插生强化课后习题答案

1(x2

x2y2D(x2D

x2y2 x2x2x2

dz(x22x)(x2y2

Dx2y2)dxdyDDx2y21，由于2x(x2y2)(1

x2y2xyD2x(x2y2D

x2y2)dxdy0D所以，原式x2x2y2D又在该积分域内xy

x2y2)dxdy所以：x2(x2y2 x2y2)dxdyy2(x2y2 x2y2)dxdy 2原式1(x2y222D

x2y2)dxdy作极坐标变换，原式

1 dr41r)rdr 2 2、令ux1vy1wz1，这变换将变为u2v2w23，则原式(u2v2w22u2v2w3)(u2v2w22dsind3r4dr34(05

2x2 3、z2dxdydz z2dz [(2x2y2)3(x2y2 x2 3Dxoyx2y21 所以：原式3d[(2r23r2 1[(2r23r23dr273 1 4、原式 (1z)e(1yz)2 dx (1z)(1yz)e(1 1(1z)dz1z

(1

(1y

2]

1(1z)dz[e(1yz)2|1z 2 211(1e(1z)2)(1202 2111e11 h F(t)(z2f(x2y2))dxdydzdxdy(z2f(x2y2D(t 3 3 fD(t)

y)h]dxdyh F(t)

r2

d

f(r2)rdr

t2

F 2h3t2hf(t2 于是lim lim h32hf(0)t0t 6ezdxdydz2ezdxdydz,(1x2y2z21z0) 1 1ezdxdydzezdzdxdyezdzdrdrez(1z2 1ezdz(e0 0 ezz2dzz2dez(ezz2|12zezdz)(e0 10(e2(zez|1ezdz))(e00则，原式2 a a a 7、2dV2dydzbc2(12)dxbc(24)dx y2dV4 z 4 15abc,c2 15 则，原式4abc580201r2cos4

2cos 2 d4sind 2dr(1ln2)。xy cos9zx2y2dxdydz(zx2y2dxdydz(zx2y2 :zx2y2z1所围；:zx2y2x2y21,z0所围 1(zx2y2)dxdydzdz(zx2y2)dxdy1

1(zr2)rdr 2

y

r6则，原式

3 x010、用分部积分，0dv0du0f(t)dtv0du0f 0vdv x0 x0du0f(t)dt0udu0 x(xu)duuf(t)dt1x(uf(t)dt)d(x 2 1(xu)2uf(t)dtx1x(xu)2f 21xxt)2f(t)dt2 题应为

x2y2z5dv 证：设f(x,y,z)x2y2z5 其在x2y2z21上的最大值和最小值由于f10,f20

20x2y2z21 x2y2z21F(xyz)x2y2z5(x2y2z2F12xF22y

3,x

1,y

2,z

3,x1,y2,z223,x1,y2,z22333 在M(122), 22处分别取得最大最 ( ,3 3又f(M1) 2,f(M2) 8 332dv3x2y2z5dv38dv3 注：若积分改为

x2y2z5dvCauchy12dv(x2y2zx2y12dv(x2y2z xdv

ydv zdv0 (x2y2z2dxdydz (x2y2z2dxdydz取 由于三坐标轴等价，则x2dxdydz=y2dxdydz= 1于是(x2y2z2dxdydz3z2dxdydz1

2 1z 2 1

所以x2y2z2dxdydz2 x2y2z21、xy

2y2z2a2 2y2z2ds dsa2a2 2(2xy)dxx2y)dy0d (x')2(yya(sinttcos3xa(cost(x')2(yya(sinttcos

0L(x2y2)dsa3t(1t2)dta3(224404a，在积分曲线中，三坐标x,y,z zdsxdsyds3(x2a33

z)ds3 y2 y2 )

22 2)

