复变函数的积分 复习题

第三章、复变函数的积分||z1、分别计算沿（1）（2）单位圆（（3）单位圆的右半圆的下列积分：

）的左半圆；I

i|z|dz。i。2、计算积分：

，I Rezdz，L在这里L（1）单位圆（按反时针方向从1到1取积分；（2）z1f(z)

2。|zz

|r(0r

3、设函数 当

0 0 0

时是连续

M(r)

表示|f(z

|zz在0在

|rr0上的最大值，并且假定试证明

limM(r)0。r。lim f(z)dz0。r K。在这里K

|zz是圆r 是圆

rr4、如果满足上题条件的函数rr

f(z)

|zz还在0还在

|r0内解析，那么对任何Kr

0，f(z)dz05、计算积分：

11 dz1|z|2z46f(z)g(z)在单连通区域D内解析，证明： f(z)g'(z)dzf(z)g(z)| f'(z)g(z)dz在这里从的。

到 的积分是

D内连接

及 的一条简单曲线取7、计算积分：dzI

I

lnzdzz（1） ； （2） ，zC C在这里用C（11取积分11数分别取为按下列各值决定的解析分支：（1） （2）或。ln10 ln1 i或。8、如果积分路径不经过点i，那么1 dz

k (k01z2 4| | (x2（1）

iy2)dz|2

，为联-ii的线段；，（2）

C|(x2|C

iy2)dy

C |zC |z1， 为右单位圆 ，；Rez0；||z2（3）z2C

2

，ii+1的线段。，。10、设f(z)在原点的邻域内连续，那么。2lim2r0

f(rei

)d(0)10、计算积分ezdz

dz（1）

|z|1

z ； （2）

|z|2

z22；（3）

|z|1

dzz22； （3）

|z|1

zdz(2z1)(z2)。12、证明zn 1 znezd( )2

||3n 在这里C 是围绕原点的一条简单闭曲线。f(z)

1d

f'(i1)13、设

||3

z ，求 。14、通过计算

(z

1 dz)2n , (n |z|1 z z证明20

cos2n

135(2n1)2462n 。|z1 f(z)15、如果在 内， 解析，并且|f(z)

1|z|，证明1|f(n)(z)|(n1)!(1)nn

e(n1,2,...)。16

f(z)

|zz在0在

|r0

limf(z)A，z，那么对任何正数

rr01

f(z)dzA iK，r，在这里K

|zz是圆r 是圆

，积分是按反时针方向取的。17、如果析，并且

f(z)CD内及C上每一点解，那么limf(z)，那么z1 f)

f(z)

z)-

d

。zC)iKr18、设

f(z)在单连通区域D内解析，并且不等于零。那么g(z) D g(z) D e f(z)qq 2 h(z)。对于整数 ，存在一个 在 内解析，使得。[h(z)q

f(z)P(z) n(nP(z)19、设是一个 次多项式，并且 的全部在区域所以D内，在这里DP(z) n(nP(z)（1）令R(z) 1

f(t)P(t)P(z)dt (zD) iCPt) tzQ(z)

1 i

f(t) 1P(t)t

dt (zD)，证明R(z)是次数不超过n-1的一个多项式，并且Q(z)在D内，解析。(2)

D，，一f(z)P(z)Q(z)R(z)，，一