文科数学-第2篇10讲

第10讲导数的概念及运算f′(x0)或y′|x＝x0

(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝________．f′(x0)3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝___f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝_______f(x)＝sinxf′(x)＝_______f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝exf′(x)＝_______f(x)＝ax(a＞0，a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝lnxf′(x)＝_______f(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝_______0nxn－1cosx－sinxexaxlna4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝___________________；

(2)[f(x)·g(x)]′＝____________________；f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)辨析感悟1．对导数概念的理解

(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率． () (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同． ()2．对导数的几何和物理意义的理解

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． () (4)物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t＝0. () (5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同． ()××√×××××[感悟·提升]1．一个区别曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线唯一，若斜率存在时，切线的斜率k＝f′(x0)；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．2．三个防范一是并不是所有的函数在其定义域上的每一点处都有导数，如函数y＝|x|在x＝0处就没有导数． 二是曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别，如(3)． 三是对函数求导要看准自变量，是对自变量的求导，而不是对其它参数的求导，如(6)．答案B

规律方法

(1)进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混．(2)求导前应利用代数、三角恒等变形将函数先化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．答案(1)A

(2)1

考点二利用导数的几何意义求曲线的切线方程【例2】已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． 审题路线

(1)求f′(x)⇒求f′(2)⇒求f(2)⇒由点斜式写出切线方程．

(2)设切点P(x0，y0)⇒求f′(x0)⇒由点斜式写出过点A的切线方程⇒把点P代入切线方程⇒求x0⇒再代入求得切线方程．解(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.规律方法

利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，注意区分是曲线在某点处的切线，还是过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．求过某点的切线方程时需设出切点坐标，进而求出切线方程．【训练2】

(1)(2014·德州期末)设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为 (

)．

A．y＝3x＋1

B．y＝－3x C．y＝－3x＋1

D．y＝3x－3 (2)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．答案(1)B

(2)y＝4x－3

考点三利用曲线的切线方程求参数【例3】

(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.求a，b的值． 解f′(x)＝aex＋ex(ax＋b)－2x－4

＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，∴f′(0)＝a＋b－4＝4， 又f(0)＝b＝4，∴a＝4.规律方法

已知曲线在某点处的切线方程求参数，是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用，解题的关键是这个点不仅在曲线上也在切线上．1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．[错解]

∵点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，∴直线l与曲线y＝f(x)相切于点O.则k＝f′(0)＝2，直线l的方程为y＝2x.又直线l与曲线y＝x2＋a相切，∴x2＋a－2x＝0满足Δ＝4－4a＝0，a＝1，选A.[答案]

A[错因]

(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x相切”．这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O，解析中忽视后面情况．(2)本题