物理奥赛：力学万有引力与天体运动课件

第六专题万有引力定律与天体运动解题知识与方法研究疑难题解答研究例题4（星球运动的阻力）例题1（天体轨道的判定）例题3（卫星“怪像”）例题5（飞船着陆问题）例题6（飞船和宇航站对接问题）例题2（利用万有引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径）一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化二、引力问题的基本运动方程三、行星绕日运动的轨道与能量例题7（双星问题）疯赤宵敝逸刨律酱皆互弗幕欣髓亭贿伺陨桩欢竿升觉续伶飞催暖轨宜换杨物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动第六专题万有引力定律与天体运动解题知识与方法研究疑难1一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化（1）天体通常相距很远，故可将天体处理为质点.（2）很多时候，某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的：a、可将该两天体作为二体问题处理.b、施力天体由于某些原因（如质量相对很大）在某惯性系中可认为几乎不动，这时问题很简单（我们通常讨论的就是这种情况）.二、引力问题的基本动力学方程如图，行星m在太阳M的有心引力作用下运动.行星的横向加速度等于零.有径向动力学方程解题知识与方法研究在太阳惯性参照系中，由牛顿运动定律和引力定律爵鸳孽覆亥彦坑增溺肌茵皮议繁活征深任足烙宁鼎徐毋愈赵猪中津告胎邮物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化（1）天体通常相距很远，2此式变化后即得开普勒第二定律：表明：开普勒第二定律不过角动量守恒定律的特殊表现.开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动.又因万有引力为保守力，故“太阳+行星”系统的机械能守恒当然，此方程也不限于行星做椭圆轨道运动！因为引力为有心力，故行星对太阳参考轴角动量守恒戴持允躁缄抿讼弗拔焕云诛耀惮裴型充挣筒鲜悲覆吉酗拾头驼配指天浑馆物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动此式变化后即得开普勒第二定律：表明：又因万有3三、天体绕日运动的轨道与能量根据万有引力定律和其他牛顿力学定律（角动量守恒、机械能守恒等）可导出在如图的极坐标下的绕日运动的天体的轨道方程：轨道方程为一圆锥曲线方程：（1）（即开普勒第一定律）；总能量为：（2）总能量为：郑吸啪碱笋荤堕蔫痪旅重逃抖瘴慢蹈宰辜捡涣仰鹏弘挪望狞俭嗣级暇筐锯物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动三、天体绕日运动的轨道与能量根据万有引力定律4（3）总能量为：自行计算出上述三个能量值！（能否不用高等数学？）胎沿频潦爆钮憋荒随拖帽眨玉砖颤筑硼反助裳脓粘捷教秩奢绸赣错提沽喀物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动（3）总能量为：自行计算出上述三个能量值！胎沿频潦爆钮憋荒随5

例1（天体轨道的判定）如图，太阳系中星体A做半径为R1的圆运动，星体B作抛物线运动.B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1，且两轨道在同一平面上，两星体运动方向也相同.设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上.A、B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体.其间的质量损失可忽略.试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆.解计算新星体C的机械能.在径向：可认为在A、B靠拢过程中质心未动.所以C到太阳的距离为在切向：A、B合并过程中动量也守恒，②则有研究②式中的vA、vB：因A作圆运动，疑难题解答研究①兑贸失伶捶秩稿朔叛递骄葬绍钞国徊唆鳖淡畜尊篷屿寂堤躲告恬身疲缀茂物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动例1（天体轨道的判定）如图，太阳系中星6所以利用①③，C星体的机械能为因此，新星体C的轨道为椭圆.

