大一微积分下册经典题目及解析

微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：(1）若f(x,y)x2

y

xy

x，则f(tx,ty) _yx2y2 y(2）若f(x,y) ，则f(2,3) ,f) 2xy xx2y2（3）若x2y2x yy

(y 0)，则f(x) （4)若f(xy, )x4x4xy2

y2，则f(x,y) z

x

y2

的定义域 z

x x y(7）函数zarcsiny的定义域 xy22x（8）z

y22x

的间断点 22 xy4（1)limx0 xyy0（2)limsinxyx0 xy0(3）lim1cos(x2y2x0(x2y2)x2y2y03。证明

lim xy 0x2y2(x2y24.证明：极限lim

x2y

0不存在(x,y)(0,0)x4y25 f(x,5 f(x,y)数

1x2y2

,(x,y)

在点（0,0)处是否连续？为什么, (x,y)(0,0)习题8—2偏导数及其在经济分析中的应用1。填空题z z设zlntan ，则 , ；x yz z（2)设zexy(xy)，则x ,

；（3）设ux

y u，则

,u

,u ;z x y zy 2z 2z 2z（4)设zaxctan ，x

, x 设uyz，则

；f(x,y在点(abx0

f(ax,b)f(ax,b) x求下列函数的偏导数(1)z(1xy)yuarcsin(xy)zzyx(1,1）点的二阶偏导数4zxln(xy

3z 3z和22(11)

z zze

xy，试化简x2

xy2y 3xy ,(x,y)(0,0)f(x,y)x2y26。试证函数

, (x,y)(0)在点（）.习题8—3全微分及其应用1.X公司和Y为Px1000PY16004QY公司X、Y现在的销售量分别是100个单位和250个单位.XY当前的价格弹性是多少？Y使QY300个单位，同时导致X的销量Qx75单位，试问X?（ErxQx2

Qx1

/Py2

Py1)Qx Qx2 1

Py Py2 1假设市场由AB两个人组成，他们对商品X的需求函数分别为：D (PrK A A

)/Px;DA

K IB

/Px商品X的市场需求函数；计算对商品XY对Y的需求交叉弹性求下列函数的全微分stu

stf(x,y,z) x

df(1,1,1)设（3）zx

( z，求yy2),求当x1,y2,x0.1,y0.2的全增量z和全微分dz4。计算

(1.02)3(1.02)3(1.97)3习题8—4多元复合函数的求导法则填空题（1)zu2lnv而u

x,v3x2y，则z ,z _y x y（2)设zarsin(xy)而x,则dz dteax(yz) du设u ，而yasinx,zcosx，则 a21 dxdz设zarctan(xy)，而yex，则 dxu u(5）设uf(x

y2,exy)，则x ,

_（6）uf(x,xy,xyz)，则 x(）2nnn11

2zzx

f(xyyf(xy),f具有二阶连续导数，求xy2z设zf(x,),f具有二阶连续偏导数，求 x24。设zxf(2x,

y2),f2z。x xy5.设zf(sinx,cosy,exy),f，具有二阶连续偏导数，求

2zx2fg,zf(xatg(xat

2zt2

a2

2zx2习题8-5隐函数的求导公式1。填空题：x2yx2y2

dy，则 x dx（2）x2yz2

0

,z xyzx yxyzx（3）设

lnz，则

,z

_z y x yz z（4)z

yz，则x ,y 2。设ez

xyz2zxy3z

2z3xyza3，求xy4。设2sin(x2y3z)x2y3zzx

y2

dy,dz

y5。设 ,求x2

2y

3z

20

dx dx6yf(xt，而tF(xyt)0xydydx7F(x

z,y

z)0zz(x,y,F证明：y xz zxx

yy

zxyxxyzyy(zxz(xy)F(x,yz)0所确定的有连续偏xyzy z x

1习题8—6多元函数的极值及其应用1。填空题：(1）zx

y

2xy4xgyz驻点 (2）f(x,y)4(xy)x

y2的极 值 （3）f(x,y)e2x(xy

2y)的极 值 (4)zxy在适合附加条件xy1下的极大值 （5) uf(x,y)xx

y2 在Dx,yx2y2

上的最大值为 ，最小值 2。从斜边长为L的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.班级：姓名：学号:3.zx2y2xyz1截成一椭圓，求原点到该椭圆的最长与最短距离

