高考2013年重庆市高考数学复习资料绝对经典全面

2013年重庆高考数学大纲公式答题技巧复习目录考点1集合与简易逻辑典型易错题会诊命题角度1集合的概念与性质命题角度2集合与不等式命题角度3集合的应用命题角度4简易逻辑命题角度5充要条件探究开放题预测预测角度1集合的运算预测角度2逻辑在集合中的运用预测角度3集合的工具性预测角度4真假命题的判断预测角度5充要条件的应用考点2函数(一)典型易错题会诊命题角度1函数的定义域和值域命题角度2函数单调性的应用命题角度3函数的奇偶性和周期性的应用命题角度4反函数的概念和性质的应用探究开放题预测预测角度1借助函数单调性求函数最值或证明不等式预测角度2综合运用函数奇偶性、周期性、单调进行命题预测角度3反函数与函数性质的综合考点3函数(二)典型易错题会诊命题角度1二次函数的图象和性质的应用命题角度2指数函数与对数函数的图象和性质的应用命题角度3函数的应用探究开放题预测预测角度1二次函数闭区间上的最值的问题预测角度2三个“二次”的综合问题预测角度3含参数的对数函数与不等式的综合问题考点4数列典型易错题会诊命题角度1数列的概念命题角度2等差数列命题角度3等比数列命题角度4等差与等比数列的综合命题角度5数列与解析几何、函数、不等式的综合命题角度6数列的应用探究开放题预测预测角度1数列的概念预测角度2等差数列与等比数列预测角度3数列的通项与前n项和预测角度4递推数列与不等式的证明预测角度5有关数列的综合性问题预测角度6数列的实际应用预测角度7数列与图形考点5三角函数典型易错题会诊命题角度1三角函数的图象和性质命题角度2三角函数的恒等变形命题角度3三角函数的综合应用探究开放题预测预测角度1三角函数的图象和性质预测角度2运用三角恒等变形求值预测角度3向量与三角函数的综合考点6平面向量典型易错题会诊命题角度1向量及其运算命题角度2平面向量与三角、数列命题角度3平面向量与平面解析几何命题角度4解斜三角形探究开放题预测预测角度1向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合预测角度2平面向量为背景的综合题考点7不等式典型易错题会诊命题角度1不等式的概念与性质命题角度2均值不等式的应用命题角度3不等式的证明命题角度4不等式的解法命题角度5不等式的综合应用探究开放题预测预测角度1不等式的概念与性质预测角度2不等式的解法预测角度3不等式的证明预测角度4不等式的工具性预测角度5不等式的实际应用考点8直线和圆典型易错题会诊命题角度1直线的方程命题角度2两直线的位置关系命题角度3简单线性规划命题角度4圆的方程命题角度5直线与圆探究开放题预测预测角度1直线的方程预测角度2两直线的位置关系预测角度3线性规划预测角度4直线与圆预测角度5有关圆的综合问题考点9圆锥曲线典型易错题会诊命题角度1对椭圆相关知识的考查命题角度2对双曲线相关知识的考查命题角度3对抛物线相关知识的考查命题角度4对直线与圆锥曲线相关知识的考查命题角度5对轨迹问题的考查命题角度6考察圆锥曲线中的定值与最值问题探究开放题预测预测角度1椭圆预测角度2双曲线预测角度3抛物线预测角度4直线与圆锥曲线预测角度5轨迹问题预测角度6圆锥曲线中的定值与最值问题考点10空间直线与平面典型易错题会诊命题角度1空间直线与平面的位置关系命题角度2空间角命题角度3空间距离命题角度4简单几何体探究开放题预测预测角度1利用三垂线定理作二面角的平面角预测角度2求点到面的距离预测角度3折叠问题考点11空间向量典型易错题会诊命题角度1求异面直线所成的角命题角度2求直线与平面所成的角命题角度3求二面角的大小命题角度4求距离探究开放题预测预测角度1利用空间向量解立体几何中的探索问题预测角度2利用空间向量求角和距离考点12排列、组合、二项式定理典型易错题会诊命题角度1正确运用两个基本原理命题角度2排列组合命题角度3二项式定理探究开放题预测预测角度1在等可能性事件的概率中考查排列、组合预测角度2利用二项式定理解决三项以上的展开式问题预测角度3利用二项式定理证明不等式考点13概率与统计典型易错题会诊命题角度1求某事件的概率命题角度2离散型随机变量的分布列、期望与方差命题角度3统计探究开放题预测预测角度1与比赛有关的概率问题预测角度2以概率与统计为背景的数列题预测角度3利用期望与方差解决实际问题考点14极限典型易错题会诊命题角度1数学归纳法命题角度2数列的极限命题角度3函数的极限命题角度4函数的连续性探究开放题预测预测角度1数学归纳法在数列中的应用预测角度2数列的极限预测角度3函数的极限预测角度4函数的连续性考点15导数及其应用典型易错题会诊命题角度1导数的概念与运算命题角度2导数几何意义的运用命题角度3导数的应用探究开放题预测预测角度1利用导数的几何意义预测角度2利用导数探讨函数的单调性预测角度3利用导数求函数的极值和最考点16复数典型易错题会诊命题角度1复数的概念命题角度2复数的代数形式及运算探究开放题预测预测角度1复数概念的应用预测角度2复数的代数形式及运算考点7不等式不等式的概念与性质均值不等式的应用不等式的证明不等式的解法不等式的综合应用不等式的概念与性质不等式的解法不等式的证明不等式的工具性不等式的实际应用典型易错题会诊命题角度1不等式的概念与性质1．(典型例题)如果a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是()A．ab>acB．c(b-a)>0C．cb2<ab2D．dc(a-c)<0[考场错解]A∵b>c，而ab，ao不一定成立，原因是不知a的符号．[专家把脉]由d>b>c，且ac<0．则。与c必异号，又由a>c，故a>0，c<0，条件分析不透．[对症下药]C．由a>b>c且ac>0，故a>0且c<0．(1)由b>c，又∵a>0，∴ab>ac．(2)∵b-a<0，c<0(b-a)·c>0，D．a-c>0，ac<Oac(a-c)<0，而C中当b=0时显然不成立，故选D2．(典型例题)若，则下列不等式①a+b>ab;②|a|>|b|；③a<b④中，正确的不等式有()A．1个B．2个C．3个D．4个[考场错解]A只有①正确，②、③显然不正确，④中应是≥2，故④也错．[专家把脉]∵④中忽视与不可能相等，∵a≠b，故≠．[对症下药]B方法1：运用特值法，如a=-，b=-3．方法2：运用性质由，则b<a<0，故而判断．3．(典型例题)对于0<a<1，给出下列四个不等式①loga(1+o)<loga(1+)②1oga(1+o)>loga(1+)③a1+a<a④a1+a>a其中成立的是()A.①与③B．①与④C.②与③D．②与④[考场错解]B∵1+a<1+，故1oga(1+a)<loga(1+)．[专家把脉]对数函数比较大小要考虑底数a的范围，它与指数函数一样．[对症下药]D∵0<a<1．∴a<1<∴1+a<1+而y=1ogax与y=ax均为减函数．∴1oga(1+a)>1oga(1+)，a1+a>a．4．(典型例题)已知实数a、b满足等式，下列五个关系式①0<b<a②a<b<0③0<a<b④b<a<0⑤a=b其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个[考场错解]C∵a=b显然不成立，而a与b的大小不定，故①②③④只有可能两个成立，故有3个不可能成立，即alg=big，-a1g2=-blg3．又∵1g2<1g3，∴-a>-b，∴a<b，故②③正确．[专家把脉]题目中不可能成立，⑤中当a=b=0时，，所以有可能成立．[对症下药]B由错解中可知a《b，故②③正确．而a=b=0时也可能成立，故不可能成立的只有①④．专家会诊(1)比较两个实数的大小，可采用作差和作商法，然后适当变形(如配方、因式分解等)后才能判断其符号．(2)不等式性质的适用时要注意它的条件，如“ab>0时，a>b”．不能弱化条件变成“”也不能强化条件变为“a>b>0”考场思维训练1若，|a|>，|b|>0，且ab>0，则下列不等式中能成立的是()A．