程是1阶自回归AR(1)过程的特例Yt=Yt-1+t

1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(

<-1)，因此是非平稳的；只有当-1<<1时，该随机过程才是平稳的。15定义序列Yt的滞后期为k的自相关系数为：对于平稳过程，有：二、刻画时间序列的自相关函数1.自相关函数与Q统计量定义序列Yt的滞后期为k的自相关系数为：对于16

例如，假设随机过程是Yt=

εt，其中εt

是均值为零的独立同分布随机变量。则：ρ0

=1，且对于k>0，ρk=0成立，即Yt是白噪声过程，最好地预测报白噪声的模型是如果对所有的k

>0，序列的自相关函数为0或近似为0，则没有必要建模预测该序列。在实际应用中，需要估计自相关函数，即样本自相关函数：例如，假设随机过程是Yt=εt，其中εt是均值17为了检验自相关函数的某个数值ρk是否为0，可以用Bartlett的研究结果：如果时间序列由白噪声生成，则(对所有k>0)样本自相关系数近似地服从均值为0，标准差为的正态分布。如果某个时序由100个数据点构成，则每个自相关系数的标准误差都为0.1。因此如果某个自相关系数大于0.2，就有95%的把握认为真正的相关系数不为零。为了检验自相关函数的某个数值ρk是否为0，可以用Bart18为了检验所有k>0的自相关函数ρk都为0的联合假设，可以采用Box-Pierce的Q统计量：

Q统计量近似地服从自由度为K的

分布。如果计算出Q值大于显著性水平

下的临界值，就有的把握确信实际自相关系数

不全为0。为了检验所有k>0的自相关函数ρk都为0的联合假设，19考察序列的样本自相关函数图：2.平稳性与自相关函数kρk非平稳序列kρk平稳序列考察序列的样本自相关函数图：2.平稳性与自相关函数k20铜现货价格（月度数据）：铜现货价格（月度数据）：21铜现货价格的样本自相关函数图（月度数据）：铜现货价格的样本自相关函数图（月度数据）：22一阶差分后铜现货价格的样本自相关函数图（月度数据）：一阶差分后铜现货价格的样本自相关函数图（月度数据）：23铜现货价格的样本自相关函数图（日数据）：铜现货价格的样本自相关函数图（日数据）：24一阶差分后的铜现货价格样本自相关函数图（日数据）：一阶差分后的铜现货价格样本自相关函数图（日数据）：25一阶差分后铜现货价格的样本自相关函数图（周数据）：一阶差分后铜现货价格的样本自相关函数图（周数据）：26原理：如果月度时间序列Yt有年度的季节周期性，则序列的数据将显示每一期与它的前12期或滞后12期的一定程度的相关性。3.季节性与自相关函数方法：通过观察时间序列Yt自相关函数的有规律的峰值来识别季节性。原理：3.季节性与自相关函数方法：27tρk剔出季节变动的方法：如果月度时间序列Yt有年度的季节周期性，则对原序列进行12个月的差分：Zt=Yt−Yt-12以消除季节性。观察Zt的样本自相关函数，如果仍然是非平稳的，对Zt再进行差分以获得平稳序列。tρk剔出季节变动的方法：28给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程；而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。1.平稳性检验的图示判断三、时间序列的平稳性检验给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判29平稳时间序列与非平稳时间序列图平稳时间序列与非平稳时间序列图30进一步的判断:

检验样本自相关函数及其图形。随机时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction,ACF）：k=k

/0

自相关函数是关于滞后期k的递减函数。对一个随机过程只有一个实现(样本),因此,只能计算样本自相关函数(Sampleautocorrelationfunction)。进一步的判断:随机时间序列的自相关函数（autoco31随着k的增加，非平稳序的样本自相关函数下降缓慢，而平稳序列样本自相关函数迅速下降且趋于零。平稳时间序列与非平稳时间序列样本自相关函数图随着k的增加，非平稳序的样本自相关函数下降缓慢，32注意:

Bartlett曾证明:如果时间序列由白噪声过程生成，则对所有的k>0，样本自相关系数近似地服从以0为均值，1/T为方差的正态分布,其中T为样本数。可检验对所有k>0，自相关系数都为0的联合假设，可通过Q统计量进行。

如果计算的Q值大于显著性水平为的临界值，则有1-的把握拒绝所有k(k>0)同时为0的假设。注意:Bartlett曾证明:如果时间序列由白噪声过33从图形看：它在其样本均值0附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到0，随后在0附近波动且逐渐收敛于0。例1，序列Random1是通过一随机过程（随机函数）生成的有19个样本的随机时间序列。从图形看：它在其样本均值0附近上下波动，且样本自相关系数34由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。

根据Bartlett的理论：k~N(0,1/19)因此任一ρk(k>0)的95%的置信区间都将是：

可以看出:

k>0时，ρk的值确实落在了该区间内，因此可以接受k(k>0)为0的假设。同样地，从Q统计量的计算值看，滞后17期的计算值为26.38，未超过5%显著性水平的临界值27.58，因此,可以接受所有的自相关系数k(k>0)都为0的假设。

因此，该随机过程是一个平稳过程。

由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性35例2，序列Random2是由随机游走过程Yt=Yt-1+t生成的一随机游走时间序列样本。其中，第0项取值为0，t是由Random1表示的白噪声。例2，序列Random2是由随机游走过程Yt=Yt-1+36

样本自相关系数显示：1=0.48，落在了区间[-0.4497,0.4497]之外，因此在5%的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。

该随机游走序列是非平稳的。

图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。样本自相关系数显示：1=0.48，落在了区间[37例3，检验中国支出法GDP时间序列的平稳性1978-2000年中国支出法GDP（单位：亿元）年份GDP年份GDP19783605.6199018319.519794073.9199121280.419804551.3199225863.619814901.4199334500.619825489.2199446690.719836076.3199558510.519847164.4199668330.419858792.1199774894.2198610132.8199879003.3198711784199982673.1198814704200089112.5198916466

例3，检验中国支出法GDP时间序列的平稳性1978-200038图形：表现出了一个持续上升的过程，可初步判断是非平稳的。

样本自相关系数：缓慢下降，再次表明它是非平稳的。图形：表现出了一个持续上升的过程，可初步判断是非平稳的。39所以，拒绝该时间序列的自相关系数在滞后1期之后的值全部为0的原假设。

结论:1978~2000年间中国GDP时间序列是非平稳序列。从滞后18期的Q统计量看：

Q

(18)=57.18>28.86=20.05所以，拒绝该时间序列的自相关系数在滞后1期之后的值全40

对时间序列的平稳性除了用图形直观判断外，用统计量进行统计检验则更为准确。

单位根检验（unitroottest）是统计检验中普遍应用的一种检验方法。(1)DF检验我们已知道，随机游走序列Yt=Yt-1+t是非平稳的，其中t是白噪声。序列可看成是随机模型Yt=Yt-1+t中参数=1时的情形。2.平稳性的单位根检验对时间序列的平稳性除了用图形直观判断外，用统计量41也就是说，对式

Yt=Yt-1+t

（*）

回归，如果确实发现

=1，就说随机变量Yt有一个单位根。（*）式可变成差分形式：

Yt=(-1)Yt-1+t=Yt-1+t

(**)检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（**）式判断是否有=0。也就是说，对式

42一般地:检验一个时间序列Yt的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型

Yt=+Yt-1+t

（*）中的参数是否小于1。

或者：检验其等价变形式

Yt=+Yt-1+t

（**）中的参数是否小于0。可以证明，（*）式中的参数>1或=1时，时间序列是非平稳的;对应于（**）式，则是>0或=0。一般地:检验一个时间序列Yt的平稳性，可通过检验带有43针对（**）式Yt=+Yt-1+t