微积分练习册［第八章]多元函数微分学4。某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾，乙种鱼放养y（万尾(3xy)x,(4y0)，求使产鱼总量最大的放养数

班级：姓名：学号：5:若生产函数为Q2xx，其中,为正常数，且1p和1 2 1p,试问：当产出量为12时,两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？2微积分练习册[第九章]二重积分习题9-1二重积分的概念与性质填空题（1）当函数f(x,y)在闭区域D上 时，则其在D上的二重积分必定存在（2)二重积分 f(x,y)d的几何意义 D(3）若f(x,y)在有界闭区域D 上可积，且DD D1 2

f(xy)0时则f(x,y)d f(x,y)d；D D1当f(x,

y)0

时，则

2f(x,y

)d

f(x,

y)dD D1 2（4) sin(x2y2)d ,其中 是圆域x2y242的面D积(2:(1）I1

(xy)2d

与I (xy)3d其中积分区域D是由x轴，y轴与直线2D Dxy1所围成（2)I ln(xy)dI1

ln(xy)2d,其中 D DD(x,y)3xy13。估计下列积分的值 （1）Ixy(xyD(xy0xy2D (）I(x24y29)d，其中D(,y)x2y24D

1x2y21x2y2d利用二重积分定义证明kf(xy)dkf(xy)d（其中为k常数）D D习题9—2利用直角坐标计算二重积分填空题1)(x33x2yy3)d 其中D0x,0y1D(2）xcos(xy)d 其中D：顶点分别（(0,0,0),(,的三角形DD闭区域将二重积分

f(xy)dDxx2y2r2y0所围成的闭D区域化为先y后x的积分，应 （4）将二重积分D

f(xy)d，其中Dyxx2y1(x0所围x成的闭区,化为先x后y的积分，应 （5)将二次积分21

dx

2x2x

f(x,y)dy改换积分次序，应 将二次积分0

dxsinx-sin2

f(x,y)dy改换积分次序，应 ）将二次积分1

dy2

f(x,12dy2

f(x,y)dx改换积分次序,应为e2

-lny

1 (y1)2（8）将二次积分

dy2

f(x,y)dx3dy3

f(x,y)dx，改换积分次序，应为0 0 1 02。计算下列二重积: (1)

xyex2y2d,其中D

(x,y)axb,cydD（2）

(x2

y2)d,其中D是由直线y

2,y

x,

2x所围成的闭区域.D(3）

yx2dxdy,1xy2Dy3。计算二次积分1dy1y0

yexdx证明：adyyem(a-x)f(x)dxa(ax)em(ax)f(x)dx0 0 0zx

2y2z62x

y2.习题9—3利用极坐标计算二重积分1.填空题(1）把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分①x2y22

f(x2y

y,arctan x

dxdy ；x2x2y2②D(x,y)1x2

y

4,yx,eD

dxdy （2）化下列二次积分为极坐标系下的二次积分2axx2①2axx20

f(x2y2)dy ,(a 0)②1x

f( x2y2)dy ;0 0③2dx3x

yf(arctan

dy ;0 x x④1dxx2f(x,y)dy .0 02。计算下列二重积分（1)ln(1x2y2)d

,其中D是由圆周x2

y

1及坐标轴所围成的在第一象限内的D闭区域。x2y2x2y2D

dxdy,其中D是由曲线yx2与直线yx所围成的闭区域.（3)

