2023学年浙江九年级数学上学期章节重难点知识讲义第06讲应用二次函数求解几何最值专题探究(解析版)

第6讲应用二次函数解决几何图形最值问题专题探究考点一求线段的最值【知识点睛】如图，在第一象限内抛物线上有一动点P.过点P作PD_Lx轴交AB于点D,当PD(或PH)最大时，求点P的坐标；方法：依抛物线解析式设点P坐标，因为PD〃y轴表示点D坐标，PD=yp-y»,得PD表达式为一新二次函数，根据顶点式求其最大值。(求PH最大值则可由△PHD-△AOB,将PH的长转化为PD长，再参照上法求解PH最大值)【类题训练】1.如图，二次函数(aWO)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点Q,点8的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).(1)求二次函数的解析式和直线8。的解析式；(2)点P是直线83上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M,当点尸在第一象限时，求线段尸M长度的最大值；(3)在抛物线上是否存在点。，且点Q在第一象限，使△BO。中80边上的高为a?若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.点式，由8点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得。点坐标，利用待定系数法可求得宜线8。解析式；(2)设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；(3)过。作。G〃y轴，交BD于点G,过。和于”，可设出。点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△O//G为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标.【解答】解：(1)I•抛物线的顶点C的坐标为(1,4),可设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4,；点、B(3,0)在该抛物线的图象上，.'.0=«1(3-1)2+4,解得a=-1,抛物线解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-/+2x+3,:点。在y轴上，令x=0可得y=3.工。点坐标为(0,3),可设直线BD解析式为y=£t+3,把B点坐标代入可得3k+3=O,解得％=-1,•・直线8。解析式为丁=-x+3；(2)设P点横坐标为m(//z>0),则P(孙-w+3)>M("?,-/n2+2zn+3),:・PM=-/+2m+3-(-w+3)=-m2+3w=-(m--)2+—,2 4当〃?=3,PM有最大值且：2 4(3)如图，过。作QG〃y轴交B£)于点G,交x轴于点E,作于”,：.QG=\-?+2x+3-(-x+3)|=|-?+3x|,••△80。是等腰直角三角形，：.ZDBO=45°,:.NHGQ=NBGE=45°,当△BOQ中BD边上的高为a时，即QH=HG=如,QG=>I(加产+(&)2=2,.•点。在第一象限，f+3x=2,解得x=1或x=2,：.Q(1,4)或(2,3),综上可知存在满足条件的点。，其坐标为(1,4)或(2,3).2.如图，抛物线丫=0?+灰-6与x轴相交于4,B两点,与y轴相交于点C,A(-2,0),B(4,0),在对称轴右侧的抛物线上有一动点。，连接BC,BC,CD.(I)求抛物线的函数表达式；(n)若点。在x轴的下方，设点。的横坐标为f,过点。作垂直于X轴，交BC于点凡用含有，的式子表示OF的长，并写出r的取值范围；

