大学专业课程《线性代数》试题及答案(五)

大学专业课程《线性代数》试题及答案（五）1．填空题设A为n阶奇异矩阵，则A一定有特征值 0 .解：方法一：

AA0E00A的特征值；方法二：

A 0

0，即0是A的特征值.12 n in阶矩阵A的元素全为1，则A的特征值为 n-1个0和n .1111111111112n1 1 12n

n

n

n方法一：AE 1

1

1 rr r 1

1 1111111111111111111111 00 nn10111000（n1重）nAn10n；AA0E00A的特征值，易知RA1，dimSA

nRA0En10An1A的另一特征值为x，由P1221（2）有trAn00

xxn An10n.已知3阶矩阵A满足A2R(2,则A的相特征值为 0，1，1 .Axx是Ax是AA2AA2xAx ，2xx2x0x0 ， x0 ，100,1AAAE0，由P1109RARAEn3RA2RAE3210的特征向量为Ax0dimSA3RA1，1的特征向量为AEx0的非零解，dimSAE3RAE312，0,1,1.7 4 1（4）A4 x 1，已知A的特征值为2，3，3，则x为 . 4 4 1 解：由P1221A3x12

23318x2，123trA7x11 2 3

8x0.

1 1 1, ,3A1，2，3(2)1

12 6 4 .AA1236；2

21

1AA2A 1AP12321是A(2) 12 121 1 1特征值为 , , .12 6 4已知3阶矩阵A的特征值为1，2，-2，则|AE|值为 -6 .解：设AAEA12,3,1，则行列式A231.7 5 4 2已知矩阵x y与3 4相似，则x

35 ，y为 1 . 解7 5与B4 2相似则A与B特征值相同得AB且trAtrB，x y 3 4 A7y5xB10trA7ytrB448x3y1.5B为n阶矩阵，AB有特征值2，则BA3E一定有特征值 5 .解：AB有特征值0使A，（否则A000，两边左乘BBA22是BA是BA的2是A的特征值知：2+3=5BA3E.P1APABP1AP

A(mN)，则Bm B .ABPBP1APBmP1AmPP1APB.0 a 1

P1APP1APA0 2 0ab

a. 4 2b 0 解：AE 04

a2

10 02,2,2因为A32222的特征向量是A2Ex0的非零解，dimS 3RA2E2RA2E1，A2E2 a 1

a 1A2E

0 0 0

0 0 0 4 2 0 2 ab0RA2E1abab0.2．选择题A必有相同特征值的矩阵是（C）.解：是A的特征值是的特征值，故ABD）均错误；C：AEAE

EA

有相同特征值，正确.设A为2阶实矩阵，0，则矩阵A （A）.（A）可对角化（B）不可对角化（C）与反对称阵相似（D）以上都不对解：方法一：

AEac

bd

2dadbc，a bAc d

adbc0d4bc0A有两个不同的特征值，由P128推论2知A与对角阵相似，故（A）正确；A

0

0或

0

A有两个不同的特征值.12 1 2 2 1已知A是3

是A的互不相等的特征值，对应特征向量分别为1 2 3,,1 2

，1

AA2（B）3（A）线性相关（B）线性无关（C）可能线性相关，可能线性无关（D）以上都不对1

,i1,2,3,,,

1，i i i

1 2 3

1 2

1 2

11

1A A1 2 3

A A A1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3 2，32

1A2

222

21 2

1 2

1 1 2 2 3

1 2 3 231 23

2

1 1B A2 1 2

，由

互不相同特征1 2 3

2 2

1 2 31 23 3向量,,线性无关A0， 0B

A0向量组1 2 3

i j3ij1,A,A2线性无关，故（B）正确.设A的特征值，,分别是

的特征向量，则（C）1 2 1 2 1 21

时，,2 1

一定成比例1

时，若2 1

是特征值，则对应的特征向量是3 1 21

时，2

不可能是特征向量2（D） 0,有 01 1A1 2

时，是A的二重根，A对应于的特征向量可能是二维的，即A对应于可能有两个线性无关的特征向量，故（A）错误；（C：1

，设2

A的特征向量，即2

2

，20，,

线性无关，1 2 11 2 2 1 1 2 2 1 2 1 21

01 2

与已知矛盾，故1

不是A的特征向量C.2BnAB相似，则（D）（A）EAEB （B）AB有相同的特征值与特征向量（C）A与B都相似于同一对角阵 （D）对任意常数t，有tEA与tEB相解：A与B相似，则存在可逆阵P使BP1AP：：