R2x2y2d，其中Dx2y2Rx所围成的闭区域D(4)（2)

x2y22d,其中（2)D:x2y23。D3yx)2dDyRxx2y2R2y0（注D意选用适当的坐标)4xoyx2

y2

ax(a0)zx

y2为顶的曲顶柱体的体积微积分练习册[第十章］微分方程与差分方程习题10—1微分方程的基本概念1.填空题(1）x2y

3yylnx0称为 阶微分方程（2）yy(xcc1 2

,cn

)是方程yxy2y的通解，则任意常数的个数n= 设曲线yy(x)上任一点(x,y)的切线垂直于此点与原点的连线，则曲线所满足的分方 yy(x上任一点(x,ya，则曲线所满足的微分方 (5）某人以本金p元进行一项投资,投资的年利率为，若以连续复利计，t年后资金的0总额为p(t) _（6）方程yxxydx可化为形微分方程0dQ2。已知Qcekt满足微分方程dt

0.03Q，问C和K的取值应如何?3、若可导函数f(x)满足方程f(x)2xtf(t)dt1 (1)，将（1)式两边求导，0得f(x)2xf(x)(2)易知f(x)cex2(c为任意常数)是(2）的通解,从而f(x)cex2为（1)的解，对吗？4.证明:yc1

xc2

xlnxx2yxyy0的通解。习题10—2一阶微分方程(一）1y211y21x2(2）

yey23x0y(3）3ex

tanydx(2ex)sec

ydy0求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）sinycosxdycosysinxdx,y

x0 4x（2)

dx

y dyy 11y 1x x03镭的衰变速度与它的现存量R成正比，有资料表明,镭经过1600年后，只余原始量R0的一半，试求镭的量R与时间t的函数关系微积分练习册[第十章]微分方程与差分方程习题10-2一阶微分方程（二）1。填空题（1)设y是dyp(x)yQ(x)的一个解，Y是对应的齐次方程的通解，则该方程的通解dx为 (2）y

x1

x1ex是方程xyyxex的一个特,则其通解为y ex x x(3）微分方程xyyy2lnx0作变换 可化为一阶线性微分方程（4）(xy)y(xy)0的通解 x x x(5）(12ey)dx2ey(1y2.求下列微分方程的通解：

)dy0的通解 （1)xyyx23x2(2)(x2xyy2)yy203。求下列微分方程满足所给初始条件的特解：dyycotx5ecosx,ydx x2

44。用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解：dy（1）dx

(xy)2（2）xyyy(lnxlny)5。已知一曲线过原点，且它在点(x,y)处切线的斜率等于2xy，求该曲线的方程f(x)可微且满足关系式

xf(tf(x1f(x)0习题10-3一阶微分方程在经济学中的应用1EQP(lnP，且当P=1时，需求量Q=1EP求商品对价格的需求函数（2)当P时，需求量是否趋于稳定？已知某商品的需求量Q对价格P的弹性3P21万件，求需求函数3。已知某商品的需求量Q与供给量S都是价格P的函数Q其中a0,b0为常数，价格P是时间t的函数，且满足dpkpSp)(k为正常数）dt假设当t0时，价格为1，试求：需求量等于供给量的均衡价格Pe

a,SbpP2p(t)limp(t)t,设该人群的总人数为1N，在t0时刻已掌握新技术的人数为10

N，在任意时刻t已掌握新技术人数为x(t)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k0求x(t),5%2012000元人tBf(t程，且问当初始存入的数额B20。习题10—4可降阶的二阶微分方程1。填空题（1）微分方程y 1 的通解.1x2（2)微分方程y1(y)2的通解._微分方程yyx的通解。微分方程yy(y)2y的通解。(5）y

21y

(y)20的通解.（6）设y x2与y x2lnx是方程x2y3xy4y0的特解，则其方程的通解为1 2 。2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解yd2yy3dx2

1y

x1

x1

0.dydx3dydx(1)yay20,y

y 1x0 x0(2)(1)yeax,y

y 0x1 x1yx的经过点M（0，1）y

x1相切的积分曲线2y1

ex2及y2

xex2都是方程y4xy(4x

2y0的解，并写出该方程的通解.6。设函数y1

(x),y2

(x),y3

(x)均是非齐次线性方程

d2ydx2

a(x)dydx

b(x)yf(x的特解，其中a(x),b(x),f(x)为已知函数，而且

y(x)y2 y(x)y3

(x)(x)