(III)在(II)的条件下，当△CBO的面积是9时，点〃是x轴上一点，点N是抛物线上一动点,

2是否存在点N,使得以点8,D,M,N为顶点，以80为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.0),B(4,0)代入抛物线丫=0?+加点N的坐标；若不存在，请说明理由.t-6)=t2+3t，其中lVfV4；(H)先求出直线BC的函数表达式为：y得x-6,有D(t,-^t2-|t-6)t-6)=t2+3t，其中lVfV4；(HI)由^_.(等t?+3t)X.得n=l(舍去)，Z2=3,得d(3,。)，①当(HI)由^_.(等t?+3t)X4a-2b-6=016a+4b-6=0MB=ND,@MN//BD,且MN=BD,根据平行的性质得点N4a-2b-6=016a+4b-6=0【解答】解：(I)将A(-2,0),B(4,0)代入-6得：得解得：a=|,b=-|，抛物线的函数表达式为：y抛物线的函数表达式为：y：x2亲-&(n)抛物线的对称轴为直线x=LC(0,-6),设直线BC的解析式为y=kx+in,把8(4,0),C(0,-6)代入可得:[4k+m=0,lm=-6解价m=-6,...直线BC的函数表达式为：y得x-6勺D(t，t-6),勺D(t，t-6),则F(t,-1-1-6), DF=(-yt-6)-t-6)=t2+3f其中l<r<4；(IIDy-(-^t2+3t)X化简得①如图2当MB//ND,ND时四边形BDNM即为平行四边形由对称性可知N点横坐标为解得此时n（-i四边形BDNM即为平行四边形②如图3当MN//BD化简得①如图2当MB//ND,ND时四边形BDNM即为平行四边形由对称性可知N点横坐标为解得此时n（-i四边形BDNM即为平行四边形②如图3当MN//BD过点N做NP_L此时N点纵坐标为•代入:.此时n(1-V14，)^N(1+Vl4.四边形为平行四边形N(l-Vl4.N(1+714.过点。做。尸，x轴，由题意可得NP8。时，四边形8QWV为平行四边形此时例3=NO=4,点M与点O重合，四边形3ONM即为平行四边形解得八=1（舍去），段=3一不二用兀5■回依KI取但【知识点睛】❖如图，在第一象限内，抛物线上有一动点P.当Saabp最大时，求点P的坐标；方法：①设动点P的坐标；②过点P作丫轴平行线交对边AB与一点，并表示出该交点坐标；③利用水平宽X铅垂高+2,将S“bp表示为一新二次函数，利用顶点式求其最大值。【类题训练】3.如图已知直线尸乎_1■与抛物线产加+灰+。相交于A（-1,0）,8（4,加）两点，抛物线产0?+法+©交y轴于点C（0,-S）,交x轴正半轴于。点，抛物线的顶点为2（1）求抛物线的解析式；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△出8的面积最大时，求△附8的面积及点P的坐标；备用图求出 将点A备用图求出 将点A(-1,0),B(4,§),C(0,■2 2(2)设P(〃，An2-n-旦)，则经过点P且与直线、2 2【分析】（1）将点B（4,团）代入y=A.r+A,22-3）代入y=ad+W+c,即可求函数解析式；2。=1+工■垂直的直线解析式为y=-2x+—ir+n22 2-3,直线），=1+▲与其垂线的交点G（L』+Zl1,工2+L+Jq,可求g?=近J-/+3"+4）,2 22 5 5 510 510 5当”=3■时，GP最大，此时△以8的面积最大，所以尸（3,2立），△以8的面积=JlX至近_X至返2 28 2 2 4=125.一,16【解答】解：(1)将点B(4,m)代入y=_lw+2，-222TOC\o"1-5"\h\z将点A(-I,0),B(4,❷)，C(0,-W)RAy=ajr+bx+c,2 2解得a=_L,b=-1,c=-—.\o"CurrentDocument"2 2...函数解析式为尸L2-x-1；\o"CurrentDocument"2 2(2)设P(n.A/?2-n--),\o"CurrentDocument"2 2\o"CurrentDocument"则经过点P且与直线y=L+工垂直的直线解析式为丫=-2x+X?2+n-S,22 2 2直线与其垂线的交点G（Xn2+2ji-A,-Xn2+An+_1_）, GP=^~（-M+3"+4）,\o"CurrentDocument"22 5 5 510 510 5当"=3时，GP最大,此时△印8的面积最大，2\o"CurrentDocument":.p（3,-!§.）,2 8\o"CurrentDocument"2 4 _/.△BAB的面积=_lx至近_X封£=255；\o"CurrentDocument"2 2 4 16【总结反思二次函数中斜三角形面积最大值求法】：♦如图，利用5= （a为水平宽，h为铅垂高）列出函数关系式,2根据函数的性质求出最大值.如图2,可将三角形的面积转化为求在第一象限内抛物线上的点到直线AB距离的最大值.根据直线与抛物线只有一个交点，通过根的判别式来求出最大值。考点三求周长的最值【知识点睛】如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，定点C、D在抛物线上，当矩形ABCD周长最大时，求点A的坐标；方法：①设点A坐标，表示点B、C、D坐标；②表示AB、CD的长；③将C矩形ABCD表示为一新二次函数，利用顶点式求其最大值。

