弹性地基梁原理

弹性地基梁计算原理（补充内容一）概述柱下条形基础、筏板基础的简化计算方法都假定基础是无限刚性，且不考虑上部结构刚性的影响。如条形基础简化计算方法的适用条件：地基均匀、上部结构刚度好、基础梁h≥l/6可以假定地基反力按直线分布。若不满足上述条件应考虑地基梁和地基变形协调条件，以确定地基梁的实际反力分布，使之尽量符合实际情况。下面介绍常用的弹性地基模型和常用的分析方法。注意：本节介绍的方法，仅考虑基础本身刚度作用，而忽略上部结构刚度的影响。弹性地基梁计算原理（补充内容一）概述1一、弹性地基模型地基模型：用以描述地基σ~ε的数学模型。下面介绍的地基模型应注意其适用条件。1.文克尔地基模型适用条件：抗剪强度很低的半液态土(如淤泥、软粘土等)地基或塑性区相对较大土层上的柔性基础，采用该方法比较合适。厚度度不超过梁或板的短边宽度之半的薄压缩层地基(如薄的破碎岩层)上的柔性基础也适于该方法。基本假定：地基上任一点所受的压力强度与该点的地基沉陷s成正比，关系式如下:P=ks一、弹性地基模型2P=ksk—地基基床系数，表示产生单位变形所需的压力强度(kN／m3)；p—地基上任—点所受的压力强度(kPa)；s—p作用位置上的地基变形(m)。基床系数k可根据不同地基分别采用现场荷载试验、室内三轴试验或室内固结试验成果获得。见下表。P=ks3地基基床系数表地基基床系数表4这个假定是文克勒于1867年捉出的．故称文克勒地基模型。该模型计算简便，只要k值选择得当，可获得较为满意的结果。地基土越软弱，上的抗的强度越低，该模型就越接近实际情况。缺点：文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，按这一模型．地基变形只发生在基底范围内，而基底范围外没有地基金形，这与实际情况是不符的，使用不当会造成不良后果。这个假定是文克勒于1867年捉出的．故称文克勒地基模型。该模52.弹性半空间地基模型适用条件：用于压缩层深度较大的一般土层上的柔性基础。原理：弹性半空间地基模型是将地基视作均匀的、各向同性的弹性半空间体。当Q作用在弹性半空间体表面上时,根据布氏的解：2.弹性半空间地基模型6矩形均布荷载作用下矩形面积中点的竖向位移计算矩形均布荷载作用下矩形面积中点的竖向位移计算7一般矩形受荷面积上各点变形和压力的关系的确定方法：首先把受荷面积划分成n个矩形网格，各网格的合力为Pi=piAi作用于网格的形心。柔度系数δij为j网格中点作用单位力（即Pj=1）作用下引起i网格中点的沉降。此刻j网格上均布荷载Pj=1/Aj，按叠加原理，n个网格的基底压力引起i网格中点的总沉降为：nji地基柔度系数求解的网格划分一般矩形受荷面积上各点变形和压力的关系的确定方法：nji8njinji9半无限弹性体空间模型虽然具有能够扩散应力和变形的优点，但是，它的扩散能力往往超过地基的实际情况。要求地基土的弹性模量和伯松比值较为准确。半无限弹性体空间模型虽然具有能够扩散应力和变形的优点，但是，103.分层地基模型分层地基模型即是我国地基基础规范中用以计算基础最终沉降的分层总和法(图)。按照分层总和法，地基最终沉降量等于压缩层范围内各计算分层在完全侧限条件下的压缩量之和。整个地基的压力和变形可以写成下式：3.分层地基模型11压缩层下限njihkσijk分层地基模型压缩层下限njihkσijk分层地基模型12式中：m—压缩层厚度内的分层数；hk—i网格中点下第k土层的厚度，m；Esk—i网格中点下第k土层的压缩模量，Kpa；σijk—j网格中点作用单位集中附加压力引起i网格中点下第k土层中点的附加应力，Kpa。该模型的计算结果比较符合实际情况，缺点：没有考虑低级图的塑性变形。式中：m—压缩层厚度内的分层数；13地基计算的模型选用是地基上梁板分析的关键问题。分析前应根据何在的大小和地基的实际情况选用合适的地基模型。二、静力平衡和变形协调条件在地基梁板分析中，首先要选择合适的地基计算模型，同时基础还应满足两个基本条件：静力平衡和变形协调条件。1.静力平衡条件：作用在基础上的荷载和地基反力向平衡：∑F=0∑M=02.变形协调条件：ωi=si表明：基础受力后，基础底面和地基表面保持接触，无脱开现象。依据这来那个个条件求解基础梁的内力和变形。地基计算的模型选用是地基上梁板分析的关键问题。分析前应根据何14文克勒地基上梁的计算一、文克勒地基上梁的解析式：文克勒地基上梁的计算15弹性地基梁原理16弹性地基梁原理17下面分别讨论长梁、半长梁以及有限长梁在文克勒地基上受到集中力或集中力矩作用时的解答。短粱(即刚性梁)。对于λ≤π/4的条形基础，可按一般的独立基础来考虑，即假定基底的反力为直线分布，基础的内力按倒梁法或静力平衡法分析法来计算。下面分别讨论长梁、半长梁以及有限长梁在文克勒地基上受到集中力181)长梁解梁的挠度随加荷点的距离增加而减小．当梁端离加荷点距离为无限远时，梁端挠度为零。在实际应用时，只要λL＞π，可将其当作长梁处理，视梁端挠度为零。