常数，求证y(x)(1c1

c)y2

(x)cy1 2

(x)c2

y(x) (c,c3 1

为任意常数）是该方程的通解。7.证明函数ycex1

ce2x2

1e5x12

(c,c1

是任意常数）y3y2ye5x的通解.习题10-5二阶常系数线性微分方程（一）1。填空题（1)微分方程y4y0的通解.微分方程y4y4y0的通解.微分方程y2y5y0的通解。(4）微分方程y2yay0(a为常数)的通解 。(5)设2i 为方程ypyqy0的特征方程的两根，则其通解为 .（6）设二阶常系数齐次线性微分方程的二个特征根为r1

2,r2

4,则该二阶常系数齐次线性微分方程2。求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1)y4y3yy

y 10x0 x0（2)4y4yyy y 0x0 x0(3）y4y13yy

y 3x0 x03。求以y ex,y xex为特解的二阶常系数齐次线性微分方程1 24.方程4y9y0的一条积分曲线经过点(,1)且在该点和直线y1x相切，求这条曲线方程5x2yy)2

0的过（1，0）,yx1.习题10-5常系数线性微分方程(二）:微分方程y2yyxex的特解可设为型如y .(2）微分方程y7y6ysinx的特解可设为型如y .(3)微方程y2y5yexsin2x的特解可设为型如y .微分方程yyxcosx的特解可设为型如y .yyxsin

x的特解可设为型如y .求下列微分方程的通解：（1)y3y2y3xex(2）yyexcosx求微分方程满足所给初始条件的特解：yy4xex, y 0, y 1.x0 x04。设函数yy(x)满足微分方程yy2y3ex,它的图形在x0处与直线yx相切,求该函数5。设函数(x)连续,且满足(x)ex

xtt)dtxxt)dt，求(x).0 06y(x)(x0y(x)0,y(0)1,yy(x上任意一点p(x,yx轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为s，1区间x]上以yy(x)为曲边的曲边梯形的面积记为 s2yy(x)的方程。

,恒有2ss1

1，求曲线差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构1.填空题（1)设yx

ex，则y x（2)设yx

x2，则y x(3）设yx

cos2x,则y x（4）差分的运算法则：(cyx

) (yx

z) x2yxexyx1ayx2ex的一个解，求a。3.求下列函数的二阶差分(2）y2x3x2（3）ylog x (a0,a1)a4。给定一阶差分方程y py Aax,验证：x1 x(1）pa0yx

Apa

ax是方程的解.（2)当pa0时，y Axax1是方程的解x习题10—7一阶常系数线性差分方程（一）填空题(1）一阶常系数齐次线性差分方程y ay 0(a0)的通解 x1 x2。求下列一阶常系数齐次线差分方程的通解：（1）2y 3y 0x1 x(2）y y 0x x1（3）y y 0x1 x习题10—7一阶常系数线性差分方程（二）1。填空题（1)若f(x)p(x)，则一阶常系数非齐次线性差分方程y ay f(x)n x1 xyx

的特解。当1不是特征方程的根时，k ;当1是特征方程的根时，k .求下列一阶差分方程在给定初始条件下的特解（1)2yx15yx0y03（2) yx0y02求下列一阶差分方程的通解（1)yx4yx3(2)y 4y 2xx1 x1

x1（3)y

yt2

2t(4）y y t2ttt4。求下列一阶差分方程在给定的初始条件下的特解（1）y 4y 2xx1 x

x2且y 10(2)y y 2x，且y 2x1 x 0习题10—9差分方程的经济应用1。(存款模型）设S为t年末存款总额，r为年利率，有关系式S S rS，且初始存款为S，求t年t tt t 0末的本利和.2.设某产品在时期t的价格，总供给与总需求分别为P,St t