EAEB，但一般EAEB，故（A）错误；AB有相同特征值，但一般特征向量不同，A的特征向量是AEx0B的特征向量是Ex0的非零解，故错误；AB相似，但它们可能都不能相似于对角矩阵，故错误；P1APAPtP1PP1APtEBtEAtEB，故（D）正确.An阶实对称矩阵，Pnn维列向量A的特征向量。则(P1AP)T的特征向量是（B） ）P （）PT （）P D）P1T 解：A，P

是P1APT的属于P时，P1AP

PTAT

P1

PTPTA

PP1

PTAPTPT，故（B）正确.nAnA与对角阵相似的（B）（A）充分必要条件 （B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件 （D）既非充分又非必要条件解：An个不同的特征值AnA正确.0 0 1设矩阵B0 1 0，A与B相似，则R(AE)与R(AE)的和为（B） 1 0 0 （A）2 （B）3（C）4（D）5解：BE 01

010

10 2

01，1，1，1 由B是实对称矩阵，则一定存在正交阵P使P1BP 1 ，11 1 11

1 1 AB

A

，则存在可逆阵阵P

使P1AP

11 ，11 1

2 2 1 1 1 0 P1AEP

P1

P1P

1

1 2 ，2 2 2

2 2

1 1 2 1 1 2 P1AEPP1APP1P

1

1 0 ，2 2 2 2 2 2 1 1 0 RAERP1AEP2，RAERP1AEP

1，2 2 2 2RAERAE213，故.A2,1 2

1

0，2

21

A2的非零特征值为（B）（A）-1 （B）1（C）-2（D）21

001

0A2

1

0（否则,1 2

线性相关，矛盾，A2

A21

2 2

02

12

1A的特征值，A1的特征向量，故.23A

0(kNR为（C）（A）2 （B）1（C）0（D）3解：设A的特征值，则kAkkNk

00，即A只有0AP

P1APOAORA0，故（B）.31 1 0 2 1 1

5 6 6

2 1 11）4 3 0（）

0 2 0

1 4

（）2 3 2. 1 0 2 4 1 3 3 6 4 3 3 4 ）A的特征多项式为：

110AE110AE413002

1 14 3

22A1

2；2

133 1 0

0 1 0

0 0 0

1 0 0 r3r

rr

rr 当2时，A2E4 1 01

30 1 0

1 2 0 1 01

30 1 01 1 0 0r 4r1 0 0 1 0 0 0 0 0 2 3 0 0得基础解系为0，故对应于

2

0(k

0)； 1 1 11 1 2 1 0 0 1 2 1 0 1 r2r rr 当

1时，AE4 2 0

2 10 0 01

30 1 22 3

0 1

2r1

0 1r

0 0 0 1 3 2 3 1 1得基础解系为

2，故对应于

1k2(k

0). 2 3 2 21 1 A的特征多项式为：

211A211AE0204134 3

22A1

1；2

2300101 1 1 1 1 1 1 1 10010 r-4r r+r 当1时，AE0 3 03 10 3 0 3 2 0 3 0 01 4 1 4 0 3 0 0 0 0 0 1 1得基础解系为0，故对应于

1

0(k

0)； 1 1 11 1 1 1 14 1 1 1 1

4 4 rr

1r 当2时，A2E0 0 0

10 0 0

410 0 02 3 4 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0得基础解系为4 1

2

k4

1

k,k

故对应于2 3

的特征向量为2 3

2 3不0 1 0 10）.

A的特征多项式为：AE

5 6 6

5 0 6 5

0 61cc1

cc142 23 cc142 23 122 1123643243142 0 12

60 2232c2c32

2 1 2A1

1；2

2310004 6 6 0 6 2 10001

AE1

2r4r

1 3 21

1 3 2 1当 时，

1 2

2 11 3 6 5r+3r0 3 11r

r0 0 0 0 3 2

1 3 3得基础解系为1，故对应于

1

1(k

0)； 1 1 13 3 3 6 6

3 6 6

1 2 2 A E

rr

r1r 当 2时， 2

1 2

23 1

1 2 22310 0 02 3 3 6 6 0 0 0 1 0 0 0r 31 2 2 2 2得基础解系为10，故对应于2

1

0（k,k不0 1 0 2 0 1 0

2

3 2 30）.