题后思考

本题能不能直接判断？EA<0，EB=0，EA+EB=？EC与(EA+EB)谁大谁小？C的轨道是什么？

将vA、vB代入②得③B作抛物线运动，机械能为零.因而有①珠屠笋称坦仕韦巷尖瓣现佐恫防脐鱼颗袁昌撕捐佐澈池版袒轰九响堆疏养物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动所以利用①③，C星体的机械能为因此，新星体C的轨道为椭圆.7

例2（利用引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径）行星绕太阳作椭圆运动，已知轨道半长轴为A，半短轴为B，太阳质量记为MS.试用物理方法求椭圆各定点处的曲率半径.解行星运动情况如图.由顶点1、2、3处的机械能守恒和面积速度相等可得由图可知代入②式得③由①③解得只要求得顶点处的速度问题便不难解决！据①②均材掂卫版溃匹氧促硷糙拎毖礁胁勤驭飘糕侣帜阂祭墟趾捆痢诣呐沮窖蓬物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动例2（利用引力作用下的质点运动求椭圆曲率半8求顶点1处的曲率半径ρ1：将前面得到的v1代入，求顶点3处的曲率半径ρ3：将前面得到的v3代入，

题后小结与思考椭圆上其他点曲率半径能不能用此方法得到？求抛物线任意点的曲率半径、正弦曲线顶点的曲率半径.即得即得惦葱免似尔意锦锯藤挥斡恩讽深金笆阉恳菇汉恰晕蛋磊边枣哈糙炔歼豺步物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动求顶点1处的曲率半径ρ1：将前面得到的v1代9

例3（卫星怪像问题）

质量为m的人造卫星在绕地球（质量为Me）的飞行过程中，由于受到微弱的摩擦阻力f（常量），不能严格按圆周轨道运动，而是缓慢地沿一螺旋形轨道接近地球.因f很小，轨道半径变化十分缓慢，每一周均可近似处理为半径为r的圆周轨道，但r将逐周缩短.试求在r轨道上旋转一周，r的改变量及卫星动能EK的改变量.解卫星的动能、势能、总机械能为在运行中万有引力作为向心力将此代入EK、E的表达式，可得到卫星旋转一周摩擦力做功为玛寇恍癣长它霸匙裁晦蘑犀泼体罩蔗崇勒绣酵委劣吊幸映两掇绞坠躇溪骋物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动例3（卫星怪像问题）质量为m的人造卫星在10所以卫星每旋转一周，r的改变量为动能的改变量为由功能关系，当卫星旋转一周时，有即现在觉得“卫星怪像”还怪不怪？骆璃蔗劫报瑟应尊疚符徽镜须抖脑氦催秃射坏毯谭唤拌趋柳立觉敬寒弄诚物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动所以卫星每旋转一周，r的改变量为动能的改变量为11

例4（星体运动的阻力）一个质量为M、半径为R的星球以速度V通过质量密度为的非常稀薄的气体,由于它的引力场，此星球将吸引迎面接近它的粒子，并俘获撞在它表面上的所有的气体分子.设相对于速度V，分子的热运动速度可忽略.分子间的相互作用不计.求作用在星体上的阻力.解为方便研究问题取星球为参照系.气体分子的运动及与星球的碰撞如图所示.在横截面为的圆柱体内的分子才能与星球相碰.研究圆截面边缘上的一个分子：设被俘获前的瞬间（A点处）的速度为v.由角动量守恒得由机械能守恒得楚痈涤慰表用欠综懦焰弟纳傈圃膳宿馋炉爸柯莲郝锡谚簧抠毫克滤寻值兽物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动例4（星体运动的阻力）一个质量为M、半径为R12设气体受到的阻力为f（等于星球所受阻力），使气体的动量改变为由动量定理知星球在Δt时间内得到钻漾彤曼智朴销宏折毒涅乍棕愤腰菇灵崖字诊珐榆蹈惧闯雷诡鸡雨知株怠物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动设气体受到的阻力为f（等于星球所使气体的动量13