与D对于t有关系式：tS 2P1 t tD 4P 4 t tS Dt t:由关系式可推出差分方程Pt1

2Pt

2；P0

已知时，求该方程的解.3。设yt

为t期国民收入，ct

t期消费，I为投资（各期相同y c Ic ，其中01,0t t t t已知t0时,y y，试求y和ct 0 t t4。设某商品在t时期的供给量st

与需求量dt

都是这一时期该商品价格pt

的线性函数，st

3pt

2, dt

45pt且在t时期的价格p由p 及供给量与需求量之差s d 按关系式t ttt1p t

t

16

t

dt

)确定试求商品的价格随时间变化的规律.习题11—1常数项级数的概念和性质1。填空题1）u

收敛则lim(u2u

.nn1

n n n(）ann1

收敛，且S an 1

a a2

，则lim(Sn

n1

Sn1

2Sn

) .(3）(11)(11)(

1) 的和是 2 3 22 32

23 4若n1

u 的和是3，则nn3

u 的和 n（5)

tn1

2,

n1

tn 的和是26）当x1时，n1

xn的和是 2.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性1)n1

1(2n1)(2n1)n22）n2n1

2 n1 n)3。判断下列级数的敛散性(1)n1

(1)n1(2)n1

(1)n1(4)n5(3）

n1

)n2(4)n1

nn0.0012n3n(5) 6nn1（6）1112

1n5 25

5n习题11—2正项级数及其审敛法1。用比较审敛法或比较审敛法的极限形式判别下列级数的敛散性：n n11)n n1n1(2)

1ncos 22n1

1n2 n(）n1

sin2n2。用比值审敛法或根值审敛法判别下列级数的敛散性：n2nn!n（2） n(3)

n1( n3n1

)2n1n1习题11—3任意项级数的绝对收敛与条件收敛判别下列级数的敛散性： n2n(1） 2nn13(1n（2)

2nn13）n1

na(n

)n,(a0)2。判别下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛?1）n1

a(1)n(1cosn),(a0)2)n2

(1)n

1lnn3.已知级数ann1

和n1

b2都收敛，试证明级数abn nn1

绝对收敛.习题11-4泰勒级数与幂级数（一）填空题若幂级数n1

x3a( )n在x0处收敛，则在x5处 （收敛、发散。n 2ccnn1若lim ccnn1n

n0

cx2n的收敛半径。n(3)nxn

n 的收敛域 。n13(1n

n0

xn的收敛域 。3n(5）

n1

x2n1(1)n 的收敛。n2n6）n0

1n(x2)n的收敛。1n2:(1）

n1

2nxnxn212）n1

2n1x3nx2n(3)n1

1n3n

(x3)n3。若幂级数n1

axn[-，9，写出nn1

ax2n的收敛域n4.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数(）n1

nxn1,(1x1)2)

x2n12n1

,(1x

,并求级数

1(2n1)2n

的和。n1 n15。求幂级数n1

(2n1)xn的收敛域及其和函数.习题11-4泰勒级数与幂级数（二）1.(1）ln(axa0)(2)axa0且a1)sin2x(4)(1x)ln(1x)2。将函数f(x)1

1(1x)2

在x 1处展开成幂级数。0f(x)

3

展开成(x2)的幂级数.2x1f(x)

x2x

展开成(x2)的幂级数。5f(x)e3xx1处展开成幂级数 6。设In

4sinnxcosxdx,n0

，求 I .nn0一、填空题（3′×5=15′）z1xyzezxy的函数，则

.2。设

f(x,y,z) y( z( z

df.3。 1x2y2dxdy= 。x2y214.若级数

n 收敛，则limun1

n n1

x

n .5。差分方程yx12yx8的通解 二、选择题1.下列命题中，正确的是A。若(x0y0zf(xyzf(xy必在(x0y0取得极值Bzf(xy在(xy取得极值，则(xyzf(xy的驻点0 0 0 0C.zf(xy在(xy处可微则(xyzf(xy连续点0 0 0 0Dzf(xy在(xyzf(xy在(xy处必连续0 0 0 02。设Dx2y2

1围成,则二重积分I f(

x2y2)d（)1y21y20 0

f( x2y2)dx

D2d1rf(1)dr220 022C.42

d1f(r)drD.