2x4x

y4x

y则，原式0如果L所围区域D包含原点，记Lr:4x2y2r2，方向取正向，取充分小的r>0， LrD。

xdyydx 0dxdy0r

DrD xdyydx xdyydx xdyydx12rr 4x r4x 6、由于L所围区域D包含原点，记Lr:Ax22BxyCy2r2，方向取正向，取充分小的r>0，使得 LrD。 )

Ax2 2由Ax2Bxy (Ax2BxyCy由 Ax2 Ax2Bxy

)和格林公式，可得

xdy 0dxdy0，rr

22BxyDrD于是

xdy

xdy

xdyLLAxL

2Bxy

rrAxr

2Bxy 1AC 。ACAx22BxyCy2r2令uxBy,vyA(u,v)1(x,D:Ax2BxyCy222变:Au2B2)v22A。所以面积dxdydudvDACB27、(excosyxexcosy1,(exsiny2yexcosy2L*:y0,x20则： (exsiny2y)dx(excosyx)dydxdyD2 (esiny2y)dx(ecosyx)dy0xx则，原式2Lzxx(zy)dxLzxxS 2dxdy2dxdy2,(D:x2y2 9xyz1x2y2z21S，Snn(cos,cos,cos)

cos cosI

(yz)dx(zx)dy(xy)dz

S yz zx xySs23s I23dS232 3 解二：

2的圆，其切向为yzzxxy31(yz,zx,xy)2即其方向余弦cos (yz),cos (zx),cos (xy)于是，原式yzcoszxcosxycos12 [(yz)2(zx)2(xy)212212ds122 32 10F(xzyxyz)两边关于y求导

F1'(xzy'1)F2'(zyzy')0所 zxzx'1yzx'，xzy zyzy z2(xzy)z(xyz)z I (z2(xzy)z(xyz)zDD2dxdy2Dx2y21D左边曲线积分(xesiny(yesinx(esinyesinxD D右边曲线积分(esinyesinxDDyx对称

sin sin sin sin L dy sin sin sin sin Lxesinydyyesinxdx(esinyesinx)dxdy(esinyesiny esinyesin2 esinyesin 左边曲线积分esinydyesinxdx(esinxesinx 右边曲线积分esinydyesinxdx(esinxesinx esinxesin注意：esinxesinx esinxesin Lxesinydyyesinxdx(esinxesinx)dx2dx2 第十四讲曲面积分、高斯积分、Stokes(xyz)dS(xy a2x2y2)1(zx')2(zy')2D1a21a2x2)2a2x2a2x21(z')2(zxyD 原式=(xyD

a2x2y2 dxdya2x2其中x2y2a2关于x，y轴对称，x ,ya2x2a2x2 a2x2D所 原式=adxdya3D2、所围图形关于x,y,z均是偶函数，且关于yx对称所 dS16dS,1:y2z2a2(y0,z z

a2y2

1(zx)2(zy

，a2y1在xoy平面上的投影D0xy0ya于 dS 1(z)2(z)2dxdy dyydx16a2

a2y a2y x23、面密度(x,y,x2x(xyz)dSy(xyz)dS0 z(x,y,z)dS x2y2dxdya2dar2dr

2a4

a2x2a2x2(x,y,z)dSa2x2a2x2

dr12a3 于是z

4a

y(x,y,0，y

0 4*x2y24,z0Gauss 4yzdzdx2dxdyzdxdydzzdzdxdyzdz 2

z(4z2)dz840 yzdzdx2dxdy2dxdy8 所 yzdzdx2dxdy4812D1xz2z0x2所围D2:y2z2)24 2 ydzdx24x2dxdz24x2dxdz84x2dx (z1)dxdy0xoy所以，原式8 x2dydzy2dzdxz2dxdy2(xyz)dxdydz :(xa)2yb)2zc)2R2所围令uxavybwzc2(xyz)dxdydz2(uvwabc)dudvdw 1u2v2w2R2所围则：原式2(abc)dudvdw8(abc)R37、将