B．C．D．答案：C解析：利用特值法可看出某些选择不能成立，而事实上，∵|a|，|b|>0，又0<<1，∴10g|a|<log|b|，由此也可直接得结论，应选C2已知a、b为不等正数，s<t<0，M=，N=，则M、N的大小关系是_________.答案：M>N解析：由>0，得，由s<t<00<-t<-s，故命题角度2均值不等式的应用1．(典型例题)设a>，0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是()A．B．C．D．[考场错解]Di不一定大于或等于[专家把脉]D中直接放缩显然不易比较．[对症下药]BA：a+b≥2ab,∴成立C：a2+b2+2=a2+1+b2+1≥2a+2b(当且仅当a=b=1时取“=”)∴成立D：两边平方|a-b|≥a+b-2∴a-b≥a+b-2或a-b≤-a-b+2当时显然成立．解得a≥b或a≤b∴成立．2．(典型例题)设x∈(0，π)，则函数f(x)=sinx+的最小值是()A．4B．5C．3D．6[考场错解]因为x∈(0，π)，所以sinx>0，>0，f(x)=sinx+=4，因此f(x)的最小值是4．故选A[专家把脉]忽略了均值不等式a+b≥2(a.0，b>0)中等号成立的条件：当且仅当a=b时等号成立．事实上，sinx=不可能成立，因为它成立的条件是sinx=±2，这不可能．[对症下药](1)f(x)=sinx+=sinx++，因为sinx+≥2，当且仅当sinx=1即x=时等号成立．又≥3，当且仅当sinx=1即x=时等号成立．所以f(x)=sinx+≥2+3=5，f(x)的最小值是5．故应选B．(2)令sinx=t，因为x∈(0，π)，所以0<t≤1，所给函数变为y=t+．易知此函数在区间(0，1)上是减函数，所以，当t=1时，y取最小值5．故应选B．3．(典型例题)设a≥0，b≥0，a2+=1，求a的最大值．[考场错解]0ii(a=0时取等号)[专家把脉]并非定值．[对症下药]为利用均值不等式时出现定值，先进行适当的“凑、配”．时取“=”.专家会诊利用均值不等式求最值时必须满足“一正”、二定、三等”.尤其是等号成立的条件,必须验证确定,而要获得定值条件有时要配凑.要有一定的灵活性和变形技巧.利用均值不等式解决实际问题、证明不等式时,要会利用函数的思想和放缩法.考场思维训练1已知答案：B解析：联立解得：若ab+bc+ca取最小值，可令b=则ab+c+ca=___________.答案：解析：a≤b<c∵≥，0<m<1∴10gm≤logmx+logmy，,∴a≤b，又∵∴=1．又∵0<m<1，∴b<c.故a≤b<c.3.答案：解析：∵x2(1-3x)=x·x·(-2x)≤，当且仅当x=-2x，即x=时，取得最大值命题角度3不等式的证明1.(典型例题)设函数(Ⅰ)证明:当0<a<b,且f(a)=f(b)时,ab>1;(Ⅱ)点P(xo,yo)(0<xo<1)在曲线y=f(x)上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用xo表示).(2)∴f′曲线y=f(x)在点即[专家把脉]在运用不等式时应考虑等号成立时是否符合条件.[对症下药](Ⅰ)证法一:因f(x)=证法二:(Ⅱ)解法一:0<x<1时,∴f′解法二:设过点P(xo,yo)处的切线方和为:y-yo=k(x-xo),k为待定系数.代入并整理得kx2+(yo+1-kxo)x-1=0.因为P是切点，所以方程有重根，故判别式2．(典型例题)已知求证：[考场错解][专家把脉]在证[对症下药](1)同上.综上(1),(2)得：3．(典型例题)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0),若函数y=f(x)的图象与直线y=x和y=-x均无公共点。[考场错解](1)∵f(x)的图象与y=x,y=-x均无公共点，(2)[专家把脉]在运用二次函数的性质证明不等式时，忽视了a>0与a<0两种情况的讨论。[对症下药](1)同错解(1)(2)由=综上所述不等式成立专家会诊证明不等式，要掌握不等式的证明基本方法，如分析法、综合法、放缩法、函数法、反证法、换元法等.对不等式与数列、函数方和程、导数等内容的综合证明题，难度较大，要结合性质与不等式的基本证明方法相结合，灵活解题，也体现了不等式的工具性，是高考命题的趋势。考场思维训练1．已知函数(1)若f(x)在x=1和x=3处取得极值，试求b、c的值；答案：解析：(1)f′(x)=x2+(b-1)x+c，由题意得，1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的两根(2)若f(x)在(-∞,x1)∪(x2,+∞)上单调递增且在(x1,x2)上单调递减，又满足x2-x1>1.求证：b2>2(b+2c)；答案：由题意得，当x∈(-∞，x1)∪(x2，+∞)时，f′(x)>0；x∈(x1，x2)时f′，(x)<0，∴x1，x2是方程f′，(x)=x2+(b-1)x+c的两根，则x1+x2=1-b，x1x2=c，∴b2-2(b+2c)=b2-2b-4c=(b-1)2-4c-1=(x1+x2)2-4x1x2-1=(x2-x1)2-1．∵x2-x1>1，∴(x2-x1)2-1>0，∴b2>2(b+2c)．(3)在(2)的条件下，若t<x1,试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明。答案：在(2)的条件下，x2+(b-1)x+c=(x-x1)(x-x2)，即x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+x，所以t2+bt+c-x1=(t-x1)(t-x2)+t-x1=(t-x1)(t+1-x2)，∵x2>1+x1>1+t，∴t+1-x2<0，又t<x1，∴t-x1<0，∴(t-x1)(t+1-x2)>0，即t2+bt+c>x1.2．已知数列问是否存在m∈N,使xm=2,并证明你的结论；答案：假设存在m∈N*，使xm=2，则2=xm-1=2，同理可得xm-2=2，以此类推有x1=2，这与x1=1矛盾，故不存在m∈N*，使xm=2．试比较xn与2的大小关系；设答案：当n≥2时，xn+1，-2=-2==-，则xn>0，∴xn+1-2与xn-2符号相反，而x1=1<2，则x2>2，以此类推有：x2n-1<2，x2n>2；(3)命题角度4不等式的解法1．(典型例题)在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x成立，则a的范围是()[考场错解]A[专家把脉]对x⊗y=x(1-y)的运算关系式理解不清。[对症下药]DearDiana,Thankyouforthelovelydaywehavewithyou.ItwassokindforyoutoletusbringAnne'shadoffriend.Gina.Unfortunate,theonlyproblemwasthejourneyhome.Therehadbeenaterrible