d1rf0 0 0 03。若a2收敛，则

an（）nn1

nn1A.绝对收敛B。条件收敛C.发散D。敛散性不定4.方程yxxydx可化为形如（）的微分方程1yy1 yy1A.yy1B.y2ex11C. D.y(0)0 y(1)15。差分方程的特解可设为()x2x3x2bxb D.x(bx2bxb)0 0 0 1 2 0 1 2三、计算题（6′×8=48′）z z1.设zlntan ，求 , .x yy2。交换积分次序，求I1dyy0

ey/xdx.3.求I x2y21d，其中D:x2y24.D4。判定级数 2nn3n

的敛散性.n1dy

ycotx5ecosx满足y( )4的特解。dx 2微积分（下）练习册模拟试卷一zf(xxyf,

2z.xy求级数n1

nxn的收敛域及和函数.8。求微分方程yy4xex的通解。四、应用题(8′×2=16′）x(t是时间t的可导函数,dx与dtx(t及销售量接近于饱和水平的程度Nx(t之积成正比比例常数1k0)，当t0时，x N。10求销售量x(t).设生产某种产品需用原料A和1015x单位原料AyB可生产20xyx28y2112单位的该产品，问需要多少原料A五、证明题a b

设n1 n1(n1,2 ;a 0,b

0)，证明：若

b收敛，则 a 收敛。a b n nn n

n nn1 n1微积分（下）模拟试卷二一、单项选择题（每小题3分，共5小题15分）1zf(xy在点(xy()0 0A。充分条件B。必要条件C。充要条件D.无关条件设Dx2Dy2a2a0)D1

是D则(xy1)d（）DA.4(xyB.(xya2D D1 1下列级数中发散的级数是（）n

1n(n1)n

(1)nn

C nn1n

12nn1yyex1式中ab)(）aexbB.axexbxC.aexbxD.axexbzxy在(0，0）点处一定为（）A。极大值B.极小值C.无法确定D。不取得极值二、填空题（每小题3分，共5小题15分）1.zexy在点(2,1）处的全微分dz .2

a2x2y2d Dx2y2a2D若级数

2n收敛，则limu

.n1

n n1

x n幂级数n1

xnn

的收敛域。5。若是二阶线性非齐次微分方程的两个解为3x2,ex3x2且相应齐次方程的一个解为x,则该非齐次方程的通解.7749分)x41.求过点（3,1，—2)且通过直线

y3

z的平面方程.5 2 12z2zf(xyx2y2,f具有二阶连续偏导数求xy.1y33。交换积分次序求1dx1y3

dy。0 x24。求级数n1

nxn1,(1x1)的和函数。微积分(下）练习册模拟试卷二5。求微分方程dyytanxsecx满足y(0)0的特解。dx6

x1

5yx

3,y0

7的特解。37。在抛物线y1x2(x0)上求一点P，使P处的切线、抛物线及两坐标轴所围图形的面积达到最小。四、应用题（每小题8分，共2小题16分）1zx22y2z62x2y2所围成的立体体积。2.3元136.五、证明题(本题5分）设f(x)

x

的某一邻域内具有二阶连续导数，且

limf(x)0

，证明级数

1f( 绝对收敛.

x0 x

nn1习题参考答案习题7-11。(1）Ⅳ，Ⅴ，Ⅷ，Ⅲ；(2)(-，2，）（321(-3—，-1（3，213-2-；3（，30(0,，5（-，0,，(-，003,0（0,0,5；(4）(a,a,a), (a,a,a), (a,a,a), (a,a,a)2。7,1

430,1

262;3。(6，,1，19),（9，—5，12）;2 24.—12，8，-4,-；5. 34, 41,5; 6.(0,1,2)习题7-2141.(1)2a; (2)b1a; (3)(2,5,14); (4)2; (5)142

1 (3,1,2);2。-2；1；2；33.MM

2,cos1/2,cos

2,cosr2

1,

2,3

1 2,r；

2 2 34 34.24,5,1; 24 ,

147975 , 797797 5.r0或4

,r;236。coscoscosr3

1, a

12,2,7。13,9j8.15,13 5习题7—31（1）3;(2)(4,2,4);(3)3;(4)