(1)无限长梁受集中力P0的作用(向下为正)设集中力作用点为坐标原点0，当x→∞时ω→0，从通解式可得：C1＝C2＝0。于是梁的挠度方程为由此可得：1)长梁解由此可得：19弹性地基梁原理20无限长梁的挠度ω、转角θ、弯矩M、剪力分布见下图无限长梁的挠度ω、转角θ、弯矩M、剪力分布见下图21无限长梁的挠度ω、转角θ、弯矩M、剪力分布图无限长梁的挠度ω、转角θ、弯矩M、剪力分布图22（2）无限长梁受集中力偶M0的作用(顺时针方向为正)以集中偶力偶M0作用点为坐标原点o，当x→∞时ω→0，从通解式可得：C1＝C2＝0。地基反力对原点时反对称，所以x=0,ω=0,得到C3=0,于是梁的挠度方程写成：M0这样，得到受集中力偶M0作用时长粱的挠度公式（x≥0）：（2）无限长梁受集中力偶M0的作用(顺时针方向为正)M0这样23弹性地基梁原理24若有多个荷载作用于长梁时．可用叠加原理求得其内力。若有多个荷载作用于长梁时．可用叠加原理求得其内力。252)半长梁解在实际工程中，基础梁还存在一端为有限梁端，另一端为无限长，此种基础梁称为半无限长梁，如条形基础的梁端作用有集中力Po和集中力偶M0的情况。可将坐标原点取在受力端，当x→∞时ω→0

，从通解式可得：C1＝C2＝0。当x＝0时，M＝M0,Q=-P。，由此可求得：2)半长梁解26弹性地基梁原理27弹性地基梁原理28弹性地基梁原理29（3）有限长梁解用无限长梁的解，按两步骤叠加求解（3）有限长梁解30有限长梁的解可采用Heteyi集中力作用下有限长梁的计算公式：有限长梁的解可采用Heteyi集中力作用下有限长梁的计算公式31十字交叉梁基础的设计可（补充内容二）一、应用范围：当单柱的上部荷载大，按条形基础设计无法满足地基承载力要求时，则可采用交叉条形基础，即十字交叉基础，使基础底面面积和基础整体刚度相应增大，同时可以减小地基的附加应力和不均匀沉降。十字交叉梁基础的设计可（补充内容二）32二、设计要点：十字交叉梁式的条形基础计算与上述条形基础一样，也根据其λL值，按无限长梁、有限长梁或短梁进行。所不同的就在于两个方向条形基础在交叉节点上的荷载要考虑如何在纵横两个条形基础上分配。十字交叉梁，为超静定空间结构，应用弹性理论精确计算十分复杂，通常采用简化计算法。