Unfortunatelyaccidentonthehighwayand,foraresult,therewasalonglineoftrafficforatleastsixmile.Inasmilestheend,wedrovetoaservicestationandwaitedthereunlesstheroadwasclear.Inthecarparkuntilhere,Ginanearlygotknockedoveras∧cardroveoutfartooquicklyfrombehindalorry.TheythereaWefinallydroppedGinaoffatherparents'andmadeourownwaytohome.2．(典型例题)已知函数f(x)求函数f(x)的解析式；设k>1,解关于x的不等式：[考场错解][专家把脉](2)问中两边约去(2-x),并不知2-x的符号.[对症下药](1)同错解中(1)当1<k<2,解集为x∈(1,k)∪(2,+∞);当k=2时，不等式为(x-2)2(x-1)>0解集为x∈(1,2)∪(2,+∞);③当k>2时，解集为x∈(1,2)∪(k,+∞).3.(典型例题)设函数f(x)=kx+2,不等式|f(x)|<6的解集为(-1,2)试求不等式的log的解集。[考场错解]当k>0时，k≤2,当k<0,k≥-4.∴k=2或-4.当k=2时f(x)=2x+2,当k=-4时f(x)=-4x+2再由解对数不等式。[专家把脉]在求k的值时分析讨论不严密，上式中是在x∈(-1,2)时恒成立，而k的值并不能使之成立.[对症下药]∵|kx+2|<6,∴(kx+2)2<36,即k2x2+4kx-32<0.由题设可得解得k=-4,∴f(x)=-4x+2.

①

②③①解得由②解得x<1,由③得4．(典型例题)设对于不大于[考场错解]A={x|a-b<x<a+b},故[专家把脉]在求b的范围时，应考虑必成立的条件，如才能上式恒成立.[对症下药]∵A={x|a-b<x<a+b},专家会诊解分式不等式时，应将化为等价的整式不等式，避免分类讨论。含绝对值的不等式应运用平方法，零点分段法、分类讨论及绝对值不等式的性质求解。考场思维训练1关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式的解集是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(1,2)D(-∞,1)∪(2,+∞)答案：A解析：a>0-且=1，>0(x+1)(x-2)>0x<-1或x>2．2.若答案：(-1，cosα)∪(-cosα，1)解析：∵<a<π，∴0<sinα<1，logsinα(1-α2)>20<1-x2<sin2αcos2α<x2<1，又cosα<0．∴-1<x<cosα或-cosα<x<1．3．解不等式答案：解析：①当x>0时，原不等式为>x>1,∴x>1②当x<0时，原不等式为(x+1)·(2x-1)>0且x<0，∴x<-1．综上①，②可得{x|x<-1或x>1}．命题角度5不等式的综合应用1．(典型例题)已知函数f(x)=ax-(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)设0<a[考场错解](1)由于f(x)的最大值不大于又由①，②可得a=1.(Ⅱ),当n=1时，0<a1<,结论成立。假设［专家把脉］在证明不等式时，运用放缩法应有理论依据，不能套结论，而且放缩不能过大或过小.［对症下药］(Ⅰ)解法：由于由①②得a=1.(Ⅱ)证法一：当可知，对任何n∈N成立。证法三：由①②知当n=k+1时，不等式2.(典型例题)六·一节日期间，某商场儿童柜台打出广告：儿童商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：（如表所示）消费金额（元）[200，400][400,500][500,700][700,900]…获奖券的金额（元）3060100130…依据上述方法，顾客可以获得双重优惠.试问：若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？对于标价在[500，800]内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？[考场错解](1)设商品的标价为x元，则500≤x≤800,由已知得[专家把脉]商品的标价为x元，而消费额在[500×0.8,800×0.8]之间，而不是500~800之间.[对症下药](1)同上设商品的标价为x元，则500≤x≤800,消费额：400≤0.8x≤640.由已知得：①或②解不等式①无解，②得：625≤x≤750.专家会诊1．应用不等式的性质与几个重要不等式求出数的最值，比较大小，讨论参数的范围等，一定要注意成立的条件，易忽视“一正、二定、三等。”2．运用不等式解决实际问题时，首先将实际问题转化为函数的最值问题，从而运用不等式求最值，注意成立时的实际条件与不等式成立条件应同时考虑。考场思维训练答案：D解析：∵1<<，由倒数法则0<b<a<1．∵logab>logtba=1，∴0<logba<1，∴A、B、C都不正确、而|logab|+|logba|>|logab+logba|．故选D．2已知不等式x2-2x+a>0时，任意实数x恒成立，则不等式a2x+1<ax2+2x-3<1的解集是()A.(1,2)B.C.(-2,2)D.(-3,-2)答案：D解析：∵x2-2x+a>0对x∈R恒成立．△<0，即a>1．∴不等式(a2x+1<ax2+2x-3<1∴x∈(-3，-2)．故选D．3.某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q=已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年产1万件此产品仍需再投入32万元，若销售额为“年生产成本的150%”与“年广告费的50%”之和，而当年产销量相等。试将年利润P万元表示为年广告费x万元的函数；答案：(1)P=(32Q+3)·150％+x·50％-(32Q+3)-x=-+49．5(x>0)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？答案：P=-()+49．5≤-2×4+49．5=41．5，当且仅当x=时，即x=8时，P有最大值41．5万元．探究开放题预测预测角度1不等式的概念与性质1．下列命题正确的是()[解题思路]利用均值不等式成立的条件判断。[解答]D对于A，当a、b同为负数时也成立；对于B，当a、b、c中有一个为0，其余为正数时也成立；对于C，当a、b、c∈(0，1)时也成立；D正确。2．已知a=sin15.+cos15.,b=sin16.,则下列各式中正确的是()[解题思路]利用两角和与差的公式化简b、a、然后再比较大小.[解答]B预测角度2不等式的解法1．关于x的不等式x|x-a|≥2a2(a∈(-∞,0)的解集为()A.[-a,+∞]B.[a,+∞]C.[2a,a]∪[-a+∞]D.(-∞,a)[解题思路]讨论a、x的大小，去绝对值符号.[解答]A当x>a,x2-ax-2a2≥0,∴x≥-a.当x<a,不等式显然无解.2.函数y=f(x)是圆心在原点的单位圆的两段圆弧(如图，与y轴无交点)，则不等式f(x)<f(-x)+x的解集为()[解题思路]由f(x)为奇函数，原不等式变形为f(x)>.即可求解。[解答]A由已知有f(x)为奇函数，则原不等式变形为f(x)<画图可知A正确，所以选A3．函数则使g(x)≥f(x)的x的取值范围是[解题思路]利用数形结合法.[解答]D用数形结合法，分别作出f(x)=sinx和g(x)=-94.解关于x的不等式[解题思路]本题的关键不是对参数a进行讨论，而是取绝对值时必须对未知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。[解答]当x≥a时，不等式可转化为预测角度3不等式的证明1．已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：(1)对于任意x∈[0,1]总有f(x)≥0;(2)f(1)=1;(3)若x1≥0,x2≥0,x1+xz≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).