xdydzydzdx3(x2y2z2

PdydzQdzdxRdxdy2(x2y2z2)3x x2y2z22则：P 2x2y2z2 (x2y2z2

z2Q2y2x2z2R2z2y2x2 5(x2y2z2PQR0

(x2y2z2x2y2z22

PdydzQdzdxRdxdy0

xdydzydzdxzdxdy

3dxdydz3433 3

38、1dxdy

1dxdy，其中 y

1x 1x y xy:a2b21，用广义极坐标于 1dxdy dxdy22d dr4ab1111a2

xy

0 1dydz4bc1dzdx4ac

(a2b2b2c2a2c2n(cos,cos,cos)13I(yz)dxn(cos,cos,cos)13I(yz)dx(zx)dy(xy)dzS23s23 I23dS232 3S (yz)dx(zx)dy(xy coscosyzxy2z2x2

2(yz)dydz(xz)dzdx(xx2y2z21 2(yz)dydz2(yz)dydz2d(rcosrsin 2 3 (sincos)d3 2(xz)dzdx42(xy)dxdy

y2z2dxz2x2dyx2y2dz4 (xy2)dydz(yz2)dzdx(zx2)dxdy3 令uxyzv2xyzwyz这变换将变为长方体1u1,2v2,3w (u,v,w)6 于 (x,y,z)1(x,y, (u,v, 所以原式1dudvdw242第十五讲数项级数1limnln

(lnn2)lnlim

lnn(lnnn

nlimnnln

0因为1收敛，所

1n1

nln说明：

1收敛pnpn

发散p（2）因为n1n12 n nlnpn

n2 n1limnq[ln(1 )]plimnq(2)

n npq时，极限为零，又当q11n1pq时，极限为常数，又当q11n1pq时，极限为无穷，又当q11n1p1p1

(2n

(2n)!!2n

(2n1)!!2n2n1

,(n1,

，X2X

1(2n1)3 n n

33又13n1n1因为

1xdxx

xdx21 1 n2、由anbncn，得0bnancnan 因为ancn收敛，所以(cnan 由比较判别法，(bnan)收敛，所 bn(bnan)an收敛3、证法一：由题知：f(0)0,f'(0f(xx0

f(x)f(0)f'(0)x1f''(x)x21f''(x)x2,(0 M0，使f''(x)M，于是f(x)Mx22x1，当nn

f(n

M12因为

1收敛，所以

1f(n证法二：由于limf(x)0，有limf(x)limf(x)x limf'(x)limf(x)f(0)limf(x) limf(x)limf(x)f(0)1f x充分小时，f(x)(f''(0)1)x2因此f1)(f''(0)1)1 1n故f(n(n4、因为(nn!

(11n

n215、因为 n21)sin[n(n21n)](1)nn21 所以 n21)(1)