二、设计要点：33在基础交叉节点上，将柱荷载在纵横两个方向条形基础上进行分配，同时应满足变形协调关系，即分配后的荷载分别作用于纵向与横向基础梁上时，纵、横双向条形基础在各交叉节点处的变形相等。简化计算时，假定纵、横梁的抗扭刚度均为零。每个交叉节点仅由下列两个方程组成。在基础交叉节点上，将柱荷载在纵横两个方向条形基础上进行分配，34Ni—节i点的柱荷载；Nix—节点分配给x向条基的荷载;Niy—节点分配给y向条基的荷载;Wix—i节点处x向条基的挠度；Wiy—i节点处y向条基的挠度.对于无限长梁：半无限长梁：Ni—节i点的柱荷载；对于无限长梁：35对于无限长梁：半无限长梁：S—特征长度，S=1/λ；λ为柔度指数。K—基床系数。KN/m3；E—混凝土弹性模量，KPa。对于无限长梁：S—特征长度，S=1/λ；λ为柔度指数。K—基36三、三种节点荷载分配为：十字交叉基础的节点有三种：十字节点、T字节点7字节点。由上面公式，可以求解任意节点i柱荷载分配给纵、横方向条基的荷载。边柱节点中柱节点角柱节点ByByByByBxBxBx三、三种节点荷载分配为：边柱节点中柱节点角柱节点ByByBy37中柱节点基本方程：解此联立方程得：边柱节点中柱节点角柱节点ByByByByBxBxBx中柱节点解此联立方程得：边柱节点中柱节点角柱节点ByByBy38边柱节点基本方程：解此联立方程得：边柱节点中柱节点角柱节点ByByByByBxBxBxi边柱节点解此联立方程得：边柱节点中柱节点角柱节点ByByBy39角柱节点基本方程：解此联立方程得：边柱节点中柱节点角柱节点ByByByByBxBxBx角柱节点解此联立方程得：边柱节点中柱节点角柱节点ByByBy40四、节点荷载的调整1.计算调整前的地基平均反力：四、节点荷载的调整41弹性地基梁原理42弹性地基梁计算原理（补充内容一）概述柱下条形基础、筏板基础的简化计算方法都假定基础是无限刚性，且不考虑上部结构刚性的影响。如条形基础简化计算方法的适用条件：地基均匀、上部结构刚度好、基础梁h≥l/6可以假定地基反力按直线分布。若不满足上述条件应考虑地基梁和地基变形协调条件，以确定地基梁的实际反力分布，使之尽量符合实际情况。下面介绍常用的弹性地基模型和常用的分析方法。注意：本节介绍的方法，仅考虑基础本身刚度作用，而忽略上部结构刚度的影响。弹性地基梁计算原理（补充内容一）概述43一、弹性地基模型地基模型：用以描述地基σ~ε的数学模型。下面介绍的地基模型应注意其适用条件。1.文克尔地基模型适用条件：抗剪强度很低的半液态土(如淤泥、软粘土等)地基或塑性区相对较大土层上的柔性基础，采用该方法比较合适。厚度度不超过梁或板的短边宽度之半的薄压缩层地基(如薄的破碎岩层)上的柔性基础也适于该方法。基本假定：地基上任一点所受的压力强度与该点的地基沉陷s成正比，关系式如下:P=ks一、弹性地基模型44P=ksk—地基基床系数，表示产生单位变形所需的压力强度(kN／m3)；p—地基上任—点所受的压力强度(kPa)；s—p作用位置上的地基变形(m)。基床系数k可根据不同地基分别采用现场荷载试验、室内三轴试验或室内固结试验成果获得。见下表。P=ks45地基基床系数表地基基床系数表46这个假定是文克勒于1867年捉出的．故称文克勒地基模型。该模型计算简便，只要k值选择得当，可获得较为满意的结果。地基土越软弱，上的抗的强度越低，该模型就越接近实际情况。缺点：文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，按这一模型．地基变形只发生在基底范围内，而基底范围外没有地基金形，这与实际情况是不符的，使用不当会造成不良后果。这个假定是文克勒于1867年捉出的．故称文克勒地基模型。该模472.弹性半空间地基模型适用条件：用于压缩层深度较大的一般土层上的柔性基础。原理：弹性半空间地基模型是将地基视作均匀的、各向同性的弹性半空间体。当Q作用在弹性半空间体表面上时,根据布氏的解：2.弹性半空间地基模型48矩形均布荷载作用下矩形面积中点的竖向位移计算矩形均布荷载作用下矩形面积中点的竖向位移计算49一般矩形受荷面积上各点变形和压力的关系的确定方法：首先把受荷面积划分成n个矩形网格，各网格的合力为Pi=piAi作用于网格的形心。柔度系数δij为j网格中点作用单位力（即Pj=1）作用下引起i网格中点的沉降。此刻j网格上均布荷载Pj=1/Aj，按叠加原理，n个网格的基底压力引起i网格中点的总沉降为：nji地基柔度系数求解的网格划分一般矩形受荷面积上各点变形和压力的关系的确定方法：nji50njinji51半无限弹性体空间模型虽然具有能够扩散应力和变形的优点，但是，它的扩散能力往往超过地基的实际情况。要求地基土的弹性模量和伯松比值较为准确。半无限弹性体空间模型虽然具有能够扩散应力和变形的优点，但是，523.分层地基模型分层地基模型即是我国地基基础规范中用以计算基础最终沉降的分层总和法(图)。按照分层总和法，地基最终沉降量等于压缩层范围内各计算分层在完全侧限条件下的压缩量之和。整个地基的压力和变形可以写成下式：3.分层地基模型53压缩层下限njihkσijk分层地基模型压缩层下限njihkσijk分层地基模型54式中：m—压缩层厚度内的分层数；hk—i网格中点下第k土层的厚度，m；Esk—i网格中点下第k土层的压缩模量，Kpa；σijk—j网格中点作用单位集中附加压力引起i网格中点下第k土层中点的附加应力，Kpa。该模型的计算结果比较符合实际情况，缺点：没有考虑低级图的塑性变形。式中：m—压缩层厚度内的分层数；55地基计算的模型选用是地基上梁板分析的关键问题。分析前应根据何在的大小和地基的实际情况选用合适的地基模型。二、静力平衡和变形协调条件在地基梁板分析中，首先要选择合适的地基计算模型，同时基础还应满足两个基本条件：静力平衡和变形协调条件。1.静力平衡条件：作用在基础上的荷载和地基反力向平衡：∑F=0∑M=02.变形协调条件：ωi=si表明：基础受力后，基础底面和地基表面保持接触，无脱开现象。依据这来那个个条件求解基础梁的内力和变形。地基计算的模型选用是地基上梁板分析的关键问题。分析前应根据何56文克勒地基上梁的计算一、文克勒地基上梁的解析式：文克勒地基上梁的计算57弹性地基梁原理58弹性地基梁原理59下面分别讨论长梁、半长梁以及有限长梁在文克勒地基上受到集中力或集中力矩作用时的解答。短粱(即刚性梁)。对于λ≤π/4的条形基础，可按一般的独立基础来考虑，即假定基底的反力为直线分布，基础的内力按倒梁法或静力平衡法分析法来计算。下面分别讨论长梁、半长梁以及有限长梁在文克勒地基上受到集中力601)长梁解梁的挠度随加荷点的距离增加而减小．当梁端离加荷点距离为无限远时，梁端挠度为零。在实际应用时，只要λL＞π，可将其当作长梁处理，视梁端挠度为零。