(Ⅰ)试求f(0)的值；(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值；(Ⅲ)试证明：当x∈[解题思路](1)赋值法；(2)变形f(x2)=f[(x2-x1)+x1],即可求函数f(x)的最大值；[解答](Ⅰ)令得f(0)≥0,∴f(0)=0.(Ⅱ)任取(Ⅲ)设y=f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)成立，数列{an}满足a1=f(0),且f(an+1)=(1)判断y=f(x)是否为单调函数，并说明理由；(2)(3)若不等式[解题思路](1)利用函数的单调性证明;(2)裂项法求出Tn再解不等式；(3)利用函数的单调性求k的最大值.[解答](1)设(3)由预测角度4不等式的工具性1．若直线2ax-by+2=0(a、b>0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则的最小值是()A.4B.2C.D.[解题思路]利用重要不等式求最小值。[解答]A直线2ax-by+2=0过圆心(-1,2),∴a+b=1,2.已知函数f(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定的负数a有一个最大的正数l(a),使得在整个区间[0,l(a)]上，不等式|f(x)|≤5恒成立，则l(a)的最大值是()[解题思路]考虑区间[0，l(a)]的端点处不等式|f(x)|≤5恒成立.3.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),已知f(1)=0,且存实数m,使f(m)=-a.试推断f(x)在区间[0，+∞]上是否为单调函数，并说明你的理由；设g(x)=f(x)+bx,对于x1，x2∈R,且x1≠x2,若g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范围；求证：f(m+3)>0.[解题思路]由二次函数的对称轴两边为单调的性质判断；(2)由根与系数的关系求出a、b、c的关系，从而转化为二次函数的最值；[解答](1)∵f(m)=-a,m∈R.∴方程ax2+bx+c+a=0有实根⇒∆=b2-4a(a+c)≥0∵f(1)=0,∴a+b+c=0,即a+c=-b.∴b2-4a·(-b)=b(b+4a)≥0.∵a>b>c,∴a>0,c<0.从而b+4a=-(a+c)+4a=3a-c>0.∴b≥0.⇒x=∴f(x)在[0，+∞]上是增函数.(2)据题意x1,x2是方程g(x)=0即ax2+2bx+c=0的两实根.=(3)∵f(1)=0.设f(x)=a(x-1)(x-)4.在xOy平面上有一系列点P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…,对每个正整数n,点PN位于函数y=x2(x≥0)的图像上,以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切,且圆Pn与圆PN+1又彼此相外切.若x1=1,且xn+1<xn(n=1,2,3,…).求证：数列{}是等差数列；设圆Pn的面积为SN,Tn[解题思路](1)利用定义判断；(2)裂项相消法求TN.[解答](1)记圆Pn的半径为rn,由条件知，yn-xyn=rn,|PnPn+1|=rn+rn+1.所以预测角度5不等式的实际应用某机关在“精简人员”中，对部分人员实行分流，规定分流人员在第一年可到原单位领取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该机关根据分流人员的特长计划创办新的经济实体，该机关根据分流人员的特长计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，没有利润，第二年每人可获b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年基础上递增50%，若某人在分流前工资收入每年为a元，分流后第n年总收入为an元.(1)求an;(2)当[解题思路]建立数学模型，求出an,再运用重要不等式求an的最小值，解不等式.[解答](1)(2)(3)2.某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药物预防,规定每人每天早晚八时各服用一片,现知该药片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,在体内的残留量超过386毫克(含386毫克),就将产生副作用．(1)某人上午八时第一次服药，问到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留多少．(2)长期服用的人这种药会不会产生副作用？［解题思路］依题意建立数列模型，写出an,an-1的关系式，求出an的范围．［解答］(1)依题意建立数列模型，设人第n次服药后，药在体内的残留量为an毫克，则(2)由an=220+0.4an-1(n≥2)可得an-考点高分解题综合训练１设数集Ｍ、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是()答案：C解析：集合M的长度为、集合N的长度为，因M、N都是集合{x}0≤x≤1}的子集，而{x}0≤x≤1}的长度为1，由此得集合M∩N的“长度”的最小值是()-1=.2已知答案：A解析：略．3已知奇函数f(x)在(-∞,0)上为减函数,且f(2)=0,则不等式(x-1)f(x-1)>0的解集为()A.{x|-3<x<-1}B.{x|-3<x<1或x>2}C.{x|-3<x<0或x>3}D.{x|-1<x<1或<1<x<3}答案：D解析：由(x-1)f(x-1)>0得，由题4函数f(x)是R上的增函数,A(0,1),B(3,1)是其图像上的两点,那么|f(x+1)|<1的解集是()A.(1,4)B(-1,2)C.(-∞,1)∪[4,+∞]D.(-∞,-1)∪[2,+∞]答案：B易知过A、B两点的直线即y=x-1，即f(x)=x-1是增函数，由f(x+1)=(x+1)-1，得当∴5已知f(x)=A.{x|1<x<4}B.{x|x>3或x<2}C.{x|1<x<2或3<x<4}D.{x|x<0}答案：C解析：略．6.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为()A．(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)答案：D解析：设F(x)=f(x)·g(x)，F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x)∴F(x)为奇函数又x<0时，F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′，(x)>0∴x<0时，F(x)为增函数∵奇函数在对称区间上的单凋性相同，∴x>0时，9(x)也为增函数∵F(-3)=f(-3)g(-3)=0∴F(3)=-F(-3)=0如图为一个符合题意的图象观察知9(x)=f(x)，g(x)<0解集为(-∞，-3)∪(0，3)7已知y=logb(2-bx)在[0,1]上是增函数，则不等式：logb|x+2|>logb|x-4|的解集是________.答案：{x|x<1，x7≠-2}解析：因为当b>0，所以2-bx在[0，1]上递减，由已知可知0<b<1，所以原不等式等价于0<|x+2|<，x-4|，解得{x|x<|，x≠-2}．8已知函数y=f(x)是偶函数,当x>0时，f(x)=x+答案：依题意x∈[-3，-1]时f(x)=f(-x)=-x+=(),∴m=f(-1)=5，n=f(-2)=4，m-n=1，9定义符号函数sgnx=答案：-2解析：略；10已知关于x的不等式(1)a=4时，求集合M；答案：当a=4时，原不等式可化为，即4(x-)(x-2)(x+2)<0，∴x∈(-∞，-2)∪(，2)，故M为(-∞，-2)∪(，2)．