几何与代数：第一章 矩阵5,6节

第一章矩阵

§1.5方阵的逆矩阵

§1.5方阵的逆矩阵

一.逆矩阵的概念数n阶方阵事实

应用

1a=a1=a,aEA=AE=A,Aa

0b

s.t.ab=ba=1A

满足

?

B

s.t.AB=BA=Eba

=1,ax=c

=bc

x=1x=bax

ab

=1,xa=c

=cb

x=x1

=xab

BA=E,AX=C

=BC

X=EX=BAX

AB=E,XA=C

=CB

X=XE

=XAB

第一章矩阵

§1.5方阵的逆矩阵

注:A的逆矩阵记为A1.(教材P.21)定理1.4.A可逆A的逆矩阵唯一.1.定义:设A为方阵,若存在方阵B,使得AB=BA=E则称A可逆,并称B为A的逆矩阵2.逆矩阵的唯一性若AB

=BA=E,AC

=CA=E,则B

=BE=B(AC)=(BA)C

=EC

=C.第一章矩阵

3.可逆矩阵的基本性质设A,B为同阶可逆矩阵,数k

0.则

(1)(A1)1=A(2)(AT)1=(A1)T(3)(kA)1=k1A1(4)(AB)1=B1A1现在证明(4),只要验算①(B1A1)(AB)=E,

§1.5方阵的逆矩阵

②(AB)(B1A1)=E

第一章矩阵

二.初等矩阵是可逆矩阵1.初等矩阵的逆矩阵:(1)

E(i,j)1=E(i,j),§1.5方阵的逆矩阵

(2)E(i(k))1=E(i(k1)),(3)E(i,j(k))1=E(i,j(k)).例如3阶初等矩阵E(1,3(5))=1

05

010

001,E(1,3(5))=1

05

010

001,1

05

010

0011

05

010

001.=1

00010

001即:初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵第一章矩阵

2.注：§1.5方阵的逆矩阵

*

*

*

*

*

*

0

0

0

=

.1

00010

001

*

***

*

*

****

*

*

*

*

*

000

可逆矩阵中不会有零行.(2)A(1)初等行变换若A可逆U可逆行最简形U

=P1P2…PsA

U中不会有零行

=E

U=1

0…001…0

00…1

…………=P1P2…PsA

A

=Ps1…P21P11

为初等矩阵的乘积.两边同时左乘(Ps1…P21P11)第一章矩阵

3.矩阵与其标准形的关系定理1.6.

设A是mn矩阵,则存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q使得

A=PQ.三.求逆矩阵的方法:用初等行变换§1.5方阵的逆矩阵

定理1.5.

A可逆A可写成初等矩阵的乘积.第一章矩阵

设A可逆,则A可以经过有限次初等行变换化为行最简形——单位矩阵E.A…E

(A

E)…(E

?)P1(A

E)P2P1(A

E)Pl-1…P2P1(A

E)PlPl-1…P2P1(A

E)P1AP2P1APl-1…P2P1APlPl-1…P2P1A(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1)?=A1§1.5方阵的逆矩阵

第一章矩阵

§1.5方阵的逆矩阵

例.设A=,求A1.(教材P.24)123100221010343001解:初等行变换1001320103/235/2001111故A1=

1323/235/2

111.123221343第一章矩阵

§1.5方阵的逆矩阵

四.初等变换的应用之一:解矩阵方程设A可逆,则A可以经过有限次初等行变换化为行最简形——单位矩阵E.下面用初等变换解矩阵方程AX=B.注意到X=A1B.(A

B)…(E

?)P1(A

B)P2P1(A

B)Pl-1…P2P1(A

B)PlPl-1…P2P1(A

B)(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1B)?=A1B=X第一章矩阵

§1.5方阵的逆矩阵

123252213134343解:初等行变换100320102300113故X=

3223

13.例.设A=123221343,,B=253143求矩阵X使AX=B.第一章矩阵

§1.5方阵的逆矩阵

注:XA=B化为ATXT=BT,用上述方法可求出

XT,从而得到X.初等列变换当上面化为单位矩阵时,下面就是矩阵方程XA=B的解了.ABEX=AP1P2…Pl-1PlBP1P2…Pl-1Pl

=AA1

BA1

注意到XA=B的解是X=BA1.也可以用下面的方法直接求解.第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2