❖如图，顶点A,B,C在抛物线上，在对称轴上找点P,使APBC周长最小时，点P的坐标；方法：将军饮马对称连接【类题训练】4.如图，抛物线y=o?+bx+3(a,&是常数，且。#0)与x轴交于4,8两点，与y轴交于点C.并且A,B两点的坐标分别是A(1,0),B(-3,0),抛物线顶点为D(1)①求出抛物线的解析式；②顶点D的坐标为；③直线BD的解析式为；(2)若E为线段8D上的一个动点，其横坐标为m,过点E作EFLx轴于点凡求当皿为何值时,四边形EFOC的面积最大？(3)若点P在抛物线的对称轴上，若线段抬绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点次恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标.)①把A(1,0),8(-3,0)代入y="+fer+3,即可求解;②由y=-/-2x+3=-(x+l)?+4,可求顶点坐标：③设直线8£)的解析式为y=h+b,将点8、。的坐标代入即可求解：(2)求出点EC",2/n+6),C(0,3),则S=2X(OC+EF)XOE=-(，”+旦)2+.^l.当，"=-2 4 163时，s最大值噜；(3)抛物线的对称轴为x=-1,当P点在x轴上方时，过点A作A'Mlx=-1交于点M,证明△MPC^/XQAP{AAS),则PQ=1,求得户(-1,1)；当P点在x轴下方时，△ART为等腰直角三角形，求得4Q=2,则P(-1,-2).【解答】解：(1)①把A(1,0),8(-3,0)代入y=o?+bx+3,得［a+b+3=0,19a-3b+3=0解得卜=T,lb=-2；.y=-j2-2jc+3；②；y=-X2-2x+3=-(x+1)2+4,；.£＞的坐标为(-1,4),故答案为：(-1，4)；

③设直线BD的解析式为y=kx^h,将点3、。的坐标代入得：f-3k+b=0I-k+b=4解得卜=2,[b=6直线BD的表达式为y=2x+6.故答案为：y=2x+6；(2)•.,点£的横坐标为则点E的纵坐标为2"?+6,当x=0时，y=O+O+3=3,：.C(0,3),由题意可知：0c=3,OF=-m,EF=2m+6,.\S=Ax(OC+EF)XOE=_Lx(2m+6+3)X(-WI)=-(/n+9)2+H,2 2 4 16.•.当“一3时'S最大值噜;(3)抛物线的对称轴为x=-1,当尸点在x轴上方时，如图1,过点4作A'MLx=-1交于点M,VZAM'=90°,/M*+/MCP=90°,ZMPC+ZAPQ=90°,:.ZMCP=ZAPQ,"：AP^A'P,:.XMPgXQAP(/L4S),:.PQ=MC,•••尸。=1,：.P(-1,1)；当P点在x轴下方时，如图2,'：AP^A'P,ZAB4-90°,...△ARV为等腰直角三角形，J.AQ^PQ,：.PQ=AQ=2,：.P(-I,-2)；综上所述：P点坐标为（-1,1）或（-1,-2）.

5.如图，已知抛物线y=ar2+bx+3与x轴交于A,B两点,过点A的直线，"与抛物线交于点C,其中点A的坐标是(1,0),点C的坐标是(4,3).(1)求抛物线的解析式:(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点。，使△8CO的周长最小？若存在，求出点。的坐标;若不存在，请说明理由；利用待定系数法求二次函数关系式，即可求解；(2)先求直线4C的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点(3)过点E作F£〃y轴，交宜线AC于点尸，交x轴于点尸，作的高CQ,设点E坐标为(小M-4w+3),则点F的坐标为(n,n-1),EF=\n-1-(n2-4n+3)|=-n2+5n-4,再表示出S“ce,利用二次函数配方求最大值.【解答】解：(1)将点A(1,0),点C(4,3)代入y=o?+〃x+3,得，［a+b+3=0 ,I16a+4b+c=3解得，卜=1,Ib=-4二抛物线解析式为：y=f-4x+3；(2)设直线4c的函数关系式为：y=H+m,把4、C两点坐标代入，得jk+m=0I4kH=3解得，k=T,m=-1,,・直线AC的关系式为：y=x-1,.>=^-4x+3=(x-I)(x-3),••点8坐标为(3,0)抛物线对称轴为：直线%=2,・,BC是定值，・••当8O+CQ最小时，△BCD的周长最小，TA、8是关于抛物线对称轴对称的两点，，当。是直线x=2与AC的交点时，8D+CO最小时，△8。。的周长最小，当x=2时，y=x-1=1»即当。点坐标为(2,1)时，△BCO的周长最小，(3)过点E作FE〃丁轴，交直线AC于点尸，交x轴于点P,作△EFC的高CQ,设点E坐标为(小n2-4/?+3),则点F的坐标为(小h-1),.\EF=\n-1-(w2-4〃+3)|=-/+5〃-4,*'•Smce=S^efa+S^efc=^pxjyD+AxEFXCQ=/EFX(AP4€Q)=/x3X(-n2+5n-4)=-J.(x-A)2+空TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2 8；.当_¥=立时，△ACE的面积最大，最大面积=2工，\o"CurrentDocument"2 8当x=5时，y=^-4x+3=-—,\o"CurrentDocument"2 4此时点E的坐标为($,-1).\o"CurrentDocument"2 41.如图，直线y=fcr+m与抛物线丫=-/+fer+c交于A(-1,0),B(3,-2)两点，A3与y轴交于点C,尸为直线A3上方抛物线上的动点，POLx轴交直线A8于Q, 轴交直线43于£