零假设H0：=0,即原序列存在单位根；

备择假设H1：

<0;即原序列是平稳的；

上述检验可通过OLS法下的t检验完成。然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t检验无法使用。Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布（这时的t统计量称为统计量），即DF分布（见表9.1.3）。针对（**）式Yt=+Yt-1+t44通过OLS法估计

Yt=+Yt-1+t

计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较：如果：t<临界值（左尾单侧检验），则拒绝零假设H0：=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。通过OLS法估计45

DF检验的问题：在上述使用Yt=+Yt-1+t对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定时间序列是由一阶自回归过程AR(1)生成的，并且随机误差项是白噪声。

为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）检验。(2)ADF检验DF检验的问题：在上述使用(2)ADF检验46ADF检验是通过以下3个模型完成的：

检验的假设都是：H0：

=0，即存在一单位根，H1:<0。模型1与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋势项。模型1：模型2：模型3：ADF检验是通过以下3个模型完成的：检验的假设都是：47实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时检验停止。否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。

检验原理与DF检验相同，但对模型1,2,3进行检验时，有各自相应的临界值。Dicky和Fuller推导了3个模型所使用的ADF分布临界值表。实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。何时检48同时估计出上述3个模型的适当形式，然后通过ADF临界值表检验零假设H0：=0。1）只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可以认为时间序列是平稳的；2）当3个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认为时间序列是非平稳的。ADF检验过程：同时估计出上述3个模型的适当形式，然后通过ADF临界49例4，检验1978~2000年间中国支出法GDP时间序列的平稳性。1）经过偿试，模型3取了2阶滞后：通过拉格朗日乘数检验对随机误差项的自相关性进行检验：

LM(1)=0.92，LM(2)=4.16，小于5%显著性水平下自由度分别为1与2的2分布的临界值，可见不存在自相关性。例4，检验1978~2000年间中国支出法GDP时间序列50

从的系数看，t>临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值，因此不能拒绝不存在趋势项的零假设。需进一步检验模型2。从的系数看，t>临界值，不能拒绝存在单位根的零假设512）经试验，模型2中滞后项取2阶：

LM检验表明模型残差不存在自相关性。从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值，不能拒绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型1。2）经试验，模型2中滞后项取2阶：LM检验表明模型残差不存523）经试验，模型1中滞后项取2阶：

LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。结论：根据ADF检验结果，可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的。3）经试验，模型1中滞后项取2阶：LM检验表明模53

例5，检验关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。例5，检验关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间54

从滞后14期的Q统计量看：

CONSP与GDPP序列的Q统计量计算值均为57.18，超过了显著性水平为5%时的临界值23.68。再次表明它们的非平稳性。

就此来说，运用传统的回归方法建立它们的回归方程是无实际意义的。如果两个非平稳时间序列是协整的，则传统的回归结果却是有意义的，而这两时间序列恰是协整的。

从图形上看：人均居民消费（CONSP）与人均国内生产总值（GDPP）是非平稳的。从滞后14期的Q统计量看：从图形上看：551)对中国人均国内生产总值GDPP来说，经过偿试，三个模型的适当形式分别为：模型3：ADF检验过程：1)对中国人均国内生产总值GDPP来说，经过偿试，三56模型2：模型1：模型2：模型1：573个模型中参数的估计值的t统计量均大于各自的临界值，因此不能拒绝存在单位根的零假设。

结论:人均国内生产总值(GDPP)是非平稳的。3个模型中参数的估计值的t统计量均大于各自的临界值，582）对于人均居民消费CONSP时间序列来说，3个模型的适当形式为：模型3：模型2：2）对于人均居民消费CONSP时间序列来说，3个模型的适当形593个模型中参数CONSPt-1的t统计量的值均比ADF临界值表中各自的临界值大，不能拒绝该时间序列存在单位根的假设，

