2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第四节事件的独立性、频率与概率

第四节事件的独立性、频率与概率【考试要求】.能够结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.能够结合古典概型，利用独立性计算概率.结合实例，会用频率估计概率【高考考情】考点考法：两个事件独立性的判断，独立事件公式的应用及如何用频率来估计随机事件的概率是高考命题的热点.试题一般以选择题、填空题、解答题等形式呈现.核心素养：数据分析、数学运算、逻辑推理o 一如训林理二思像激活 一。归纳•知识必备.相互独立事件的定义和性质⑴(1)定义：对任意两个事件/与8如果1(40=P(意P(个成立,则称事件力与事件6相互独立，简称为独立.(2)性质：如果力与8相互独立，那么力与7,7与8,7与力也都相互独立.＞注解1相互独立事件与互斥事件是两个不同的概念，前者是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响,后者是指在一次试验中不能同时发生的两个事件•力与8独立oP(4③=尸(4)•尸(而,而P(A+切=P(A)+尸(0却不能得到A与B互斥..频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件4发生的频率£(4)会逐渐稳定于事件A发生的概率夕储).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.可以用频率£(4)估计概率P。).(2)频率与概率的区别与联系①频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的，试验前是不能确定的.②概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在〃次试验中发生了〃，次，当试验次数〃很大时，就将色作为事n件月发生的概率的近似值，即P（A）=L.n③求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率；任何事件力的概率以⑷总介于o和1之间，即OWR/DWI,其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0..随机模拟（1）随机模拟产生的原因用频率估计概率，需要做大量的重复试验，费时、费力，甚至难以实现.（2）随机模拟的方法利用计算器或计算机软件产生随机数（根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验）.智学•变式探源1.必修二P248例12.必修二P248例21.（改变情境）袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用4表示“第一次摸到白球”,如果“第二次摸到白球”记为8否则记为C,那么事件力与4,/与。的关系是（）A.A与B,力与。均相互独立B.力与6相互独立，力与C互斥C.4与B,/与。均互斥D.力与8互斥，力与C相互独立【解析】选A.由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件4与8[与C均相互独立，且4与6,4与C均有可能同时发生，说明4与8A与。均不互斥.2.（改变数值）打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是（）14 12 3 3A・加 B.加C.-D.-【解析】选A.由题意可知甲乙同时中靶的概率为令X].1U1UZD-慧考•四基自测3.基础知识4.基本方法5.基本能力6.基本应用3.（独立事件的概念和性质）甲、乙两名射手同时向同一目标射击，设事件力：“甲击中目标”,事件6：“乙击中目标”，则事件4与事件8()A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥【解析】选A.对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件力与月相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件力与6可能同时发生，所以事件力与6不是互斥事件..(独立事件概率的求法)在某道路的4B,。三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为()TOC\o"1-5"\h\zA二 b至 C也 D也64 192 192 57625 35 45 35【解析】选C.由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为而X—X-=—..(含有“至少”问题的求法)某天上午，李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是.【解析】至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)X(1-0.80)=1-0.10X0.20=0.98.答案：0.98.(实际应用)在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,则在这段时间内线路正常工作的概率是.川I

Jb\|

♦II【解析】由题意，分别记这段时间内开关力,4能够闭合为事件4B,C这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响.根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是pCa~b~c)=pCa)pCb}pCc)=[1-P(^)][1-P(^][1-P(6)](1-0.7)(l-o.7)(l-o.7)=0.027.所以这段时间内至少有1个开关能够闭合，即使线路能正常工作的概率是1一p（4BC）=1-0.027=0.973.答案：0.973o 一、才点探究他哭■培优✓考点一事件的相互独立性 |多维探究高考考情：事件的相互独立性的判断、相互独立事件概率的计算及相互独立事件的概率是高考命题热点，试题中档.•角度1独立性的判断［典例1］（2021•新高考I卷）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立【解析】选B.设甲、乙、丙、丁事件的发生概率分别为p（冷，PS,PS„,.. .. 1 .. 5 5 .. 6 1贝P（4）- ~~, ，尸（〃）=aa=3，b 6X6 36 oXbb对于A选项，P{AC）=0;对于B选项，P（A6=7^77=白；bXb3b对于C选项，P（BO=tAt=77;对于D选项，P{CD）=0.6X6 36若两事件％r相互独立，则尸因此B选项正确.•角度2相互独立事件概率的计算2［典例2］甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为三，53 1彳，不，且各自能否被选中互不影响.则3人同时被选中的概率为；3人中恰有1人4O被选中的概率为.【解析】设甲、乙、丙能被选中的事件分别为4B,C,2 3 1则P（A）=~,P⑦=~,〃（。=三.5 4 32 32 3 13人同时被选中的概率为x-x-1To；3人中恰有1人被选中的概率为£=夕（/ACUABCUAB。25X1__5_325X1__5_3=l2•答案.—