例5（飞船着陆问题）一质量为m=12×103kg的太空飞船在围绕月球的圆轨道上运动，其高度h=100km.为使飞船落到月球表面，喷气发动机在图中P点作一短时间发动.从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10km/s，月球半径为R=170km，月球表面的落体加速度g=1.7m/s2.飞船可用两种不同方式到达月球（如图所示）：（1）向前喷射气流，使飞船到达月球背面的A点（与P点相对），并相切.（2）向外喷射气流，使飞船得到一指向月球中心的动量，飞船轨道与月球表面B点相切.试计算上述两种情况下所需要的燃料量.解喷气后，飞船轨道由圆变成了的椭圆的一部分（如图）.设飞船喷气前的速度v0，月球质量为M，月球表面的重力加速度为代入上式，便得（1）（2）则有求出喷气前、后飞船的速度问题即可解决！廖乐赃驼琵道餐辉童暑口郎先坠横怕丈逢啼槽灯闰酱聚字堆祁禹昌舷怂捡物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动例5（飞船着陆问题）一质量为m=12×14（1）设飞船在P点向前方喷气后速度减为v1.到达A处速度为vA.联立此两式消去vA解得对喷气前后的短暂过程，由动量守恒有解得（2）因沿圆半径向外喷气使飞船在向心方向获的速度vr，从而飞船的速度变为同样有角动量和能量守恒方程（1）（2）则由角动量守恒和能量守恒得设喷出的气体质量为Δm1,刀会项升形虎景噬奠沟拽夸宁苏偷康邻赣税痔锨详材辰锨卑炙失炎峨旦贺物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动（1）设飞船在P点向前方喷气后速度减为v1.到达A处速度为15联立此两式消去vB解得对喷气前后的短暂过程，在沿原半径方向上由动量守恒有解得显然，所以选择第一种方式登月较省燃料.

题后思考仔细研究如何计算喷出的气体相对月球的速度！（1）（2）设喷出的气体质量为Δm2,揣畦脂望殃霖悔十耘尉反湖织酞装尖洞她芯洁狮匠哀隙预诣靳吏兄徐儡诌物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动联立此两式消去vB解得16

例6质量为M的宇航站和已对接上的质量为m的飞船沿圆形轨道绕地球运动着，其轨道半径是地球半径的n=1.25倍.某瞬间，飞船从宇航站沿运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地心的距离为8nR.问飞船与宇航站的质量比m/M为何值时，飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇.解发射前后飞船、宇航站的运动情况如图.记地球质量为ME，发射前共同速度为u.由得记分离后的瞬间飞船速度为v，宇航站速度为V.由动量守恒有所求的比值为①进一步研究分离后飞船和宇航站的运动，求v、V：匈状间馆伏海循韵掀韶蠢签火陨庐速范棱缄馏熟吞瘟卜婚经滦肯蚌瘴许伐物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动例6质量为M的宇航站和已对接上的质量为17研究分离后的飞船：由开普勒第二定律及能量守恒定律有由此两式解出②研究分离后的宇航站：由开普勒第二定律及能量守恒定律有由此两式解出③设远地心点的速度为v′，设近地心点的速度为V′，距地心r.晦眼潭服珠越黔靳限夺险掂养似寅柴肉藩蒙钮悄夺签域讫睡市哄谋详烹耽物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动研究分离后的飞船：18研究分离后的相遇以求得r：设飞船的周期为t，宇航站的周期为T.由开普勒第三定律有即确定t/T：因飞船运行一周恰好与宇航站相遇，所以代入上式，得④故应宇航站不能与地球相碰（只要近地点不碰，其它点便不会相碰）.将④代入，得抬缩址谅氮辞刻虫鳖羊忽藩浪强社碾汞孜傀钥爬闭莉渐偿弯趾戊邑眯尸棠物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动研究分离后的相遇以求得r：设飞船的周期为t19即所以由上述①②③④式求m/M：得可见k只能取两个值：k=10，11.相应有

题后思考最后结果为何与u无关？若分离后v、V反向，结果又如何？④③②①蔷抖米兢孕谨虞陶丛嘿半邀辣伸那嗜赊蜘双葡虽惺疹远喻廓要眷麓薪赵男物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动即所以由上述①②③④式求m/M：得可见k只能取两个值：k=120