结论：可判断人均居民消费序列CONSP是非平稳的。模型1：3个模型中参数CONSPt-1的t统计量的值60四、趋势平稳与差分平稳随机过程例如，用中国的劳动力时间序列数据与美国GDP时间序列作回归，会得到较高的R2，但不能认为两者有直接的因果关系，而只不过它们有共同的趋势罢了，这种回归结果我们认为是虚假的。1.虚假回归、伪回归(spuriousregression)四、趋势平稳与差分平稳随机过程例如，用中国的劳动力时间61

如果一个包含有某种确定性趋势的非平稳时间序列，可以通过引入表示这一确定性趋势的趋势变量，而将确定性趋势分离出来。注意：这种做法,只有当趋势性变量是确定性的(deterministic)而非随机性的(stochastic),才会有效。2.确定性趋势与随机趋势如果一个包含有某种确定性趋势的非平稳时间序列，可以通过引入62

1)如果=1，=0，则（*）式成为一个带漂移的随机游走过程：

Yt=+Yt-1+t（**）根据的正负，Yt表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为随机性趋势(stochastictrend)。考虑如下的含有一阶自回归的随机过程：

Yt=+t+Yt-1+t

（*）其中：t是一白噪声，t为一时间趋势。1)如果=1，=0，则（*）式成为一个带漂移的随机游63

2)如果=0，0，则（*）式成为一带时间趋势的随机变化过程：

Yt=+t+t（***）根据的正负，Yt表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为确定性趋势(deterministictrend)。Yt=+t+Yt-1+t

（*）

3)如果=1，0，则Yt包含有确定性与随机性两种趋势。2)如果=0，0，则（*）式成为一带时间趋势64

判断一个非平稳的时间序列的趋势是随机性的还是确定性的，可通过ADF检验中的第3个模性。该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量t，即分离出了确定性趋势的影响。因此，(1)如果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋势;

(2)如果没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。3.确定性趋势与随机趋势的判断判断一个非平稳的时间序列的趋势是随机性的还是确定性65（1）通过差分方法消除随机性趋势如：对式

Yt=+Yt-1+t

可通过差分变换为Yt=+t

该时间序列称为差分平稳过程（differencestationaryprocess）；4.确定性趋势与随机趋势的消除方法（1）通过差分方法消除随机性趋势如：对式4.确66（2）确定性趋势无法通过差分的方法消除，而只能通过除去趋势项消除，如：对式

Yt=+t+t可通过除去t变换为

Yt

−t

=+t该时间序列是平稳的，因此称为趋势平稳过程（trendstationaryprocess）。

趋势平稳过程代表了一个时间序列长期稳定的变化过程，因而用于进行长期预测则是更为可靠的。

（2）确定性趋势无法通过差分的方法消除，而只能通过除去趋势项67例6，中国支出法GDP的单整性。经过试算，发现中国支出法GDP是1阶单整的，适当的检验模型为：例6，中国支出法GDP的单整性。经过试算，发现中国支68

例7，中国人均居民消费与人均国内生产总值的单整性。经过试算，发现中国人均国内生产总值GDPP是2阶单整的，适当的检验模型为：

CONSP也是2阶单整的，适当的检验模型为：例7，中国人均居民消费与人均国内生产总值的单整性。69例，商品价格服从随机游走么？许多研究都将股票、债券、在高度流动性的现货市场上频繁交易的商品，以及基于这些商品价格的期货等衍生产品的价格是为随机游走过程。这种情况下，理论上，投资者无法按照某个交易规则获利。讨论如下假定：现货价格遵循随机游走是否合理。例，商品价格服从随机游走么？许多研究都将股票、债券、70第五章时间序列计量经济学模型的理论与方法第一节随机时间序列的特征第二节随机时间序列分析模型第三节协整分析与误差修正模型第五章时间序列计量经济学模型的理论与方法第一节随机时间序71§5.1随机时间序列的特征一、随机时间序列模型简介二、刻画时间序列的自相关函数三、时间序列平稳性的检验四、趋势平稳与差分平稳随机过程§5.1随机时间序列的特征一、随机时间序列模型简介72一、随机时间序列模型简介

