五年级上册奥数专题系列-表面积和体积的综合变化 沪教版 （含答案）

课程主题表面积和体积的综合变化课前热身：如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：；长方体的体积：．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为，那么：，．立体图形的体积计算常用公式：立体图形示例体积公式相关要素长方体三要素：、、二要素：、正方体一要素：二要素：、知识精讲：将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a），从左向右看到的视图是图（b），从上向下看到的视图是图（c），则这堆木块最多共有___________块。【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】2010年，第8届，希望杯，4年级，初赛，8题对于图c来说，每个小方块都摞了2层，最多有6块。【答案】6某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【关键词】第六届，华杯赛，决赛，口试长方体中高宽， =1\*GB2⑴高长， =2\*GB2⑵长宽， =3\*GB2⑶=2\*GB2⑵=1\*GB2⑴：长宽， =4\*GB2⑷=4\*GB2⑷=3\*GB2⑶：长，从而宽，代入=1\*GB2⑴得高．所以长方体体积为(立方厘米)(立方米)【答案】1.001把一根长米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】第十五届，迎春杯，决赛(平方厘米)，(立方厘米)．所以这根木料原来的体积为2880立方厘米．【答案】2880小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最多用了_____块木块，最少用了______块木块。【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】2005年，第三届，走美杯，五年级，决赛，第8题，10分从上往下看，分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。【答案】最多25，最少9有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍；长的与高的之和比宽多1厘米．这个长方体的体积是立方厘米．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】第十一届，迎春杯长的即宽，所以高的就是1厘米，高是3厘米，宽是厘米，长是厘米，体积是(立方厘米)．【答案】486把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是，则大长方体的表面积为多少？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答如果知道每块砖的长、宽、高即可求出所有的量，但我们只知道它们的乘积，但可以从图中发现隐含的数量关系．由图可知每块砖的长、宽、高的比值，两个长等于三个宽，所以长、宽之比为，四个高等于一个长，所以长、高之比为，长、宽、高之比为，设砖的长为12单位，那么体积应该为个立方单位，所以一个单位长度就是1厘米，所以大长方体的长、宽、高分别为：24厘米，12厘米，11厘米，所以大长方体的表面积为：平方厘米．【答案】1368有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积．因此，沉入水池中的碎石的体积是(米3)，而沉入小水池中的碎石的体积是(米3)．这两堆碎石的体积一共是(米3)．把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7米3．而大水池的底面积是(米3)．所以水面升高了(米)(厘米)(厘米)．故大水池的水面升高了厘米．【答案】如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱），且穿透．另有一长方体容器，从内部量，长、宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米，内部有水，水深3厘米．若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水下部分的体积为立方厘米．【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】2009年，迎春杯，初赛，6年级可以把正方体铁块看作三层：最下面一层为中央穿孔的长方体，高为厘米；中间一层为个长方体立柱，高为厘米；最上面一层也是高为厘米的中央穿孔的长方体.由于长方体容器内原有水深厘米，所以正方体铁块放入水中后，铁块最下面一层肯定全部在水中，而水也不可能上升到最上面一层，即恰在中间一层.设水面上升了厘米，则中间一层在水中的部分恰好为厘米.由于水面上升是由于铁块放入水中导致，水面上升的体积即等于铁块在水下部分的体积，即：，解得，故铁块在水下部分的体积为(立方厘米).【答案】315把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成个小正方体．【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】第九届，迎春杯，决赛因为小正方体的棱长只可能是2厘米或1厘米．必须分割出棱长是2厘米的小正方体才能使数量减少．显然，棱长是3厘米的正方体只能切割出一个棱长为2厘米的小正方体，剩余部分再切割出个棱长是1厘米的小正方体，这样总共可以分割成(个)小正方体．【答案】20把一个长方体形状的木料分割成3小块，使这3小块的体积相等．已知这长方体的长为15厘米，宽为12厘米，高为9厘米．分割时要求只能锯两次，如图1就是一种分割线的图．除这种分割的方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图2的各图中．图1图2【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答分割方法很多，如图3，给出以下9种分割方法：图4【答案】答案不唯一，给出以下9种分割方法：如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【关键词】第三届，华杯赛，复赛容器的底面积是(平方厘米)，高为2厘米，所以容器的体积是，(立方厘米)．【答案】90一个长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】5星【题型】解答本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米的长方体.因为，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是厘米，第二次切时，切下棱长为厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为厘米的正方体符合要求．那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的体积应是：（立方厘米）.【答案】1107用棱长为1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如下图所示，那么粘成这个立体最多需要块小立方体．【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】2009年，希望杯，六年级根据视图可以画出原立体图形，如右图所示，其中灰色部分和黑色部分都可以有小立方体，白色部分则不可以有小立方体．这些小立方体可以分为角上的和棱上的两种，其中角上的有个，棱上的有12个（每条棱上1个），所以总共最多有个．【答案】76如图,已知、、分别是相邻的三条棱的中点．沿三个中点连成一个正三角形，把原来的立方体切掉一角．如果原来的立方体棱长为8，求：⑴切掉的小部分的体积是多少？⑵剩下的大部分的体积是多少？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答本题应用相关体积公式．⑴⑵【答案】选项中有4个立方体，其中是用左边图形折成的是()．【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】选择【关键词】2008年，清华附中，入学测试图中、、项展开后的图形均为下图，只有项展开后的图形与题中左边图形相符，所以答案为．【答案】B图1是下面的表面展开图①甲正方体；②乙正方体；③丙正方体；④甲正方体或丙正方体．甲乙丙【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】选择从展开图可以看出，每个面上至少有一块阴影，从而排除丙；又每个面上没有相邻的两块阴影，从而排除乙．