;(5)13,13;(6) 14;252.(1)3;(2)3; 3.3654.5.（1)3,12,16;

55或36510625;(3)106

3；4.(1）不共面;（2）共面;25 ; 6.4752525 2 2 习题7-4（一）1。7y5z40; (2)9yz20; (3)AABBCC

0，1 2 1 2 1 2A B C1 1 A B C2 2

; (4)2,1; (5) xxz1;(）(，，3；3 4 22。2x9y6z1210;3.(1)y50, (2)9yz20, (3)x3y0;4 734.2xyz0;5.x 26y3z30, x 26y3z30; 6. ;4 737.2x25y11z2700, 46x50y122z5100习题7-4（二）1。(1)x4

y1

z3;(2)

x3

y2

z1;2 1 5 4 2 1（3)14y11z650;(4)(1,13,1);(5)0;5 5 5x2t2。x

y3/2

z5/2;

y3/2t;（不唯一）2 1 3

z5/23t3.(1)x4

y1

z3;

x y2

z4; (3)x2

y3

z1;2 1 5 2 3 1 2 3 14。2

; 5.7x14y50 ;3 223 22xy5z32 266.3y4z0; (2)d2 26

; 7.x9

y2z7-5

13 1 2 22;1。1)2y2)2(z3)22;

9; (2)z2y2

5x;(3)x2(y1)2z2

2, (0,1,0),

OZ轴;（5）抛物线，抛物柱面习题7—61.（1)x2平面上的双曲线；xhy2b2

z21h2c2 a2

,ykx2z2a2 c2

k21;b2 x2z

h2 x2z抛物线

a2 b2

（4抛物线 ;；yh

y0（5）相交于原点的两条直线；y 3x;z0（6）x2y2

R2,2

x2y2x2y2R2x2y2x4.y

3cost233cost, (0t); 5.x2y2(1x)2923z3sint6.x2y2

4, x2

z4, y2

z4; y x7.x2y2a2, zbarcsina, zbarccosa;z0 x0

y08.x2y2ax, z2axa2, x0z0习题8-111x2

1y1。2f(x,y);(2) ,f(x,y);(3) ;(4)x2 12 x (5）(x,y)0(7）(x,y)x

x2y2 1,y24x;（6）(x,y)x0,y0,x2y;0,xyy)x 0,xyx; 1(8)(x,y)y22x0;2（1) ; (2)0; (3)5.连续4习题8-22 2x 2x 2x1

csc ,y y y2

csc ; (2)exy(xyy21),exy(xyx21);yyxy1,1xylnx,y

yx ln

2xy ,

2xy

y2x2 ;（3） z z zz z z2

(x2

y2)2

(x2

y2)2

(x2

y2)2x（5）( )zxy

1 z xln ); (6)2fy y y

(a,b)z z xy2.（1）

y2(1xy)yx, (1xy)y[ln(1xy) ];x y 1xyu(2）x

z(xy)z1

,u11(xy)2z

z(xy)z

,u11(xy)2z

(xy)ln(xy)1(x1(xy)2z3z4。

0,

3z

1

; 5.2zx2y xy2 y2习题8-31(1，。6（）0.；P2（1）略;(2)1， Y PkI KIr AA BB23.（1)(s t)2

(sdttds); (2)dxdy(3）略；1/3dx

2dy;34。2.95习题8-4(1)2xln(3x2y)

3x2

,2x2ln(3x2y)

2x2 ;y2(2）

3(12)

(3x2y)y2 y314t14t3)2

ex(11x2e2x

(3x2y)y2(5）2xfyexyf2yfxexyf(6)fyfyzfxfxzfxyf1 2

2 1

3 2 3 32。xf(xy)f(xy)xf(xy); 3.