前提假设：时间序列是由某个随机过程生成的。即，假定序列Y1,Y2,…,YT的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到。

注意：模型不必（一般也不会）与序列的过去实际行为完全一致，因为序列和模型都是随机的，只要模型能够刻画序列的随机特征就可以应用。一、随机时间序列模型简介前提假设：时间序列是由某个随731.时间序列过程规范地，一个标有时间脚标的随机变量序列被称为一个随机过程(Stochasticprocess)或时间序列过程(timeseriesprocess)。当搜集到一个时间序列数据集时，就得到该随机过程的一个可能结果或实现(realization)。该时间序列所有可能的实现集，相当于横截面分析中的总体。样本容量就是我们观察的时期数。1.时间序列过程规范地，一个标有时间脚标的随机变量序列被称74美国通货膨胀和失业率部分数据表year通货膨胀率(%)失业率(%)19488.13.81949-1.25.919501.35.319517.93.3﹕﹕﹕19981.64.519992.24.220003.44.020022.84.720021.65.820032.36.0美国通货膨胀和失业率部分数据表year通货膨胀率(%)失业率752.白噪声和随机游走另一个简单的随机时间列序被称为随机游走(randomwalk)，该序列由如下随机过程生成：Yt=Yt-1+t这里，t是一个白噪声。一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立同分布序列：Yt=t，t~N(0,2)该序列常被称为是一个白噪声(whitenoise)。2.白噪声和随机游走另一个简单的随机时间列序被称为随机游76对随机游走过程的预测：

T+1期的预测：

T+2期的预测：类似地，T+l期的预测也是YT

。预测误差的方差随着l的增大而增大。T+l期的预测误差的方差为。对随机游走过程的预测：T+1期的预测：T+2期的预测77

带漂移的随机游走过程如果d>0，平均而言过程向上移动，T+1期的预测为：T+l期的预测则是：预测的标准误差同随机游走过程。预测值随l增加而线性增加，预测标准误差随而增大。带漂移的随机游走过程如果d>0，平均而言过程783.平稳和非平稳时间序列经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致性”要求——被破怀。经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变量放宽该假设：X是随机变量，则需进一步假定：X与随机扰动项不相关∶Cov(X,)=0(1)平稳性与经典回归3.平稳和非平稳时间序列经典回归分析暗含着一个重要假设：数79任一随机时间按序列Y1,Y2,…,YT都可以被认为是由一组联合分布随机变量生成，即Y1,Y2,…,YT代表一个联合概率分布函数的某一特定结果。那么，一个未来的观测Yt+1可以认为是由条件概率分布函数生成，即是给定过去观测值Y1,Y2,…,YT下的Yt+1的概率分布。定义平稳过程为其联合分布和条件分布均不随时间而变化的过程。即如果Yt是平稳，则对任意的t，k和m，都有：(2)平稳过程的性质且任一随机时间按序列Y1,Y2,…,YT都可80如果时间序列Yt满足：1）均值E(Yt)=是与时间t无关的常数；

2）方差Var(Yt)=2是与时间t无关的常数；

3）协方差Cov(Yt,Yt+k)=k是只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationarystochasticprocess）。问题：白噪声过程是否平稳？随机游走过程是否平稳？

如果时间序列Yt满足：81如果Yt是随机游走过程，对Yt取一阶差分(firstdifference):Yt=Yt

−Yt-1=t由于t是一个白噪声，则序列Yt是平稳的。如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。(3)齐次非平稳过程如果一个时间序列是非平稳的，经过一次或多次差分后成为平稳序列，产生这样的非平稳序列的随机过程称为齐次随机过程。原序列转化为平稳序列所需的差分次数称为齐次的阶数。如果Yt是随机游走过程，对Yt取一阶差分(fir82如果Yt是一阶齐次非平稳过程，则序列:Wt=Yt