(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21

当a11a22a12a210时,a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2b1a21.第一章矩阵

§1.6方阵的行列式a11a12a21a22记D=,b1

a12b2a22D1=,a11b1a21

b2D2=,则当D=a11a22a12a210时,,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21有唯一解x2=a11a22a12a21a11b2b1a21第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

1阶方阵A=[a11]的行列式|A|定义为a11.a11a12a21a222阶方阵A=的行列式|A|定义为a11a12a21a22|A|==a11a22

a12a21.a11a12a21a22a11(1)1+1a22+a12

(1)1+2a21

a11a12a21a22一.行列式的定义a11

a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33a11的余子式:a22a23

a32a33M11=代数余子式:A11=(1)1+1M11

a12的余子式:a21a23a31a33M12=代数余子式:A12=(1)1+2M12

a13的余子式:M13=代数余子式:A13=(1)1+3M13

a21a22a31a32a11

a12

a13

a21a22

a23a31

a32

a33第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

3阶方阵A=的行列式|A|定义为a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33|A|=a11

a12

a13

a21a22

a23a31

a32

a33=a11A11

+a12A12

+

a13A13

=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13a22a31.第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

注:二阶行列式和三阶行列式的对角线法则:a11a12a21a22=a11a22

a12a21

a11

a12

a13

a21

a22

a23a31

a32

a33=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13

a22

a31

.第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

一般地,在n阶行列式中,将元素aij所在的第i行和第j列划去,剩下来的n1阶行列式称为元素aij的余子式,记作Mij,令Aij

=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式.例如,四阶行列式中a32的余子式为a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a11

a13

a14

a21

a23

a24

a41

a43

a44M32=,代数余子式A32

=(1)3+2M32=M32.第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

补充.

数学归纳法1.

第一数学归纳法原理:则P对于任意的自然数nn0成立.设P是一个关于自然数n的命题,若①P对于n=n0成立.②当nn0时,由“n=k时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

2.

第二数学归纳法原理:设P为一个关于自然数n的命题,若

①P对于n=n0成立,②由“n0

n

k时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,则P对于任意的自然数nn0成立.第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

a11

a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=a11A11+a12A12+…+a1nA1n

假设n1阶行列式已经定义,=a11(1)1+1M11

+a12(1)1+2M12

+…+

a1n(1)1+nM1n

n1阶行列式

P.-S.Laplace[法](1749.3.23~1827.3.5)

则定义n阶行列式第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

例.下三角形行列式a11

0

…0a21

a22

…0…………an1

an2…ann

=a11a22…ann

.例.上三角形行列式a11a12…a1n

0

a22…a2n…………0

0

…ann=a11a22…ann

.第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

二.行列式的性质性质1.互换行列式中的两列,行列式变号.推论.若行列式D中有两列完全相同,则

D=0.a11a12a21a22例如=a11a22

a12a21,a12

a11

a22

a21=a12a21a11a22.1

1

2

2D==1

1

2

2

=D

D=0.第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

性质2.(线性性质)(1)det(1,…,kj,…,n)=kdet(1,…,j,…,n);(2)det(1,…,j+j,…,n)=det(1,…,j,…,n)+det(1,…,j,…,n).

例

(1)设A为n阶方阵,则det(A)=____det(A).(1)n

(2)a+b

c+d

u+v

x+y

=[].①a

c

u

x

+b

d

v

y

?,②a

c

u

x

+a

d

u

y

+b

c

v

x

+b

d

v

y

.第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

推论.若行列式D中有两列元素成比例,则

D=0.a11…a1i…ka1i…a1n

a21

…a2i…ka2i

…a2n…………………an1…ani…kani…ann=k0=0.=ka11…a1i…a1i…a1n

a21

…a2i…a2i

…a2n…………………an1…ani…ani…ann第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

性质3.把行列式的某一列的k倍加到另一列上去,行列式的值不变.a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1n

a21

…(a2i+ka2j)…a2j

…a2n…an1…(ani+kanj)…anj…ann=a11…a1i…a1j…a1n

a21

…a2i…a2j

…a2n…an1…ani…anj…ann+a11…ka1j…a1j…a1n

a21

…ka2j…a2j

…a2n…an1…kanj…anj…ann第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

例.124221342(2)