(2)若3∈M且5M,求实数a的取值范围。答案：由3∈M得<0，∴a>9或a<，①由5M得≥0，∴1≤<a25，②由①、②得1≤a<，或9<a<25．因此a的取值范围是[1，]∪(9，25)．11已知函数f(x)对任意实数P、q都满足f(p+q)=f(p).f(q),且f(1)=(1)当n∈N+时，求f(n)的表达式；答案：解：由已知得答案：证明由(1)可知则∴两式相减得(3)解由(1)可知则故有12某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3答案：解：没矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800(m)．蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)．所以S≤808-4=48(m2)．当a=2b，即a=40(m)，b=20(m)时，S最大值=648(m2)．答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m213已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件：对任意的实数.x1,x2都有(Ⅰ)证明答案：任取x1，x2及，x1≠x2，则由λ(x1-x2)2≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]和，|f(x1)-f(x2)，|≤|x1-x2|②可知λ(x1-x2)2≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≤|x1-x2|·|f(x1)-f(x2)1≤|x1-x2|2，从而A≤1．假设有b0≠a0，使得f(b0)=0，则由①式知0<λ(a0-b0)2≤(a0-b0)[f(a0)-f(b0)]=0矛盾．∴不存在b0≠a0，使得f(b0)=0．(Ⅱ)证明2；答案：由b=oa-λf(a)③可知(6-a0)2=[a-a0-λf(a)]2=(a-a0)2-2λ(a-a0)f(a)+λ2[f(a)]2④由f(a0)=0和①式，得(a-a0)f(a)=(a-a0)[f(a)-f(a0)]≥λ(a-a0)2⑤由f(a0)=0和②式知，[f(a)]2=[f(a)-f(a0)]2≤(a-a0)2⑥由⑤、⑥代人④式，得(b-a0)2≤(a-a0)2-2λ2(a-a0)2+λ2(a-a0)2=(1-λ2)(a-a0)2(Ⅲ)证明答案：由③式可知[f(b)]2=[f(b)-f(a)+f(a)]2=f(b)-f(a)]2+2f(a)[f(b)-f(a)]+[f(a)]2≤(b-a)2-2·[f(b)-f(a)]+[f(a)]2(用②式)=λ2[f(a)]2-(b-a)[f(b)-f(a)]+[f(a)]2≤λ2[f(a)2-·λ·(b-a)2+[f(a)]2(用①)=λ2[f(a)]2-2λ2[f(a)]2+[f(a)]2=(1-λ2)[f(a)]214已知函数f(x)=(1)设0<|x|<1,0<|t|≤1,求证：|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)|答案：∵f(x)=∴f(tx+1)=tx+∴|f(tx+1)|==|t|+≥2=2，当且仅当，|tx|=1时，上式取等号．∵0<|x|<1，0<|tx|<1．∴|tx|≠1，∴|f(tx+1)|>2s=(|t+x|+|t-x1)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|-(|t+x|+|t-x|)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|.当|t|≥|x|时，s=4t2≤4；当|t||x|时s=4x2<4∴|t+x|+|t-x|≤2<1f(tx+1)|即，|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)|设x是正实数，求证:[f(x+1)]n-f(xn+1)≥2n-2.答案：n=1时，结论显然成立当n≥2时，[f(x+1)]n-f(xn+1)=(x+)n-(xn+)=考点8直线与圆典型易错题会诊命题角度1直线的方程1．(典型例题)已知点A[考场错解]∵[专家把脉]主要是没有考虑到[对症下药]2.(典型例题)点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()[考场错解]直接运用点到直线的距离公式.[专家把脉]在运用点到直线的距离公式时，没有理解直线Ax+By+C=0中，B的取值，B应取-1,而不是取1.[对症下药]2．(典型例题)若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x2+y2=5相切，则c的值为()A.8或-2B.6或-4C.4或-6D.2或-8[考场错解]C.直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后的直线方程为：2(x+1)-(y+1)+c=0即：2x-y+1+c=0,此直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即或-6,故选C.[专家把脉]坐标平移公式运用错误，应用x-h,y-k分别来替换原来的x,y.[对症下药]A直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后的直线为2x-y-3+c=0,此直线与圆相切有：或者说c=-2,故选A.4.(典型例题)设直线ax+by+c=0的倾斜角为a,且sina+cosa=0,则a、b满足()A.A+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0[考场错解]C.[专家把脉]直线Ax+By+c=0的斜率k=[对症下药]D专家会诊已知直线的方程，求直线的斜率与倾斜角的范围，反之求直线方程，注意倾斜角的范围及斜率不存在时的情况。会用直线的五种形式求直线方程，不可忽视每种形式的限制条件。考场思维训练1已知A(3,0),B(-1,-6),延长BA到P，使则点P的坐标是_________.答案：(，2)解析：由已知P分的比为-，由定比分点坐标公式可得．2直线A(-2,3)B(-4,5)C(-2-)D(-3,4)答案：D解析：略．答案：16．2x-y+8=0解析：由已知可设l2的方程为：y=tan2α·x-2，l1与l3垂直，l1，的斜率为k1=2,∴tan2α=，即l2的方程为y=-x-2，解方程组得P点坐标(-3，2)．由点斜式得l1，的方程为y=2(x+3)+2．命题角度2两直线的位置关系1．(典型例题)已知过点A(-2,m)和B(M,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为()A.0B.-8C.2D.10[考场错解]A两直线平行故斜率相等可得：∴m=0.故选A.[专家把脉][对症下药]B利用两直线平行斜率相等可得：2．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有A．1条B.2条C.3条D.4条[考场错解]D由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行，可设直线y=kx+b即,kx-y+b=0,[专家把脉]当时此时kAB=-不符合题意。