(1)求直线A8与抛物线的解析式;解方程组即可;将A(-1,解方程组即可;将A(-1,0),1,0).B(3,-2)代入得到方程组,B(3,-2)代入y=-』+6x+c得到方程组，解方程组即可.(2)设P(m,则D(.m,典-工)，由点E(2)设P(m,则D(.m,22分别表达尸。和PE的长度，进而可表达PD+PE的长，利用二次函数的性质可求出最值;【解答】解：(1)将A(-1,0),B(3.-2)代入得，f-k+m=013k+m=_22解得：， ],m=^2直线AB的解析式为y=-/-将4(-1,0),8(3,-2)代入y=-/+bx+c得，f-l-b+c=0l-9+3b+c=-2(bJ-2解得：:，5,c"2二抛物线的解析式为y=-7+当+且22(2)设P(m,-m2+^-m+—'),则。(m,----i),设E(a,-m2+^-in+—'),TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2 22 2 2E在直线y=-工r-A_h, -w2+.5jn+—=-Aa-A,\o"CurrentDocument"2 2 2 2 2 2.•.a=2团2-3团-6,:,PE=m-a=m-(2nr-3m-6)=-2nr+4m+6,PD=-m-(-Ajn--L)=-m2+2//j+3,\o"CurrentDocument"22 2 2