−Yt-1=Yt就是平稳的。如果Yt是二阶齐次非平稳过程，则序列：Wt=Yt

−Yt-1=2Yt就是平稳的。如果Yt是一阶齐次非平稳过程，则序列:83(4)单整与非单整如果一个时间序列经过一次差分变成平稳序列,也称原序列是1阶单整(integratedof1)序列,记为I(1)过程。如果经过d次差分后变成平稳序列,则称原序列是d阶单整(integratedofd),记为I(d)。

I(0)代表平稳时间序列。多次差分无法变为平稳的时间序列称为非单整的(non-integrated)。(4)单整与非单整如果一个时间序列经过一次差分变成平84只有当-1<

<1时，该随机过程才是平稳的。2)=1时,是一个随机游走过程,也是非平稳的.

1阶自回归过程AR(1)又是如下k阶自回归AR(k)过程的特例：Yt=1Yt-1+2Yt-2…+kYt-k该随机过程平稳性条件将在后面讨论。随机游走过程是1阶自回归AR(1)过程的特例Yt=Yt-1+t

1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(

<-1)，因此是非平稳的；只有当-1<<1时，该随机过程才是平稳的。85定义序列Yt的滞后期为k的自相关系数为：对于平稳过程，有：二、刻画时间序列的自相关函数1.自相关函数与Q统计量定义序列Yt的滞后期为k的自相关系数为：对于86

例如，假设随机过程是Yt=

εt，其中εt

是均值为零的独立同分布随机变量。则：ρ0

=1，且对于k>0，ρk=0成立，即Yt是白噪声过程，最好地预测报白噪声的模型是如果对所有的k

>0，序列的自相关函数为0或近似为0，则没有必要建模预测该序列。在实际应用中，需要估计自相关函数，即样本自相关函数：例如，假设随机过程是Yt=εt，其中εt是均值87为了检验自相关函数的某个数值ρk是否为0，可以用Bartlett的研究结果：如果时间序列由白噪声生成，则(对所有k>0)样本自相关系数近似地服从均值为0，标准差为的正态分布。如果某个时序由100个数据点构成，则每个自相关系数的标准误差都为0.1。因此如果某个自相关系数大于0.2，就有95%的把握认为真正的相关系数不为零。为了检验自相关函数的某个数值ρk是否为0，可以用Bart88为了检验所有k>0的自相关函数ρk都为0的联合假设，可以采用Box-Pierce的Q统计量：

Q统计量近似地服从自由度为K的

分布。如果计算出Q值大于显著性水平

下的临界值，就有的把握确信实际自相关系数

不全为0。为了检验所有k>0的自相关函数ρk都为0的联合假设，89考察序列的样本自相关函数图：2.平稳性与自相关函数kρk非平稳序列kρk平稳序列考察序列的样本自相关函数图：2.平稳性与自相关函数k90铜现货价格（月度数据）：铜现货价格（月度数据）：91铜现货价格的样本自相关函数图（月度数据）：铜现货价格的样本自相关函数图（月度数据）：92一阶差分后铜现货价格的样本自相关函数图（月度数据）：一阶差分后铜现货价格的样本自相关函数图（月度数据）：93铜现货价格的样本自相关函数图（日数据）：铜现货价格的样本自相关函数图（日数据）：94一阶差分后的铜现货价格样本自相关函数图（日数据）：一阶差分后的铜现货价格样本自相关函数图（日数据）：95一阶差分后铜现货价格的样本自相关函数图（周数据）：一阶差分后铜现货价格的样本自相关函数图（周数据）：96原理：如果月度时间序列Yt有年度的季节周期性，则序列的数据将显示每一期与它的前12期或滞后12期的一定程度的相关性。3.季节性与自相关函数方法：通过观察时间序列Yt自相关函数的有规律的峰值来识别季节性。原理：3.季节性与自相关函数方法：97tρk剔出季节变动的方法：如果月度时间序列Yt有年度的季节周期性，则对原序列进行12个月的差分：Zt=Yt−Yt-12以消除季节性。观察Zt的样本自相关函数，如果仍然是非平稳的，对Zt再进行差分以获得平稳序列。tρk剔出季节变动的方法：98给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程；而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。1.平稳性检验的图示判断三、时间序列的平稳性检验给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判99平稳时间序列与非平稳时间序列图平稳时间序列与非平稳时间序列图100进一步的判断:

检验样本自相关函数及其图形。随机时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction,ACF）：k=k

/0

自相关函数是关于滞后期k的递减函数。对一个随机过程只有一个实现(样本),因此,只能计算样本自相关函数(Sampleautocorrelationfunction)。进一步的判断:随机时间序列的自相关函数（autoco101随着k的增加，非平稳序的样本自相关函数下降缓慢，而平稳序列样本自相关函数迅速下降且趋于零。平稳时间序列与非平稳时间序列样本自相关函数图随着k的增加，非平稳序的样本自相关函数下降缓慢，102注意:

Bartlett曾证明:如果时间序列由白噪声过程生成，则对所有的k>0，样本自相关系数近似地服从以0为均值，1/T为方差的正态分布,其中T为样本数。可检验对所有k>0，自相关系数都为0的联合假设，可通过Q统计量进行。

如果计算的Q值大于显著性水平为的临界值，则有1-的把握拒绝所有k(k>0)同时为0的假设。注意:Bartlett曾证明:如果时间序列由白噪声过103从图形看：它在其样本均值0附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到0，随后在0附近波动且逐渐收敛于0。例1，序列Random1是通过一随机过程（随机函数）生成的有19个样本的随机时间序列。从图形看：它在其样本均值0附近上下波动，且样本自相关系数104由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。

根据Bartlett的理论：k~N(0,1/19)因此任一ρk(k>0)的95%的置信区间都将是：

可以看出:

k>0时，ρk的值确实落在了该区间内，因此可以接受k(k>0)为0的假设。同样地，从Q统计量的计算值看，滞后17期的计算值为26.38，未超过5%显著性水平的临界值27.58，因此,可以接受所有的自相关系数k(k>0)都为0的假设。

因此，该随机过程是一个平稳过程。

由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性105例2，序列Random2是由随机游走过程Yt=Yt-1+t生成的一随机游走时间序列样本。其中，第0项取值为0，t是由Random1表示的白噪声。例2，序列Random2是由随机游走过程Yt=Yt-1+106

样本自相关系数显示：1=0.48，落在了区间[-0.4497,0.4497]之外，因此在5%的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。

该随机游走序列是非平稳的。

图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。样本自相关系数显示：1=0.48，落在了区间[107例3，检验中国支出法GDP时间序列的平稳性1978-2000年中国支出法GDP（单位：亿元）年份GDP年份GDP19783605.6199018319.519794073.9199121280.419804551.3199225863.619814901.4199334500.619825489.2199446690.719836076.3199558510.519847164.4199668330.419858792.1199774894.2198610132.8199879003.3198711784199982673.1198814704200089112.5198916466

例3，检验中国支出法GDP时间序列的平稳性1978-2000108图形：表现出了一个持续上升的过程，可初步判断是非平稳的。

样本自相关系数：缓慢下降，再次表明它是非平稳的。图形：表现出了一个持续上升的过程，可初步判断是非平稳的。109所以，拒绝该时间序列的自相关系数在滞后1期之后的值全部为0的原假设。

结论:1978~2000年间中国GDP时间序列是非平稳序列。从滞后18期的Q统计量看：

Q

(18)=57.18>28.86=20.05所以，拒绝该时间序列的自相关系数在滞后1期之后的值全110

对时间序列的平稳性除了用图形直观判断外，用统计量进行统计检验则更为准确。

单位根检验（unitroottest）是统计检验中普遍应用的一种检验方法。(1)DF检验我们已知道，随机游走序列Yt=Yt-1+t是非平稳的，其中t是白噪声。序列可看成是随机模型Yt=Yt-1+t中参数=1时的情形。2.平稳性的单位根检验对时间序列的平稳性除了用图形直观判断外，用统计量111也就是说，对式