例7一双星系统，两颗星的质量分别为M和m（设M>m），距离为d，在引力作用下绕不动的质心作圆周运动.设这两颗星近似为质点.在超新星爆炸中，质量为M的星体损失质量ΔM.假设爆炸是瞬时的、球对称的，并且对残余体不施加任何作用力（或作用力抵消），对另一颗星也无直接作用.试求，在什么条件下，余下的新的双星系统仍被约束而不相互远离.解需计算爆炸后的总机械能.如图，爆炸前两星绕质心旋转.旋转的角速度满足爆炸后的瞬间，因球对称爆炸所以（M-ΔM）位置、速度均不变.无作用，故m的位置、速度也不变.因爆炸对星体m也旋转半径满足丈音娘缕舰骤舍悉竣厢蘸格块豫渍镐仲陪家吵沸看奔左亢氦裁具浮面匀跨物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动例7一双星系统，两颗星的质量分别为M和21新系统的质心C′还在两星连线上的原处吗？新系统的质心C′还会静止吗？新系统的势能为新系统在新质心参照系中的动能为由系统动量的质心表达可知新系统质心速度为注意到式中的所以卸校订舔再萌印歇淆叔及韶跪镁甭婚崔漓名辖破赐寅洗菲争梧凛嵌匣乔阎物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动新系统的质心C′还在两星连线上的原处吗？新系统的质心C′还会22进而得到系统在新质心系中的动能为新系统仍被约束的条件是

题后思考以后两星还绕新质心作圆运动吗?(严格证明你的结论！)煎级恰蕊嘎拂舶袒郴窜览笆歌父断坍圃懂芍缺潍颓眯侨男缚淮洱舔帮厦抒物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动进而得到系统在新质心系中的动能为新系统仍被约束的条件是23另解用二体问题折合质量法爆炸前：两星折合质量两星折合质量等效的运动如图（a）.μ旋转的速度v满足爆炸后：等效的运动如图（b）.新系统的势能新系统的动能代入系统约束的条件解得（b）（a）

题后思考计算两体的引力势能时为何不用折合质量？胜拘爸裳戍壹秦珍峨瓦荒衣勘篱崎科拢翁胆砾意柿襟凯约漱叁篮服叼刁拄物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动另解用二体问题折合质量法爆炸前：两星折合质量两星折合质量等效24两体问题仅有两个质点组成的孤立系统，两个质点的质量为m1、m1，相互作用力大小为f，从m1至m2的矢径为.对m2，由牛顿第二定律有将（1）代入（2）：则有（3）式表明，若取m1为参照系（一般不是惯性系，在此系中牛顿第二定律不成立），则在此参照系中m2的运动完全相同于质量为μ的质点在中心力的作用下按牛顿第二定律所形成的运动，而无须考虑惯性力的作用.取二者的质心C为参照系（惯性系）.设C到m1的矢径为.有陡储钓峡肆等簿真禾戚妻操麻鲁娠悠煮麦盗瘸卡吁缩自讯严刮裂沸坡临笋物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动两体问题仅有两个质点组成的孤立系统，两个质点25“卫星怪象”问题

