高数-考研-二阶常系数线性微分方程-第五节课件

第五节

二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程第五节

二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数1定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的2一、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根一、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上3有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特4有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为5有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为6定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特7解特征方程为解得故所求通解为例2解特征方程为解得故所求通解为例28二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构常见类型难点：如9设非齐方程特解为代入原方程设非齐方程特解为代入原方程10综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k11特别地特别地12解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例1解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例13利用欧拉公式利用欧拉公式14注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.15解对应齐方通解作辅助方程代入上式所求非齐方程特解为原方程通解为（取虚部）例2解对应齐方通解作辅助方程代入上式所求非齐方程特解为原方程通解16解对应齐方通解作辅助方程代入辅助方程例3解对应齐方通解作辅助方程代入辅助方程例317所求非齐方程特解为原方程通解为（取实部）注意所求非齐方程特解为原方程通解为（取实部）注意18解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为例4解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为例419小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.

(见下表)小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的20高数-考研-二阶常系数线性微分方程-第五节课件21小结(待定系数法)只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.小结(待定系数法)只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取22思考题求微分方程的通解.思考题求微分方程23思考题解答令则特征根通解思考题解答令则特征根通解24思考题写出微分方程的待定特解的形式.思考题写出微分方程的待定特解的形式.25思考题解答设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）思考题解答设26练习题练习题27高数-考研-二阶常系数线性微分方程-第五节课件28练习题答案练习题答案29高数-考研-二阶常系数线性微分方程-第五节课件30练习题练习题31练习题答案练习题答案32第五节

二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程第五节

二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数33定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的34一、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根一、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上35有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特36有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为37有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为38定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特39解特征方程为解得故所求通解为例2解特征方程为解得故所求通解为例240二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构常见类型难点：如41设非齐方程特解为代入原方程设非齐方程特解为代入原方程42综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k43特别地特别地44解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例1解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例45利用欧拉公式利用欧拉公式46注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.47解对应齐方通解作辅助方程代入上式所求非齐方程特解为原方程通解为（取虚部）例2解对应齐方通解作辅助方程代入上式所求非齐方程特解为原方程通解48解对应齐方通解作辅助方程代入辅助方程例3解对应齐方通解作辅助方程代入辅助方程例349所求非齐方程特解为原方程通解为（取实部）注意所求非齐方程特解为原方程通解为（取实部）注意50解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为例4解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为例451小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.

(见下表)小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的52高数-考研-二阶常系数线性微分方程-第五节课件53小结(待定系数法)只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.小结(待定系数法)只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取54思考题求微分方程的通解.思考题求微分方程55思考题解答令则特征根通解思考题解答令则特征根通解56思考题写出微分方程的待定特解的形式.思考题写出微分方程的待定特解的形式.57思考题解答设的特解为设