2

1

4.4

2y3f11 y 12

y2

12 x2

12;5。cos2xf

2exycosxfe2x2yfsinxfexyf11 13 33 1 3习题8-5yz xyzxyzxyxz2 xyzxyzxy1（yz xyzxyzxyxz2 xyzxyzxyxy xz2.2y2zez2xy3zy2z2ez;3.z(z42xyz2x2y2);4.1;(ez

xy)3

(z2

xy)35x(6z1),

x ; 6.2y(3z1)3z1习题8—61.(（-，3）大8（3）小，e; 2

1; 4

1,2422。当两直角边长均为2

2l时，直角三角形周长最大;95 3。 95 3; 4.95

,y

3 ;5

p6( 2 ),x

p6(1 )

2

2(2

2)1 p 2 p1 2习题9-11（1）连续；（2）zf(xy为曲顶以D;（3) , ; (4)2。1

I;(2)I2

I; 3.(1)0I16;(2)36I100;4.22 3习题9—2r2x21.(1)1;(2);(3)rdx f(x,r2x22 r 0(）1y

f(x,y)dx2y

f(x,yd; (5)1dy1

f(x,y)dx;1y21 1 1y22 y

2y6）

dy

f(x,y)dx

1

arcsin

f(x,

2

11x

f(x,y)dx;1 2arcsiny

1 arcsiny

0 ex(8）

2dx3

f(x,y)dy012(1) b

x/2ea2)(ed

13 3 ec2); (2) ; (3) ;4 6 5 23.31; 7.62习题9—31.①

2cosrf(r2,)dr;②2rerdr;（）①2acosrf(r2)dr;2 02

4 2 1 0 04secrf(r)drcosrf(r)dr; 2secrf)dr;②4 2 ③30 0 0 02 4④se④0 sectan

rf(rcos,rsin)dr

; 2.(1)4

(2ln2

1);R3 4 5 a42(2)2

1;

(3

);(4)3

; 2

R4;4.V8 32习题10—11（1)2；(2）3;（3）y

x;(4)(xyy)2(1y2)a2y2;y

dyert; (6)dx

y10 y(0)02。k0.03,Cy习题10—2（一）1.(1)arcsinyarcsinx(2)2e3x3ey2C; (3)3ln2exlntanyc 2.2(1)cosx cosy0; (2)2(x3y3)3(x2y2)50;23RR0

e0.000433t10—2（二）1。y;

c;(3)z1

;(4)

arctany xx2y2;(5) x2y2;(5) 2 x y1 3 c 12. x2 x2 ;(2)xy2(1cey); 3.ysinx5ecosx13 2 x4。(1)yxtan(xc); (2)y1

1ecxx5y2(ex

x1) 6.f(x)

(e22

1)习题10—31.pp; (2)limQ0; 2.ep3pa1 13.(1)p ( )3;(2)p(t)[p3(1p3)e3kbt]3;(3)limp(t)pe4x(t)

b e eNeNkt ;

t eeNkt95.dB0.05B12000dt当B 240000240000e1时,20年银行的余额为00习题10-41.(1)yxarctanx1ln(1x2)cxc;(2)ylncos(xc)c;2 1 2 1 2x2（3）y xcexc;(4)xc yclnyc;(5)1y(cx

)1;2 1

2 1 1 1 2(6）ycx21

cx2lnx; 2.y2x2xx21 1

a13． ln(ax1);(2)ya

eaxa2 ax ea a2114．y x3 x5.y(ccx)ex2116 2 1 2习题10—5（一)1.(1)yce41

c;(2)y(c2

cx)e2x;(3)yex(c2

cos2xc2

sin2x);（4)a 1yce(11ax

e(11ax,当a1y(c

cx)ex,1当a 0时，yex(c

2cos a1xc2

1 2sin a1x);(5）ye2x(c1

cosxc2

sinx);(6)y6y8y02.(1)y4ex2e3x;(2)y(2x)e2;(3)ye2xsin3x1 13.y2yy0;4.ycos3x sin3x;5.y3

(x22

1)习题10—5（二）1。bx)ex;(2)acosxbsinx;(3)x(acos2xbsin2x)ex（4）axbx(ccosxdsinx);(5)axb(cxd)cos2x(exf)sin2x3 1 x2。(1）cexce2xex( x23x);(2)