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第六节微分法的几何应用1.空间曲线的切线与法平面：对应曲线上的两点为设曲线方程为：法平面：过M0且与曲线在M0处的切线垂直的平面，切线的方向向量为其法向量，故M0处的法平面方程为：注：1.只要与成比例的向量均可作为切线的方向向量,如2.若曲线方程为y=y(x)，z=z(x),则可把x看成参数而得方向向量例1.求两个抛物柱面y=6x2,z=12x2

相交成的空间曲线在x=1/2处的切线与法平面方程。解：曲线参数方程为：则：例2.求曲线

在点

处的切线与法平面方程。解:把y,z作为x的函数，两边对

x求导,得定义1(切平面)：若曲面上过点M0

的任意一条光滑曲线在该点的切线都在同一个平面上，则称此平面为曲面在M0

处的切平面，过M0且与切平面垂直的直线称为曲面在M0

的法线。2.空间曲面的切平面与法线：

例3.已知曲面上点P处的切平面平行于平面求P点坐标。解：例4.设F(u,v)可微，证明曲面

F(cx-az,cy-bz)=0上任一点的法向量垂直于一常向量。

例5.证明曲面xyz=1在任一点的切平面与三个坐标面所围成的体积是一个常数。3.曲线的弧长定义2(弧长)设简单曲线（连续且不相交的曲线）的参数方程为：r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))tA=P0B=PnP1Pi-1Pi在曲线上介于端点A,B之间沿参数t增加方向插入n-1个分点，然后用折线相连，折线长度为若不论分点如何选取,当时，sn有确定的极限，则称曲线为可求长的曲线。称此极限s为的弧长，即:定理1（弧长的计算公式）对平面曲线:

x=x(t),y=y(t)

t,其弧长为：1.平面曲线在直角坐标系下的方程为y=y(x)，(axb)

则弧长为：2.平面曲线在极坐标系下的方程为＝()，()

则弧长为：解:例6.求摆线的一拱的弧长。例7.一根弹簧按螺线=a盘绕，共有10圈，每圈间隔10mm，求弹簧全长s。解:例8.求旋螺线x=acos，y=asin，z=b的第一周0

2的弧长。解：弧微分：设：r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))t则对应(t0,t)一段的弧长为：则

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