卫星（质量为m）与地球（质量为M）系统的总能量为即于是可知对两端的变化量有即怪哉！在总机械能减少（）时，动能增加而势能却减少！？该如何解释？铺炎盐譬快胸萄跋匣押雌咸任化罩悬烷象表际讨阮奉七踪柴编席四掷溉殿物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动“卫星怪象”问题卫星（质量为m）与地球（质量26第六专题万有引力定律与天体运动解题知识与方法研究疑难题解答研究例题4（星球运动的阻力）例题1（天体轨道的判定）例题3（卫星“怪像”）例题5（飞船着陆问题）例题6（飞船和宇航站对接问题）例题2（利用万有引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径）一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化二、引力问题的基本运动方程三、行星绕日运动的轨道与能量例题7（双星问题）疯赤宵敝逸刨律酱皆互弗幕欣髓亭贿伺陨桩欢竿升觉续伶飞催暖轨宜换杨物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动第六专题万有引力定律与天体运动解题知识与方法研究疑难27一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化（1）天体通常相距很远，故可将天体处理为质点.（2）很多时候，某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的：a、可将该两天体作为二体问题处理.b、施力天体由于某些原因（如质量相对很大）在某惯性系中可认为几乎不动，这时问题很简单（我们通常讨论的就是这种情况）.二、引力问题的基本动力学方程如图，行星m在太阳M的有心引力作用下运动.行星的横向加速度等于零.有径向动力学方程解题知识与方法研究在太阳惯性参照系中，由牛顿运动定律和引力定律爵鸳孽覆亥彦坑增溺肌茵皮议繁活征深任足烙宁鼎徐毋愈赵猪中津告胎邮物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化（1）天体通常相距很远，28此式变化后即得开普勒第二定律：表明：开普勒第二定律不过角动量守恒定律的特殊表现.开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动.又因万有引力为保守力，故“太阳+行星”系统的机械能守恒当然，此方程也不限于行星做椭圆轨道运动！因为引力为有心力，故行星对太阳参考轴角动量守恒戴持允躁缄抿讼弗拔焕云诛耀惮裴型充挣筒鲜悲覆吉酗拾头驼配指天浑馆物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动此式变化后即得开普勒第二定律：表明：又因万有29三、天体绕日运动的轨道与能量根据万有引力定律和其他牛顿力学定律（角动量守恒、机械能守恒等）可导出在如图的极坐标下的绕日运动的天体的轨道方程：轨道方程为一圆锥曲线方程：（1）（即开普勒第一定律）；总能量为：（2）总能量为：郑吸啪碱笋荤堕蔫痪旅重逃抖瘴慢蹈宰辜捡涣仰鹏弘挪望狞俭嗣级暇筐锯物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动三、天体绕日运动的轨道与能量根据万有引力定律30（3）总能量为：自行计算出上述三个能量值！（能否不用高等数学？）胎沿频潦爆钮憋荒随拖帽眨玉砖颤筑硼反助裳脓粘捷教秩奢绸赣错提沽喀物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动（3）总能量为：自行计算出上述三个能量值！胎沿频潦爆钮憋荒随31

例1（天体轨道的判定）如图，太阳系中星体A做半径为R1的圆运动，星体B作抛物线运动.B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1，且两轨道在同一平面上，两星体运动方向也相同.设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上.A、B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体.其间的质量损失可忽略.试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆.解计算新星体C的机械能.在径向：可认为在A、B靠拢过程中质心未动.所以C到太阳的距离为在切向：A、B合并过程中动量也守恒，②则有研究②式中的vA、vB：因A作圆运动，疑难题解答研究①兑贸失伶捶秩稿朔叛递骄葬绍钞国徊唆鳖淡畜尊篷屿寂堤躲告恬身疲缀茂物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动例1（天体轨道的判定）如图，太阳系中星32所以利用①③，C星体的机械能为因此，新星体C的轨道为椭圆.

题后思考

本题能不能直接判断？EA<0，EB=0，EA+EB=？EC与(EA+EB)谁大谁小？C的轨道是什么？

将vA、vB代入②得③B作抛物线运动，机械能为零.因而有①珠屠笋称坦仕韦巷尖瓣现佐恫防脐鱼颗袁昌撕捐佐澈池版袒轰九响堆疏养物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动所以利用①③，C星体的机械能为因此，新星体C的轨道为椭圆.33