n21因为n充分大时，0 n21 而正弦函数sinx在 2

n21

(n1)21(nlimu n n216、由于limn(2nanb

2ac) a

n1

nn当a21，2na 1lnblnao(1)nn 而

1n1

ln7、当limanq1N0,p1nlnln 当nN时 anp1，即a1，由于 n

1收敛，所以an nln当lim anq1，根据极限的保号性，N0,p1，使nlnln 当nN时 anp1，即a1，由于 n

1发散，所以an n

0(nSn11(nnn 但 an

SnSn1

1dx

SnS

dxlnSlnSn1

n1

n1)于

ln

k

kan发散，由比较判别法，

ann2 n1 p1,anan，所以

an S n1S （2）当p1时，anSnSn1 1dx 1dx,n n1 n1于是

ak

Sn

dx

1dxp k1Sk 1x 1xn即ak有界，所以ann k1S n1S kkx 9、由于1k11dxk11dxkkkx xnnn可得xnn11dx 2xnnn1

xn

0nnn1 nnnn1 nn

nnnnnn11n11n1(n1 n

nn1 nn1 4可知级数xn1xn)收敛，即Snxn1x1收敛，所以xn收敛 10、由an1anf(n1) f(x)dx1f 以及f

k

f(n1)dx f(x)dx0kf(k)dx f(x)dx，k可知

nf(x)dxn

f(x)dx0n

1f(x)dx根据单调有界收敛准则，an收敛11、记rnak，则rn0(n)k取c ，则c(n)nnn

rk1 而akck

rk1

k

k

k

k r0

rn

(n)所以 12、对函数lnf(xLagrangelnf

)lnf

)f()f(

在

之间由f(x)mf(xan1

manan1，n于 an1

m m 1mnaa0，n1 因为0m1，级数mn收敛，所以an1an (anan1)绝对收敛1、

n2n

x13x13 3n13

(3)nn，发22当x3时，22则，收敛区间(3,3)

3时，

(n

(x

(x x1

(3)n

(1)nnx5

3n

n1 n1所以，收敛区间[1,5)

n1n

12

x 当x 2，n1

22

当x 2，n(2)2n

n1(n(n(n(n

lim nnn(n1)n

1e(nxe时，(nn!(2n1)!!

(11n

(2n(2n1)!!

x11x1x1

(2n

(2n

x1(2n11(2n所以收敛域为[1,1)

(n

x11x1x1nxnx(xn)x( 1) ,x(1,1 1n2

(1

nn1xn

x11x1x1解法一：

n1 nnn

x1

nn

1xnx1(xn)']dxxxn1)dx

dxln(1n1 0n1 0 01n1

xn

ln(1x),( nn

x n1

1n n x n n x xn[ (xn)']dx[(n1)xn1]dx{[(n1) x

0

x

0n1

2

x [x(xn1)']dxx(1x)'dx(1x)2dx1xln(1x),(1x

(n1)2(n1)1(n1)!n2n1

n

x1xn2n1 (n1)2n (n x x x(n1)!

1)2

n1n

n1 xn( xndx)'( xn1)' xndx) n1 n1n!

xn1)']'[x(xexx)']'(x2exxexx)'ex(x23x1) xnx xn1n1(n n1(nn2n1

x

(x

(2n1)!! (2n1)!! 1 (2n1)3、1

x1

n!122 2n1 1 )()....( 1x)2x[1,1) 4、记ban1，则 an211(n1,2,)a an

可证{b}，{b}51 5所以limb 51，即收敛半径R55n 5利用

axnx

2n单调递增，可知级数 512

252。)。255)nSx)axnx55)n

1 nSx)ann

xx2

xx2 an1xn1x2an2 nxxann

x2anxn。所以S(x) ，x 51 5。)1x 5、由 1xij1dxi 可得i1

(1)ij1x(1(x)n)(1(x)m)dxi (11 dx 1xkdx 10(1x) kk2所 dx02k0(1于是lim(1)i

dxln21

j1i

0(1 x6、（1）f'(x) 1x2

(1x2)x1 1(1x)m1

m(m1)(m (mn

xn,(1x有：f'(x)11x213x4135x61)n135....(2n1)x2n 22 23 2n1

(1)n (2n1)x2n2n (2nf'(x)dxx x2n1,(1x1) 2nn!(2n f(x)x

(2n x2n1,(1x1)2nn!(2nx1所 f(x）x (2n x2n1,(1x1)(2n)!!(2n（2）f(x)cos3xcos3x3cosx,x4 n ncos3x (2n)!,cosx(1)1

f(x)4(2n)! ,x1y1x1x y'(1x)(1y)1y2(1x)dxarctanyx2y(0)1C4 则，arctany。x 2xy(1xy)dxx21xy)dy令uxyduxdyydxxdux2dyxydxxdux2dy u(1u1u)(xduuuu2xduxuduuu2 x(1u)du 1udu

11lnuln 即：11lnxyln 3、令eyueydyduuxex exuexux， (exu)x于

xux2

c exy 2

4y2dx12y)xy2dx12yx1 12

ey y2

2y

2

y