''"10512,规律方法.两个事件是否相互独立的判断（1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.（2）定义法：如果事件46同时发生的概率等于事件力发生的概率与事件6发生的概率的积,则事件46为相互独立事件..求相互独立事件同时发生概率的步骤（1）首先确定各事件之间是相互独立的；（2）确定这些事件可以同时发生；（3）求出每个事件的概率，再求积.注意：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们可以同时发生.♦多维训练1.（多选题）分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚正面朝上”为事件甲，“第2枚正面朝上”为事件乙，”2枚结果相同”为事件丙.则（）A.事件甲与事件乙相互独立B.事件乙与事件丙相互独立C.事件丙与事件甲相互独立D.事件甲与事件乙互斥【解析】ABC.P（甲）=!,。（乙）=！，P（甲乙）=P（甲丙）=P（乙丙）=；.P（甲乙）=；=P（甲）P（乙），故甲，乙相互独立;P（甲丙）=1=p（甲）P（丙），故甲，丙相互独立;P（乙丙）=1=0（乙）P（丙），故乙，丙相互独立.故选ABC.2.甲骑自行车从4地到6地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是:，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是（）TOC\o"1-5"\h\z14 4 1A— R r,— n-3 27 9 271 2【解析】选B.由题可知，甲在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是1一鼻=-,所以所求1n.22 1 4概率为鼻X-X-=—.OOO乙/3.如图，元件4（/=1,2,3,4）通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在机N之间通过的概率是（ ）A.0.729B.0.8829C.0.864D.0.9891【解析】选B.电流能通过4,4的概率为夕(4)-m)=0.92=0.81,所以4,4不通的概率为1—0.92=0.19,4不通过的概率3)=1-0.9=0.1；并联部分不通过的概率为0.1X0.19=0.019,并联部分通过的概率为1-0.019=0.981.M,N之间通过的概率为0.981X0.9=0.8829.【加练备选】在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为J,甲胜丙的概率为｝,乙胜丙的概率为!.（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率;

(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.【解析】(1)设“甲队获第一名且丙队获第二名”为事件A,X1一X1一4X(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜.设事件B为“甲两场只胜一场”，事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为BUC,则P(BUC)=P(B)+P(C)=(xll1则P(BUC)=P(B)+P(C)=(xll1-2

=1-4X1-3+，考点二用随机事件的频率估计其概率 |讲练互动[典例3](1)随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n21001000根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是()TOC\o"1-5"\h\z7 2 11 13A.~B.TC.-D.-15 5 15 15【解析】选C由题意得，4500-200-1000=3300,所以随机调查的消费者中对网上购物3300 11“比较满意”或“满意”的概率为广诉=—.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上4500 15购物“比较满意”或“满意”的概率为2.10(2)已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15【解析】选区由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393,共5组随机数，所以所求5 1概率为而~4=0,25.（3）某校高二年级（1）、（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.（1）班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时，（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？【解析】该方案是公平的，理由如下:各种情况如表所示：-15671567826789378910由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以⑴班代表获胜的概率,（2）班代表获胜的概率―冬,即P产1.乙 乙 JL乙乙p2,机会是均等的，所以该方案对双方是公平的.，规律方法.估算法求概率（1）在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值.（2）在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率..随机数模拟试验估计概率三点注意(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本占・八、、，(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.，对点训练已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生。到9之间取整数值的随机数，指定0,1,表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为()3 114A.-B.~C.~D.~4 5 4 5【解析】选4因为4次射击中有2次及以上未击中目标的有：7140,1417,0371,6011,7610,所以所求概率为1—/.,考点三统计与概率的综合题 |讲练互动［典例4］某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25C,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出丫的所有可能值，并估计丫大于零的概率.【解析】(1)当且仅当最高气温低于25C时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，由表格数据知，最高气温低于25C的频率为2+黑36=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25,则丫=6X450—4X450=900；若最高气温位于区间［20,25),则丫=6X300+2(450—300)—4X450=300；若最高气温低于20,则丫=6X200+2(450—200)-4X450=-100.所以丫的所有可能取值为900,300,-100.当且仅当最高气温不低于20C时丫大于零，oc_|_oc_i_7-l-4由表格数据知，最高气温不低于20的频率为一 =0.8,因此丫大于零的概率的估计值为0.8.，一题多变(1)本例中，条件不变，估计六月份这种酸奶一天的需求量不低于300瓶的概率为.【解析】当且仅当最高气温不低于20c时，这种酸奶一天的需求量不低于300瓶，由表格数据知，最高气温不低于20。。的频率为36+2：尸+4 =《=o.8,所以这种酸奶一天<7V »7UO的需求量不低于300瓶的概率的估计值为0.8.答案：0.8(2)把本例中“六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶”改为“六月份这种酸奶一天的进货量为300瓶”，写出丫的所有可能值，并估计丫大于500的概率为.【解析】当这种酸奶一天的进货量为300瓶时，若最高气温不低于20℃,则丫=6X300—4X300=600；若最高气温低于20C,则丫=6X200+2(300—200)—4X300=200.所以丫的所有可能取值为600,200.当且仅当最高气温不低于20°C时丫大于500,由表格数据知，最高气温不低于20。。的频率为36+2眈7+4=0.8,yu因此Y大于500的概率的估计值为0.8.答案：0.8,规律方法.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值..随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.提醒：概率的定义是求一个事件概率的基本方法.，对点训练如图，A地到火车站共有两条路径L和Lz，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：Lx所用时间(分)10-2020-3030-4040~5050〜60选择L的人数612181212选择Lz的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L和Lz所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自