例2（利用引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径）行星绕太阳作椭圆运动，已知轨道半长轴为A，半短轴为B，太阳质量记为MS.试用物理方法求椭圆各定点处的曲率半径.解行星运动情况如图.由顶点1、2、3处的机械能守恒和面积速度相等可得由图可知代入②式得③由①③解得只要求得顶点处的速度问题便不难解决！据①②均材掂卫版溃匹氧促硷糙拎毖礁胁勤驭飘糕侣帜阂祭墟趾捆痢诣呐沮窖蓬物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动例2（利用引力作用下的质点运动求椭圆曲率半34求顶点1处的曲率半径ρ1：将前面得到的v1代入，求顶点3处的曲率半径ρ3：将前面得到的v3代入，

题后小结与思考椭圆上其他点曲率半径能不能用此方法得到？求抛物线任意点的曲率半径、正弦曲线顶点的曲率半径.即得即得惦葱免似尔意锦锯藤挥斡恩讽深金笆阉恳菇汉恰晕蛋磊边枣哈糙炔歼豺步物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动求顶点1处的曲率半径ρ1：将前面得到的v1代35

例3（卫星怪像问题）

质量为m的人造卫星在绕地球（质量为Me）的飞行过程中，由于受到微弱的摩擦阻力f（常量），不能严格按圆周轨道运动，而是缓慢地沿一螺旋形轨道接近地球.因f很小，轨道半径变化十分缓慢，每一周均可近似处理为半径为r的圆周轨道，但r将逐周缩短.试求在r轨道上旋转一周，r的改变量及卫星动能EK的改变量.解卫星的动能、势能、总机械能为在运行中万有引力作为向心力将此代入EK、E的表达式，可得到卫星旋转一周摩擦力做功为玛寇恍癣长它霸匙裁晦蘑犀泼体罩蔗崇勒绣酵委劣吊幸映两掇绞坠躇溪骋物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动例3（卫星怪像问题）质量为m的人造卫星在36所以卫星每旋转一周，r的改变量为动能的改变量为由功能关系，当卫星旋转一周时，有即现在觉得“卫星怪像”还怪不怪？骆璃蔗劫报瑟应尊疚符徽镜须抖脑氦催秃射坏毯谭唤拌趋柳立觉敬寒弄诚物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动所以卫星每旋转一周，r的改变量为动能的改变量为37

例4（星体运动的阻力）一个质量为M、半径为R的星球以速度V通过质量密度为的非常稀薄的气体,由于它的引力场，此星球将吸引迎面接近它的粒子，并俘获撞在它表面上的所有的气体分子.设相对于速度V，分子的热运动速度可忽略.分子间的相互作用不计.求作用在星体上的阻力.解为方便研究问题取星球为参照系.气体分子的运动及与星球的碰撞如图所示.在横截面为的圆柱体内的分子才能与星球相碰.研究圆截面边缘上的一个分子：设被俘获前的瞬间（A点处）的速度为v.由角动量守恒得由机械能守恒得楚痈涤慰表用欠综懦焰弟纳傈圃膳宿馋炉爸柯莲郝锡谚簧抠毫克滤寻值兽物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动例4（星体运动的阻力）一个质量为M、半径为R38设气体受到的阻力为f（等于星球所受阻力），使气体的动量改变为由动量定理知星球在Δt时间内得到钻漾彤曼智朴销宏折毒涅乍棕愤腰菇灵崖字诊珐榆蹈惧闯雷诡鸡雨知株怠物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动设气体受到的阻力为f（等于星球所使气体的动量39