[对症下药]B法一：由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行可设直线y=kx+b,即kx-y+b=0法二：以A为圆心，1为半径画圆，以B为圆心2为半径作圆，∵圆心距|AB|=∴⊙A′与⊙B必相交，则⊙A与⊙B的分切线有两条，即到点A距离为1到点B距离为2的直线有2条.3．(典型例题)如下图，定圆半径为a,圆心为(b,c)则直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在()A．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[考场错解]B由图知b>a>c>0.取b=3,a=2,c=1.解方程组[专家把脉]由图看出的是长度大小关系，在比较时坐标值与长度值相混淆。[对症下药]C由图形如此图圆心在第二象限且a、b、c满足球队0<c<a<-b,取c=1,a=2,b=-3解方程组得x=-2,y=-1,故选C.此题也可以讨论ax+by+c=0在y轴截距及斜率与直线x-y+1=0进行比较去解决。4．(典型例题)由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，<APB=60.,则动点P的轨迹方程为_____.[考场错解]设A(x1,y2),B(x2,y2),∴PA的直线方程为x1x+y1y=1.PB的直线方程为x2x+y2y=1.又∵<APB=60.即两直线之间夹角为60。，从而求出x1、y1、x2、y2的关系.联立两方程解得x2+y2=3.[专家把脉]引方法过于繁琐复杂，使运算很易出错，应考虑此特殊性。[对症下药]如图∵<APB=60.,OP平分<APB∴<APO=30.,在Rt△AOP中，|OA|=1为定值∴|OP|=2故P轨迹为以O为圆心，以2为半径的圆x2+y2=4故正确答案：x2+y2=45.(典型例题)曲线C：[考场错解]曲线C的普通方程可化为：x2+(y+1)2=1,与直线x+y+a=0有公共点，故联立得消去x.2y2+2(a+1)y+a2=0,有公共点故[专家把脉]忽略了直线与圆相切时的情况。[对症下药]专家会诊两直线平行与垂直的充要条件在解题中的应用。夹角与距离公式是求距离或角、斜率的最值问题的工具.一定要注意公式的运用及条件.关于直线对称问题，即点关于直线对称，或直线关于直线对称.是命题热点。考场思维训练1直线l1:x+3y-7=0、l2:kx-y-2=0与x轴、y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则k的值等于()A.-3B.3C.-6D.6答案：B解析：略．2已知点M是点P(4,5)关于直线y=3x-3的对称点，则过点M且平行于直线y=3x+3的直线方程是_____.答案：y=3x+1解析：略．3若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0对称的图形仍是其本身，则实数a=()答案：B解析：略．4求直线l2:7x-y+4=0到l1:x+y-2=0的角平分线的方程。答案：解：法一：设l2到l1角平分线J的斜率为k，∵k1=-1，k2=7∴，解之得k=-3或k=，由图形可知k<0，∴k=-3，又由解得l1，与l2的交点Q，由点斜式得y-=-3即6x+2y-3=0法二：设l2到l1的角为θ，则tgθ==，所以角θ为锐角，而α1=α2=，由二倍角公式可知tgθ=∴tg=-2或tg=∵为锐角，∴tg==,∴k=-3等同解法一.命题角度3简童单线性规划1．(典型例题)已知点P(x,y)在不等式组A．[-2，-1]B.[-2,1]C.[-1,2]D.[1,2][考场错解]由约束条件画出可行域，再平移y=x.过(0,1)时截距最大为1，过(2,0)时截距最小为-2，∴取值范围为[-2，1]选B.[专家把脉]z=x-y可化为y=x-z,此时y=x-z的截距为-z.故错选。[对症下药]平移y=x得最大截距为1，最小截距为-2，∴-2≤-z≤1∴1-≤z≤2.2.(典型例题)设集合A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()[考场错解]由题意可得故选D.[专家把脉]三角形两边之和大于第三边没有写完全，[对症下药]由题意可列故选A.3.(典型例题)在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为()[考场错解]依条作出当x≥0时即所表示的区域，其面积为1，故当x≤0时，同理其面积为1，故总面积为2，故选D.[专家把脉]y=-3|x|+1是关于y轴对称，但y=x-1并不关于y轴对称，故当x≤0时的面积与x≥0时的面积不相等。[对症下药]先作出y=-3|x|+1的图像(依此函数为偶函数作)，再作出y=x-1的图像，再标出其围成的区域，如图所示：其阴影部分为所求且为，故选B.4.(典型例题)设实数x,y满足则的最大值是______.[考场错解]依题意作出可行域如图所示：[专家把脉]连线斜率的最大与最小并不取决于此点与原点的远近。[对症下药]连接OA，则kOA最大，专家会诊对线性目标函数z=Ax+By中的B的符号一定要注意，当B>0时,z最大，当B<0时，当直线过可行域且y轴上截距最大时，z值最小。由于最优解是通过图形来规定的，故作图要准确，尤其整点问题。考场思维训练1在直角坐标面上有两个区域M和N.M是由y≥0,y≤x和y≤2-x三个不等式来确定的.N是由不等式t≤x≤t+1来确定的，t的取值范围是0≤t≤1,设M和N的公共面积是函数f(t),则f(t)为()2答案：A解析：画出M和N的所表示的区域，可得面积等于-t2+t+,所以选A2设实数x,y满足不等式组A．7+3a,1-3a

B.7+3a,-1C.-1-2a,1-3a

D.以上都不对答案：A解析：画出不等式组所表示的平面区域，由线性规划的知识知选A3某运输公司有10辆载重量为6吨的A型卡车与载重量为8吨的B型卡车，有11名驾驶员。在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A型车350元，B型车400元。问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？答案：解：设每天派出A型车与B型车各x、y辆，并设公司每天的成本为z元．由题意，得且z=350x+400y.作出可行域，作直线l0:350x+400y=0，即7x+8y=0．作出一组平行直线：7x+8y=t中(t为参数)经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经过6x+7y=60和y=5的交点A(，5)，由于点A的坐标不都是整数，而x，y∈N,所以可行域内的点A(,5)不是最优解．为求出最优解，必须进行定量分析．因为，7×+8×5≈69.2，所以经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点最小的直线是7X+8y=10，在可行域内满足该方程的整数解只有x=10，y=0，所以(10，0)是最优解，即当l通过B点时，z=350×10+400×O=3500元为最小．答：每天派出A型车10辆不派B型车，公司所化的成本费最低为3500元命题角度4圆的方程1(典型例题)从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()[考场错解]由半径为3，圆心与原点距离为6，可知两切线间的夹角为60。，故所相应的圆心角为120，故所求劣弧为圆弧长的.[专家把脉]没有理解清楚优弧，劣弧的概念，劣弧应为相对较短的一段弧。[对症下药]所求劣弧是整个圆弧的.2.(典型例题)△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H.则实数m=______.[考场错解]选取特殊三角形，取△ABC为等边三角形，则故m可取任意实数。[专家把脉]情况太特殊，若所取三角形为等腰三角形(非等边三角形)此时此时与m为任意实数相矛盾。[对症下药]3．(典型例题)圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为_____.[考场错解]设圆的方程为解得x0=-3,y0=-13,r=.故所求圆的方程为(x+3)2+(y+13)2=168.[专家把脉]应是令x=0,而不是令y=0，故后面的结果均错。[对症下药]法一:∵AB的中垂线,必过圆心故解得圆心坐标为所求圆的方程为法二:设圆C的方程:圆心在直线上①又圆过A

