数学与统计学院微积分A1第一学期期末考试试卷4及答案_第1页
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PAGE4PAGE数学与统计学院2009-2010第一学期《微积分A1》期末考试试题一、（42分）试解下列各题：1、计算;2、计算;3、计算;4、计算;5、求曲线自至一段弧的长度;6、设，求.二、（8分）已知，其中由方程确定，求.三、（8分）设,，试证明数列收敛，并求.四、（15分）已知函数，求：1、函数的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。（五题图）五、（12分）1、在曲线（）的点处作一切线，使之与曲线、轴所围平面图形的面积为，试求：（1）切点的坐标；（2）由上述所围图形绕轴旋转一周所得立体的体积。2、一个5公斤的漏桶通过以常速率拉一条20米长的绳子从地面升至空中（如图），绳重0.08公斤/米，开始时桶中装16公斤的水并以常速率漏水，桶到顶时水刚好漏完，求在整个过程消耗的功是多少？六、（10分）设在上连续，在内可导，且，证明：（1）存在，使;（2）对任意实数，必存在，使.七、（5分）设为实数，函数满足下列两个等式：，求证：，.数学与统计学院2009—2010第一学期《微积分A1》期末考试试题参考答案（42分）试解下列各题：1、解：原极限=2、解：原积分3、解：原式=4、解：5、解：6、解：二、（8分）解：，方程两边微分得：故有三、（8分）解：,，因此设，则单调增加，且,故存在设，则:解得.因为非负，∴四、（15分）解：定义域为令驻点，不可导点故单调增加区间为：，单调减少区间为：极小值为：，无极大值。2）下凸区间为：，无拐点，由，故为函数图形的铅直渐近线。又故为函数图形的斜渐近线。五、（12分）解：（1）设切点B的坐标为，则过点B的切线斜率为，于是切线方程为，和轴交点为，由，得a=1，因此切点坐标为(1,1)。（2）2、在高度处的绳、桶、水的总重是：故消耗的功为：公斤米六、（10分）证明：（1）令，则故，使得，即（2）设，则，由罗尔定理：，即即七、（5分）证：应用泰勒公式，我们有：（1）（2）分别得：（3）（4

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