Yt=Yt-1+t

（*）

回归，如果确实发现

=1，就说随机变量Yt有一个单位根。（*）式可变成差分形式：

Yt=(-1)Yt-1+t=Yt-1+t

(**)检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（**）式判断是否有=0。也就是说，对式

112一般地:检验一个时间序列Yt的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型

Yt=+Yt-1+t

（*）中的参数是否小于1。

或者：检验其等价变形式

Yt=+Yt-1+t

（**）中的参数是否小于0。可以证明，（*）式中的参数>1或=1时，时间序列是非平稳的;对应于（**）式，则是>0或=0。一般地:检验一个时间序列Yt的平稳性，可通过检验带有113针对（**）式Yt=+Yt-1+t

零假设H0：=0,即原序列存在单位根；

备择假设H1：

<0;即原序列是平稳的；

上述检验可通过OLS法下的t检验完成。然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t检验无法使用。Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布（这时的t统计量称为统计量），即DF分布（见表9.1.3）。针对（**）式Yt=+Yt-1+t114通过OLS法估计

Yt=+Yt-1+t

计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较：如果：t<临界值（左尾单侧检验），则拒绝零假设H0：=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。通过OLS法估计115

DF检验的问题：在上述使用Yt=+Yt-1+t对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定时间序列是由一阶自回归过程AR(1)生成的，并且随机误差项是白噪声。

为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）检验。(2)ADF检验DF检验的问题：在上述使用(2)ADF检验116ADF检验是通过以下3个模型完成的：

检验的假设都是：H0：

=0，即存在一单位根，H1:<0。模型1与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋势项。模型1：模型2：模型3：ADF检验是通过以下3个模型完成的：检验的假设都是：117实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时检验停止。否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。

检验原理与DF检验相同，但对模型1,2,3进行检验时，有各自相应的临界值。Dicky和Fuller推导了3个模型所使用的ADF分布临界值表。实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。何时检118同时估计出上述3个模型的适当形式，然后通过ADF临界值表检验零假设H0：=0。1）只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可以认为时间序列是平稳的；2）当3个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认为时间序列是非平稳的。ADF检验过程：同时估计出上述3个模型的适当形式，然后通过ADF临界119例4，检验1978~2000年间中国支出法GDP时间序列的平稳性。1）经过偿试，模型3取了2阶滞后：通过拉格朗日乘数检验对随机误差项的自相关性进行检验：

LM(1)=0.92，LM(2)=4.16，小于5%显著性水平下自由度分别为1与2的2分布的临界值，可见不存在自相关性。例4，检验1978~2000年间中国支出法GDP时间序列120

从的系数看，t>临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值，因此不能拒绝不存在趋势项的零假设。需进一步检验模型2。从的系数看，t>临界值，不能拒绝存在单位根的零假设1212）经试验，模型2中滞后项取2阶：

LM检验表明模型残差不存在自相关性。从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值，不能拒绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型1。2）经试验，模型2中滞后项取2阶：LM检验表明模型残差不存1223）经试验，模型1中滞后项取2阶：

LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。结论：根据ADF检验结果，可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的。3）经试验，模型1中滞后项取2阶：LM检验表明模123

例5，检验关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。例5，检验关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间124

从滞后14期的Q统计量看：

CONSP与GDPP序列的Q统计量计算值均为57.18，超过了显著性水平为5%时的临界值23.68。再次表明它们的非平稳性。

就此来说，运用传统的回归方法建立它们的回归方程是无实际意义的。如果两个非平稳时间序列是协整的，则传统的回归结果却是有意义的，而这两时间序列恰是协整的。

从图形上看：人均居民消费（CONSP）与人均国内生产总值（GDPP）是非平稳的。从滞后14期的Q统计量看：从图形上看：1251)对中国人均国内生产总值GDPP来说，经过偿试，三个模型的适当形式分别为：模型3：ADF检验过程：1)对中国人均国内生产总值GDPP来说，经过