(0,

-4)

B

(0,

-2)

②③由①②③解得圆的方程专家会诊1.求圆的方程应注意根据所给的条件,恰当选择方方程的形式,用待定系数法求解.2讨论点、直线、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征（方程组解的个数）或几何特征去考虑，其中几何特征数更为简捷实用。考场思维训练1过点A（1，-2），B（-1，1），且圆心在直线0上的圆的方程是()A.B.C.D.答案：A∵只有A中的圆心(3，-1)在直线x+y-2=0上，∴选A.2方程所以表示的曲线图形是答案：D解析：方程的解为x=1或x2+y2=2，且x2+y2>1，当x=1，y≠0．3．已知两点A（-1，0），B（0，2），若点P是圆（x-1）2+y2=1上的动点，则△ABP面积的最大值和最小值分别为（）答案：B解析：过圆心C作CM⊥AB于M，设CM交圆于P、Q两点，从图可以看出，△ABP和△ABQ分别为最大和最小值，可以求得最大值和最小值分别为(4+)，(4-)，所以选B4如图8–5，已知点A、B的坐标分别是（-3，0），（3，0），点C为线段AB上任一点，P、Q分别以AC和BC为直径的两圆O1、O2的外公切线的切点，求线段PQ的中点的轨迹方程.答案：解：作MC⊥AB交PQ于点M，则MC是两圆的公切线，∴|MC|=|MQ|，|MC|=|MP|，即M为PQ的中点．设M(x，y)，则点C、O1、O2的坐标分别是(x，0)、(,0)、(，0)．连O1M，O2M，由平几知识得：∠O1MO2=90°，∴有|O1M|2+|O2M|2=|O1O2|(x-)2+y2+(x-)2+y2=(-)2，化简得x2+4y2=9.又∵点C(x,0)在线段AB上，且AC、BC是圆的直径，∴-3<x<3．故所求的轨迹方程为x2+4y2=9(-3<x<3)．命题角度5直线与圆1．（典型例题）已知直线L过点（-2，0，当直线L）与圆有两个交点时，其斜率k取值范围是（）[考场错解]设此直线为圆心到直线的距离刚好好等于半径（即相切）时.故选D.[专家把脉]计算出见答案中有此结果,便盲目选出答案.并没有开方算出[对症下药]可设直线方程为代入圆的方程中,用选C.2.(典型例题)“a=b”j是“直线与圆()充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[考场错解]当时圆心坐标为圆心到直线的距离为与半径杨等，故是直线和圆相切的充分人条件，同理不直线与圆相切时，圆心到的距离为故 是直线与圆相切的充分必要条件.[专家把脉]在运用点到直线的距离公式时,应先变为再计算.这刊里y的系数应为-1而不是未变形前的1.[对症下药]当,时圆心到直线=0的距离为不一定刚好等于,故不是充分条件,当直线与圆相切时,到直线的距离应等于半径,即故也不是必要,综合得是直线与圆相切的既不充分也不必要条件.(典型例题)圆心为(1,2)且与直线7=0相切的圆的方程为__________.[考场错解]圆心到直线的距离等于半径即圆的方程为[专家把脉]在算出r后,往中代入时、忘记后面是r2.[对症下药]由圆心到直线的距离等于半径得r=2.4.(典型例题)设P<0是一常数,过点`Q(2P,0)的直线与抛物线交于相导两点A、B以线段AB为直径作圆H(H为圆心).试证抛物线顶点在圆H的圆周上;并求圆H的面积最小时直线AB的方程.[考场错解]设AB直线方程为①式中联立消去由[专家把脉]∵时,，虽然不成立，而时说明k不存在，即直线AB.[对症下药]法一;由题意,直线AB不能是水平线,故可设直线方程为:又设A则其坐标满足消去x得,由此得因此在圆H的圆周上.又题意圆心是AB中心点,故由前已证,OH应是圆H的半径,且|OH|=从而当k=0时,圆H的半径最小,亦使圆H和面积最小,此时,直线AB的方程为:法二:由题意,直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：则其坐标满足故得A、B所在圆的方程明显的，O，（0，0）满足上面方程A、B、O三点均在上面方程所表示的圆上，又知A、B中点H的坐标为而前面圆的方程可以可表示为故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径直圆必过点O（0，0）.又J最小.从而圆的面积最小,此时直线ABR的方程为:法三:,同解法得O必在圆周上,又直径|AB|=上式当时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆面积最小,此时直线AB的方程为专家会诊1．直线与圆、圆与圆的位置关系判断时利用几何法(即圆心到直线，圆心与圆心之间的距离，结合直角三角形求解.)2.有关过圆外或圆上一点的切线问题，要熟悉切线方程的形式．考场思维训练1已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切，则三条边分别为，|a|、|b|、|c|的三角形是()A.锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在答案：B解析：．2若a2+b2-2c2=0，则直线ax+by+c=0被x2+y2=1所截得的弦长为()A．B．1C．D．答案：D解析：设圆心到直线的距离为d，弦长为l，则d2=，l=23如图，已知点F(0，1)，直线L：y=-2，及圆C：x2+(y-3)2=1．(1)若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；答案：解①x2=4y②x1x2=-4③P(±2，1)Smin=(2)过点F的直线g交轨迹E于C(x1，y1)、H(x2，y2)两点，求证:xlx2为定值；(3)过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值．4如图8-9，已知圆C:(x+4)2+y2=4．圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切．圆D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0)．(1)若点D坐标为(0，3)，求∠APB的正切值；答案：∵|CD|==5，(O为原点)且