例5（飞船着陆问题）一质量为m=12×103kg的太空飞船在围绕月球的圆轨道上运动，其高度h=100km.为使飞船落到月球表面，喷气发动机在图中P点作一短时间发动.从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10km/s，月球半径为R=170km，月球表面的落体加速度g=1.7m/s2.飞船可用两种不同方式到达月球（如图所示）：（1）向前喷射气流，使飞船到达月球背面的A点（与P点相对），并相切.（2）向外喷射气流，使飞船得到一指向月球中心的动量，飞船轨道与月球表面B点相切.试计算上述两种情况下所需要的燃料量.解喷气后，飞船轨道由圆变成了的椭圆的一部分（如图）.设飞船喷气前的速度v0，月球质量为M，月球表面的重力加速度为代入上式，便得（1）（2）则有求出喷气前、后飞船的速度问题即可解决！廖乐赃驼琵道餐辉童暑口郎先坠横怕丈逢啼槽灯闰酱聚字堆祁禹昌舷怂捡物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动例5（飞船着陆问题）一质量为m=12×40（1）设飞船在P点向前方喷气后速度减为v1.到达A处速度为vA.联立此两式消去vA解得对喷气前后的短暂过程，由动量守恒有解得（2）因沿圆半径向外喷气使飞船在向心方向获的速度vr，从而飞船的速度变为同样有角动量和能量守恒方程（1）（2）则由角动量守恒和能量守恒得设喷出的气体质量为Δm1,刀会项升形虎景噬奠沟拽夸宁苏偷康邻赣税痔锨详材辰锨卑炙失炎峨旦贺物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动（1）设飞船在P点向前方喷气后速度减为v1.到达A处速度为41联立此两式消去vB解得对喷气前后的短暂过程，在沿原半径方向上由动量守恒有解得显然，所以选择第一种方式登月较省燃料.

题后思考仔细研究如何计算喷出的气体相对月球的速度！（1）（2）设喷出的气体质量为Δm2,揣畦脂望殃霖悔十耘尉反湖织酞装尖洞她芯洁狮匠哀隙预诣靳吏兄徐儡诌物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动联立此两式消去vB解得42

例6质量为M的宇航站和已对接上的质量为m的飞船沿圆形轨道绕地球运动着，其轨道半径是地球半径的n=1.25倍.某瞬间，飞船从宇航站沿运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地心的距离为8nR.问飞船与宇航站的质量比m/M为何值时，飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇.解发射前后飞船、宇航站的运动情况如图.记地球质量为ME，发射前共同速度为u.由得记分离后的瞬间飞船速度为v，宇航站速度为V.由动量守恒有所求的比值为①进一步研究分离后飞船和宇航站的运动，求v、V：匈状间馆伏海循韵掀韶蠢签火陨庐速范棱缄馏熟吞瘟卜婚经滦肯蚌瘴许伐物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动例6质量为M的宇航站和已对接上的质量为43研究分离后的飞船：由开普勒第二定律及能量守恒定律有由此两式解出②研究分离后的宇航站：由开普勒第二定律及能量守恒定律有由此两式解出③设远地心点的速度为v′，设近地心点的速度为V′，距地心r.晦眼潭服珠越黔靳限夺险掂养似寅柴肉藩蒙钮悄夺签域讫睡市哄谋详烹耽物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动研究分离后的飞船：44研究分离后的相遇以求得r：设飞船的周期为t，宇航站的周期为T.由开普勒第三定律有即确定t/T：因飞船运行一周恰好与宇航站相遇，所以代入上式，得④故应宇航站不能与地球相碰（只要近地点不碰，其它点便不会相碰）.将④代入，得抬缩址谅氮辞刻虫鳖羊忽藩浪强社碾汞孜傀钥爬闭莉渐偿弯趾戊邑眯尸棠物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动研究分离后的相遇以求得r：设飞船的周期为t45即所以由上述①②③④式求m/M：得可见k只能取两个值：k=10，11.相应有

题后思考最后结果为何与u无关？若分离后v、V反向，结果又如何？④③②①蔷抖米兢孕谨虞陶丛嘿半邀辣伸那嗜赊蜘双葡虽惺疹远喻廓要眷麓薪赵男物理奥赛：力学万有引力与天体运动物理奥赛：力学万有引力与天体运动即所以由上述①②③④式求m/M：得可见k只能取两个值：k=146

例7一双星系统，两颗星的质量分别为M和m（设M>m），距离为d，在引力作用下绕不动的质心作圆周运动.设这两颗星近似为质点.在超新星爆炸中，质量为M的星体