(1)无限长梁受集中力P0的作用(向下为正)设集中力作用点为坐标原点0，当x→∞时ω→0，从通解式可得：C1＝C2＝0。于是梁的挠度方程为由此可得：1)长梁解由此可得：61弹性地基梁原理62无限长梁的挠度ω、转角θ、弯矩M、剪力分布见下图无限长梁的挠度ω、转角θ、弯矩M、剪力分布见下图63无限长梁的挠度ω、转角θ、弯矩M、剪力分布图无限长梁的挠度ω、转角θ、弯矩M、剪力分布图64（2）无限长梁受集中力偶M0的作用(顺时针方向为正)以集中偶力偶M0作用点为坐标原点o，当x→∞时ω→0，从通解式可得：C1＝C2＝0。地基反力对原点时反对称，所以x=0,ω=0,得到C3=0,于是梁的挠度方程写成：M0这样，得到受集中力偶M0作用时长粱的挠度公式（x≥0）：（2）无限长梁受集中力偶M0的作用(顺时针方向为正)M0这样65弹性地基梁原理66若有多个荷载作用于长梁时．可用叠加原理求得其内力。若有多个荷载作用于长梁时．可用叠加原理求得其内力。672)半长梁解在实际工程中，基础梁还存在一端为有限梁端，另一端为无限长，此种基础梁称为半无限长梁，如条形基础的梁端作用有集中力Po和集中力偶M0的情况。可将坐标原点取在受力端，当x→∞时ω→0

，从通解式可得：C1＝C2＝0。当x＝0时，M＝M0,Q=-P。，由此可求得：2)半长梁解68弹性地基梁原理69弹性地基梁原理70弹性地基梁原理71（3）有限长梁解用无限长梁的解，按两步骤叠加求解（3）有限长梁解72有限长梁的解可采用Heteyi集中力作用下有限长梁的计算公式：有限长梁的解可采用Heteyi集中力作用下有限长梁的计算公式73十字交叉梁基础的设计可（补充内容二）一、应用范围：当单柱的上部荷载大，按条形基础设计无法满足地基承载力要求时，则可采用交叉条形基础，即十字交叉基础，使基础底面面积和基础整体刚度相应增大，同时可以减小地基的附加应力和不均匀沉降。十字交叉梁基础的设计可（补充内容二）74二、设计要点：十字交叉梁式的条形基础计算与上述条形基础一样，也根据其λL值，按无限长梁、有限长梁或短梁进行。所不同的就在于两个方向条形基础在交叉节点上的荷载要考虑如何在纵横两个条形基础上分配。十字交叉梁，为超静定空间结构，应用弹性理论精确计算十分复杂，通常采用简化计算法。

二、设计要点：75在基础交叉节点上，将柱荷载在纵横两个方向条形基础上进行分配，同时应满足变形协调关系，即分配