圆D与圆C外切，∴圆D半径r=5-2=3，此时，A、B坐标分别为(0，0)、(0，6)，∴PA在x轴上，且BP的斜率k=2，∴tan∠APB=2．(2)当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；答案：设D的坐标为(0，a)，圆D的半径为r，则(r+2)2=16+a2.①设PA、PB的斜率为k1、k2，又A、B的坐标分别为(0，a-r)、(0，a+r)．则k1=,∴tan∠APB=②由①解出a2代人②，得tan∠APB=而8r-6为单调增函数，r∈[2，+∞]．∴tan∠APB∈()∠APB的最大值为arttan.(3)在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值?如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由．答案：假设存在Q点，设Q(b，0)，QA、QB的斜率分别为k1、k2，则中k1＝tan∠AQB=将a2=(r+2)2-16代人上式，得tan∠AQB=欲使∠AQB大小与r无关，则应有b2=12，即b=±2，此时tan∠AQB=，∠AQB=60°,∴存在Q点，当圆D变动时，∠AQB为定值60°，这Q点坐标为(±2，0)探究开放题预测预测角度1直线的方程1．求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线乙的方程．[解题思路]满足两个条件才能确定一条直线．一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数．[解答]解法一：先用“平行”这个条件设出乙的方程为3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求m，∵直线l交x轴于A(-，0)，交了轴于B(0，-)由·=24，得m=±24，代入①得所求直线的方程为：3x+4y±24=0解法二：先用面积这个条件列出l的方程，设l在x轴上截距离a，在y轴上截距b，则有，|ab|=24，因为乙的倾角为钝角，所以a、b同号，|ab|=ab，l的截距式为，即48x+a2y-48a=0②又该直线与3x+4y+2=0平行，∴∴a=±18代入②得所求直线l的方程为3x+4y±24=O2．设正方形ABCD(A、B、C、D顺时针排列)的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0(a<9)，C、D点所在直线l的斜率为．(1)求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；(2)如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程；(3)如果ABCD的外接圆半径为2，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程．[解题思路](1)利用斜率公式求倾斜角．(2)(3)运用轨迹法．[解答](1)由(x-3)2+y2=9-a(a<9)可知圆心M的坐标为(3，0)，依题意：∠ABM=∠BAM=，kAB=∴MA、MB的斜率A满足：=1，解得：kAC=-,kAB=2.(2)设MB、MA的倾斜角分别为θl、θ2，则tanθ1=2，tanθ2=-，可以推出：cosθ1=，sinθ1=，cosθ2=-,sinθ2=．再设|MA|=|MB|=r，则A(3-)，B(3+)设抛物线方程为y2=2px(p>0)，由于A、B两点在抛物线上，∴解出：r=，p=.得抛物线方程为y2=x.由此可知A点坐标为(1，1)，且A点关于M(3，0)的对称点C的坐标是(5，-1)，∴直线l的方程为y-(-1)=(x-5),，即x-3y-8=0．(3)将圆方程(x-3)2+y2=(2)2分别与AC、BD的直线方程：y=(x-2)，y=2(x-3)联立，可解得A(-1，2)，B(5，4)．设抛物线方程为了y2=a(x-m)(*)将A(-1，2)、B(5，4)的坐标代入(*)，得解得：a=2，m=-3，∴抛物线的方程为y2=2(x+3)．A(-1，2)，点关于M(3，0)的观点为C(7，-2)，故直线l的方程为y-(-2)=(x-7)，即x-3y-13=0．预测角度2两直线的位置关系1．若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2，3)，B(3，2)，求实数m的取值范围．[解题思路]运用数形结合的思想来解，直线mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在(0°，90°)或(90°，180°)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，众应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，求出m的范围．[解答]直线m+y+2=0过一定点C(0，-2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0，-2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率A应满足k≥k1，或k≤k2，∵A(-2，3)B(3，2)2．如图8-11，已知：射线OA为y=kx(k>0，x>0)，射线OB为了y=-kx(x>0)，动点P(x，y)在∠AOx的内部，PM⊥OA于M，PN⊥kOB于N，四边形ONPM的面积恰为k．(1)当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；(2)根据A的取值范围，确定y=f(x)的定义域．[解题思路](1)设点的坐标而不求，直接转化．(2)垂足N必须在射线OB上，所以必须满足条件：y<x，将它代入函数解析式，得，解不等式即可．[解答](1)设M(a，ka)，N(b，-kb)，(a>0，b>0)．则|OM|=a，|ON|=b．由动点P在∠AOx的内部，得0<y<kx．∴S四边形ONPM=S△ONP+S△OPM=(|0M|·|PM|+|ON|·|PN|)=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x-(a-b)y]=k∴k(a+b)x-(a-b)y=2k①又由kPM=-，kPN=，分别解得a=，代入①式消a、b，并化简得x2-y2=k2+1．∵y>0，∴y=(2)由0<y<kx，得0<<kx当k=1时，不等式②为0<2恒成立，∴(*)x>．当0<k<1时，由不等式②得x2<，x<当k>1时，由不等式②得x2>∴(*)x>但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件：y<x，将它代入函数解析式，得<x解得(k>1)，或x∈A(0<k≤1)．综上：当k=1时，定义域为｛x|x>｝；当0<k<1时，定义域为{x|<x<};当k>1时，定义域为{x|<x<}.预测角度3线性规划1．已知x、y满足约束条件求目标函数z=2x-y的最大值和最小值．[解题思路]由x、y满足的约束条件作出可行域，利用平移法求最值．[解答]根据x、y满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分(包括边界)．作直线l0：2x-y=0，再作一组平行于l0的直线l：2x-y=t，t∈R可知，当l在l0的右下方时，直线l上的点(x，y)满足2x-y>0，即t>0，而且直线l往右平移时，t随之增大．当直线l平移至ll的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；当l在l0的左上方时，直线l上的点(x，y)满足2x-y<0，即t<0，而且直线l往左平移时，t随之减小．当直线l平移至l2的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小．由解得点B的坐标为(5，3)；由解得点C的坐标为(1，)．所以，z最大值=2×5-3=7；z最小值=22．已知三种食物P、Q、R的维生素含量与成本如下表所示．食物P食物Q食物R维生素A（单位/kg）400600400维生素B（单位/kg）800200400成本（元/kg）654现在将xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物R混合，制成100kg的混合物．如果这100kg的混合物中至少含维生素A44000单位与维生素B48000单位，那么x、y、z为何值时，混合物的成本最小?[解题思路]由