故选甲答案为①．【答案】①如图，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为10厘米，高为15厘米．在侧面距离底面9厘米的地方有个洞．这个容器最多能装毫升水（π取3.14）．【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛，第10题，10分现在要求这个容器尽可能的多装一些水，则将圆柱适当的倾斜，可得新的圆柱的体积为：毫升水。【答案】942有一种饮料的瓶身如下图所示，容积是3升。现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米。那么瓶内现有饮料升。【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，初赛，第7题2.4【答案】2.4将1，2，3，4，5，6分别填在右图中的每个方格内，使折叠成的正方形中对面数字的和相等。【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【关键词】2003年，希望杯，第一届，五年级，初赛，2题，4分1+6=7，2+5=7，3+4=7，如下图【答案】把2、4、6、8、10、12这六个数字依次写在一个立方体的正面、背面、两个侧面以及两个底面上，然后把立方体展开，如图1，最左边的正方形上的数字是12，则最右边的正方形上的数字是。【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】2004年，希望杯，第二届，四年级，复赛，第4题，6分最右边的正方形是在2的对面，也就是背面，为4【答案】4下列图形经过折叠不能围成正方体的是________.【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】2005年，希望杯，第三届，四年级，复赛，第11题，6分C【答案】C下图中的（A）、（B）、（C）是三块形状不同的铁皮，将每块铁皮沿虚线弯折后焊接成一个无盖的长方体铁桶。其中，装水最多的铁桶是由铁皮焊接的。120120cm80cm140cm75cm160cm70cm（A）（B）（C）【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【关键词】2004年，希望杯，第二届，五年级，复赛，第13题，6分分别求的体积为：30×30×50=45000平方厘米；35×35×35=42875平方厘米以及40×40×30=48000平方厘米所以铁皮装水最多。【答案】C如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体术块，木块浮出水面的高度是2厘米。若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米。【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】2006年，希望杯，第四届，六年级，复赛，第11题，4分木块浸入水中的体积为3×5×5=75立方厘米，如果把木块拿出，那么四周的水要补充一部分来填充这部分体积，需要下降75÷50=1.5厘米。【答案】1.5【例24】用剪刀把桌上的正方体纸盒按任意方式沿棱展开，你能得到哪些不同的展开图？看看哪位同学的展开图更与众不同。一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1）（2）（3）（4）（5）（6）以上六种展开图可归结为四方连线，即，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。二、跃马失蹄四分开（1）（2）（3）（4）以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。三、两两错开一阶梯这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。通过学生的展开总结出这三类，11种情况，讲解时最好借助道具让学生操作记忆，而不是死记硬背。课后作业：【作业1】边长为的正方形，被分割成的小方格。每个小方格上堆放边长为的正方体积木，个数如图所示。在每个积木外露的面上贴一张红纸，其它面（与其它积木块或方格纸相接的面）不贴。共贴张红纸。恰贴张红纸的有块积木。【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】2008年，第6届，走美杯，4年级，决赛，第11题，12分从正面看，需要贴（张）；从左边看，需要贴（张）；从右边看，需要贴（张）；从前面看，需要（张）；从后面看，需要（张）；再看中间凹进去的部分，需要贴（张），所以一共需要贴（张）；先看四条边上，有块积木贴张红纸；非边上的积木，有块积木恰好贴张，所以一共有（块）积木。【答案】共贴26张，共有15块【作业2】有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米，在这个盒子里放长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块．最多可放块．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】第九届，祖冲之杯上图表明的长方形可以填满的长方形．于是的长方体可以填满的长方体，即盒子中最多可放这种长方体(个)．【答案】56【作业3】现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【关键词】第七届，祖冲之杯如图，在的长方形铁皮的四角截去边长5厘米的正方形铁皮，然后焊接成长方形无盖铁皮盒．这个铁皮盒的长(厘米)．宽(厘米)，高(厘米)．体积(立方厘米)．如图，在长方形铁皮的左侧两角上割下边长5厘米的正方形(二块)，紧密焊接到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长(厘米)，宽(厘米)，高(厘米)，体积(立方厘米)．如图，在的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为5厘米的长方形铁皮(共二块)，分别焊到上、下的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长(厘米)，宽(厘米)，高(厘米)，体积(立方厘米)．因此，最后一种容积最大．【答案】2000【作业4】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左,从上面看如下图右．那么这个几何体至少用了块木块．【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响，认为右图中每一格都要至少放一块．其实，有些格不放，看起来也是这样的．如右图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块．【答案】23【作业5】如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答本题还原的技巧在于反用“切片法”，根据俯视图，最底层必有这么11个，这是不能再少的；第二步，不妨先根据正视图，再在一侧加上7块；第三步，通过第二层以上的积木的调整使得图形符合侧视图的要求：所堆的立体的体积至少是．当然，这里的形状不唯一，如下面两图都符合条件．【答案】18【作业1】一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图1），由图中的数据可推知瓶子的容积是________立方厘米。（π取3.14）【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，复赛，第5题，5分由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为厘米的圆柱，空气部分构成高为厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为：（立方厘米）。【答案】100.48【作业2】一个长方体(如图阴影部分)，如果将它的高增加5厘米(虚线部分)，就成为一个正方体，而且体积增加300立方厘米。求所成的正方体的表面积。教法指导：根据体积增加的，引导学生计算底面积，而不是求边长答案：360平方厘米．【作业3】一个棱长是3厘米的正方体木块，各面中心凿穿一孔，孔是边长1厘米的正方形柱孔，它余下的体积是多少立方厘米？分析与解：如图所示，实际是挖去了3个1×1×3的长方体，而中间的小正方体1×1×1多算了2次，则挖去的体积为3×（1×1×3）-2×（1×1×1）=7cm3剩余体积为3×3×3-7=20cm3【作业4】这个图形是由8个小