PE+PD=-2m2+4m+6-m2+2/n+3=-3m2+6w+9=-3Cm2-2m+\)+3+9=-3(m-1)2+12,/-3<0,...当加=1时，PE+P。有最大值，最大值为12,.•.PE+PO的最大值为12；2.抛物线y=-，+6x+c经过点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)如图1,点M是第一象限内抛物线上一动点，过点M作轴于点F,作MELy轴于点E,当矩形ME。/当矩形ME。/周长最大时，求M点坐标.B(3,0)代入y=-，+bx+c解方程组即可得到结论;【分析】(1)把点A(-1,0)和点-l-b+c=0-9+3b+c=0解得-l-b+c=0-9+3b+c=0解得b=2c=3->n2+2m+3),根据矩形的性质得到EM=O/(2)设M(m,-m2->n2+2m+3),根据矩形的性质得到EM=O/=m,OE=MF=-m2+2m+?>,求得矩形MEOF的周长=-2(m-J.)2+^l,当m=^i,矩形MEOF2 2 2周长最大，于是得到结论:【解答】解解：(1)把点a(-I,0)和点8(3,0)代入y=-f+fcv+c得,•••该抛物线的函数表达式为y=-/+2r+3：•.•点例是第一象限内抛物线上一动点,设MCm,-m2+2m+3),MFLx轴于点F,作MELy轴于点E,：.F(m,0),E(0,-m2+2m+3),•.,四边形MEOF是矩形，：.EM=OF=m,OE=MF=-m2+2m+3.矩形MEO尸的周长=2，"+2(-m2+2m+3)=-2m2+6m+6=-2(m-3)2+21,2 2.•.当■时，矩形MEO尸周长最大,2点坐标为(区，至)：243.如图，抛物线y=o?+6x+c经过点C(0,3),与x轴交于点A(-1,0)和点B(点B在点A的右(2)点£＞、E在直线x=l上的两个动点，且OE=1,点。在点E的上方，求四边形ACCE的周长的最小值.(3)点尸为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形CB出的面积分为3：5两部分，求点P的坐标.【分析】(1)先根据已知条件求得8点坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标；(2)把C向下移1个单位得点C',再作C'关于抛物线的对称轴的对称点C",连接AC",与对称轴交于点E,再在对称轴上E点上方取点。，使得。£=1,连接CC,此时四边形ACQE的周长最小，求出此时的最小值便可：S^pcb：S^pca=—EBX(yc-VP)：Aa£X(yc-yp)=BE：AE,即可求解.2 2【解答】解：(1)•.♦点C(0,3),OB=OC,：.B(3.0),把A、8、C三点坐标代入yud+bx+c,得a~b+c=0,9a+3b+c=0»c=3a=-l解得，,b=2»,c=3抛物线的解析式为：y=-/+2x+3,Vy=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,二顶点坐标为(1,4)；(2)把C向下移1个单位得点C',再作C'关于抛物线的对称轴的对称点C",连接AC",与对称轴交于点E,再在对称轴上E点上方取点。，使得OE=1,连接CC,则C£)=C'E=C"E,VC(0,3),：.C'(0,2),,对称轴是宜线x=l,：.C"(2,2),VA(-1,0),AC=yJl2+32=V10，AC=V(2+1)2+22=713,AE+DE+CD+AC=AE+\+C"E+y[lQ=l+410+AE+C"E=1+JI3+AC"= +71^的值最小,...四边形ACOE的周长的最小值为1+V10+V13：2 2则BE：AE=3：5或5：3,则AE=2.5或1.5,即点E的坐标为(1.5,0)或(0.5,0),将点E的坐标代入直线C尸的表达式：y=kx+3,解得：斤=-6或-2,故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3,门口一—切切fy="2x+3 fy=-6x+3联立方程组; 或; ，y=-x+2x+3y=-x+2x+3解得：x=4或8(不合题意值已舍去)，故点尸的坐标为(4,-5)或(8,-45).4.如图，已知抛物线y=-7+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点，与y轴交于点N.其顶点为£).(1)抛物线及直线AC的函数关系式；(2)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点3,七为直线AC上的任意一点，过点上作E/〃8。交抛

物线于点尸，以8,D,E,尸为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由;(3)若尸是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求的面积的最大值.(4)设点用的坐标为(3,w),直接写出使MN+M。的和最小时机的值.【分析】(1)由抛物线丫=-/+fer+c过点A(-1,0)及C(2,3)得,r-l-b+c=0,解得(b=2,得抛物线为y=-7+2r+3；又设直线为过点A(-I,0)及CI-4+2b+c=3Ic=3(2.3),得［-k+n=0,解得(k=l,得直线ac为y=x+i：12k+n=3In=l(2)由y=-f+2x+3=-(x-1)2+4,得0(1,4),当x=l时，y=x+l=2.得8(1,2),求出BD=2,设E(x,x+1),当E尸=80=2时，以8,D,E,尸为顶点的四边形为平行四边形，分两种情形讨论：①如图2,当点E在线段AC上时，点尸在点E上方，得x+3=-*+2x+3,即可求解；②当点£在线段AC(或CA)延长线上时，点尸在点E下方，则尸(x,x-1),得x-1=-/+级+3,即可求解;(3)如图2,过点尸作轴交AC于点。，交x轴干点”；过点C作CGLr轴于点G,设。(x,x+1),则P(x,-/+2x+3),表示出尸。=(-/+2x+3)-(x+l)=-/+*+2,又S"pc=S1i尸q+S^cpq——PQ*AG=—(-f+x+2)X3=-—(x--)2+2Z_,&APC的最大值为空■:2 2 2 2 8 8(4)作直线x=3,作点。关于直线x=3的对称点O',得O'坐标为(5,4),连结NO'交直线x=3于点M,此时MM.D'三点共线时，NM+MD'最小，即NM+MC最小，利用点N(0,3)