课件-高等数学课件d9-3方向导数与梯度

第九章第三节一、方向导数

机动目录上页下页返回结束二、梯度三、物理意义方向导数与梯度12/20/2022一、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l

的方向导数.在点处沿方向l

(方向角为)存在下列极限:机动目录上页下页返回结束记作12/20/2022定理:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得机动目录上页下页返回结束故12/20/2022机动目录上页下页返回结束可微二元函数为,)的方向导数为向角xoyz半平面12/20/2022机动目录上页下页返回结束例

求在原点处沿非零矢量解用定义计算：的方向导数。·12/20/2022机动目录上页下页返回结束特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向思考：第二个结果为什么是负的？12/20/2022机动目录上页下页返回结束方向导数与可微之间的关系：显然在原点即不可导也就自然不可微也。可微性,依据方向导数的定义，有12/20/2022例1.求函数

在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.机动目录上页下页返回结束解:向量l的方向余弦为12/20/2022例2.

求函数在点P(2,3)沿曲线相切且朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为机动目录上页下页返回结束·12/20/2022例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦而同理得方向的方向导数。在点P处沿求函机动目录上页下页返回结束数12/20/2022二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值方向导数取最大值：机动目录上页下页返回结束12/20/20221.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度机动目录上页下页返回结束说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量12/20/2022xoyz机动目录上页下页返回结束称为函数f的等值线（等量线）.2.梯度的几何意义等高线等值线12/20/2022机动目录上页下页返回结束则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为12/20/20223.梯度的基本运算公式机动目录上页下页返回结束函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),指向函数增大的方向.综上所述：12/20/2022机动目录上页下页返回结束例4国家大剧院的屋顶为椭球面表面光滑无摩擦，在无风的雨天，雨水落在上面向下流，求雨滴下滑曲线的方程。解

与待求投分析

雨水会沿着z变化最快方向也就是沿着与z的方向导数取得最大值的方向上看即沿着平行于函数z的梯度方向运行。流下，流下，从平面由于重力作用，12/20/2022机动目录上页下页返回结束xoyz影曲线的切矢量平行，空间曲线为：方程得平面投影曲线12/20/2022例5.证:试证机动目录上页下页返回结束处矢径r的模,12/20/2022三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.机动目录上页下页返回结束12/20/2022例6.已知位于坐标原点的点电荷q

在任意点试证证:利用例4的结果这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.机动目录上页下页返回结束12/20/2022内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为机动目录上页下页返回结束12/20/20222.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微机动目录上页下页返回结束梯度在方向l上的投影.12/20/2022思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;机动目录上页下页返回结束M(1,1,1)处切线的方向向量提示:函数沿l的方向导数12/20/2022机动目录上页下页返回结束(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向

的夹角

.提示：12/20/2022机动目录上页下页返回结束提示：2.求函数在椭球面上点处沿外法线方向的方向导数。12/20/2022补充题1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性(92考研)机动目录上页下页