104=2613102=14.4

100=26731014注:用定义或对角线法则计算得上列结果.第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

性质4.设A,B为同阶方阵,则|AB|=|A||B|.性质5.|AT|=|A|.注:根据性质5,前面所述关于行列式列的性质对行的情形也成立.例如:性质1’.互换行列式中的两行,行列式变号.第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

定理:n阶行列式D等于它的任意一行(列)

的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.(教材P.33,定理1.7),即

D

=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n

=…=an1An1+an2An2+…+annAnn

=a11A11+a21A21+…+an1An1

=a12A12+a22A22+…+an2An2

=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

性质6.ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i

j)

a1iA1j

+a2iA2j

+…+aniAnj

=0(ij).P.34,定理1.8.设D=|[aij]|,则aikAjk=Dij,k=1nakiAkj=Dij.k=1n注:克罗内克记号ij=1,i=j0,ijL.

Kronecker[德](1823.12.7~1891.12.29)第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

三.行列式的计算1.二,三阶行列式—对角线法则.2.利用行列式性质化为三角形行列式.(其中n

2,x

a).Dn=x

a…aa

x…a………a

a…x例计算n阶行列式第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

Dn=x

a…aa

x…a………a

a…xx+(n1)a

a…ax+(n1)a

x…a………x+(n1)a

a…x=解:…×(1)…x+(n1)a

a

a…a

a0xa0…0000xa…00………………000…xa0000…0xa

==[x+(n1)a](xa)n1.第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

3.按某一行(列)展开—降阶.4.递推/归纳.(未写出的元素都是0).例.计算2n阶行列式D2n=a

ba

bc

dc

d…………第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

解:D2n==a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b............a00aabcdd00d

...…0bb00cc0….........……第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

=a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b=adD2(n1)bcD2(n1)=(adbc)D2(n1)=(adbc)2D2(n2)=(adbc)3D2(n3)=…=(adbc)n1

D2=(adbc)n.第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

例.证明n阶(n2)范德蒙行列式Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1=(aiaj).ni>j1注意观察上例特点(教材P35例1.25)第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)现设等式对于(n1)阶范德蒙行列式成立,则证明:当n=2时,D2=a2a1Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1(a1)(a1)(a1)…第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

=(a2a1)(a3a1)…(ana1)11…1a2

a3…an

…………a2n-2

a3n-2…ann-2=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)=(a2a1)(a3a1)…(ana1)(aiaj)ni>j2=(aiaj).ni>j1第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

四.行列式的应用设A=[aij]nn为方阵,元素aij的代数余子式为Aij,则称如下矩阵A*=A11

A21…An1A12

A22…An2

…………A1n

A2n…Ann为方阵A的伴随矩阵1.伴随矩阵与逆矩阵第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

例.求A=a

b

c

d

的伴随矩阵.解:A11=d,A21=b,A12=c,A22=a.A*=A11

A21

A12

A22

=d

b

c

a

.第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

例.设A为方阵,A*为其伴随矩阵.

证明:AA*=A*A

=|A|E.证明:AA*=a11…a1n

an1…ann

……A11…An1A1n…Ann

……=nna1kA1k…a1kAnk

k=1k=1

nnankA1k…ankAnk

k=1k=1……=|A||A|….第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

定理(P.38).方阵A可逆的充分必要条件是|A|0.

当|A|0时,有

A1=|A|1A*.推论.设A,B为方阵,若AB=E(或BA=E),

则B=A1.事实上,AB=E|A|0A可逆B=EB=(A1A)B=A1(AB)=A1E=A1.A非奇异第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

例求下列方阵的逆矩阵.(1)A=1

234,1

232