A的特征多项式为：232 23 2232 23 212 212334314314

cc2 0 1 2 0 1ccAE1c2c1

2 02 0 12

10 12732c2c 532

1 6A1

7；2

1300305 1 1 5 1 10030 rrr 当7时，A7E2 4 23 1 22 4 2 2 01 3 3 3 01 1得基础解系为2，故对应于

7

2(k

0)； 1 1 13 3 1 1 1 1 1 1 r2r 当1时，AE2 2 22 10 0 02 3 3 3 3

3r0 0 0 3 1 1 1 1 1得基础解系为

0 1 0 10 1 0

0 2

23

的特征向量为k2

1+k3

0（

k,k2 30）.

AA2AA01.

AA0AAE0，两边取行列式得：x0 AAEAAE0A0E0AE01A的特征值；AxxA2AA2xAx2xx2x0，x0 210，0,1.AA的特征值，则A

为A*的特征值.AA0Axxx0，两边左乘

AAAxAx，

xAx，AA AA

是A*的特征值.34个矩阵中，哪些可以相似对角化？哪些则不能相似对角化？解：A能否相似对角化关键是A的二重根是否对应两个线性无关的特征向量，由第3题解答知：除第一个矩阵外，其余三个矩阵均能相似对角化.证明：矩阵A1 1与二阶单位矩阵E1 0有相同的特征值，但不相.0 1 0 1 AAE

10

11

20故A与E有相同特征值，均为1（2重，E是对角阵，A要相似于EA.方法一E0 1得基础解系0故对应于1的特征向量为

0(k

0)， 0 0 1AA.

11 1方法二：dimS

AE

2RAE211A不能相似于对角阵.设A，B都是n阶方阵，且0，证明AB与BA相.证明： A0，A1存在，又BAABA，BA与AB相似.1 2 4 5 0 09．设方阵A2 x 2与对角阵0 y 0相似，求x，y. 4 2 1 0 0 4 Arr1 31 2 rr1 3AE 2 x 2

5 0 5 1 0 12 x 2 2 x 24 2 1 4 2 1 4 2 11 0 03 152 x 4 523x3x8

（1）cc4 2 3由题知： 5， ， y；代入式得：1 2 391643x3x80 x4yy2xy3x80y5. 方法二： A与相似，A与特征值相同，的特征值为5，y，-4，4 2 45EA2 5x 20，4 2 45 2 44EA 2 4x 2

5 2 41 0 4x 0 9x0rr234 2 5r2r23

1 4 1x4；又trA1415y4，y5.1 0 2 3 3 1 210A02

，求A101.3 32 33 033 解：A的特征多项式为：

1 23 0 31 2AE 023

3 32 3

30A1

0，2

1，3

1，全不相等，故可相似对角化；1 0

2 1 0 2 3 3 3 1 2

31 2

1 0 200100 r2r 03131当0A0

3 3

0 3 3 212 23 3

0 2

2 4 3 3故对应于0的特征向量为2；11 14

0 2

4 4 3 3

3 3

2 0 1000010

2 2 r2r 当1时，AE0

3 31

30 3 3

122 2

2 201 0

13 31

3 3 故对应于1的特征向量为2；2 2 2 02 203 3 4 2

23rr

20 34 2

1 0 10020当1时，AE 03233

3 32 13 2

3 100

3 3 102 1 0333 故对应于1的特征向量为1；3 2 2 2 1 20 0 0

2 1

2 2 19 9 9 APP1 2 2 1 0 1

2 2 1

，其中P11

2 2，

9 9 91 2 20 0 11 2 2

2 1 2 999 999 12 1 20 0 09

2 19 9PP1A101PP1PPP1

P101P12 2 10 1 01 2 20 0 19

2 29 9 2 1 29 9 9 90 1 22 2 1 1 0 210 2 11 2 210 1 2.9 3 0 2 22 1 2 2 2 0 a 1 c 设矩阵A 5 b 3其行列式1又A的伴随矩阵*有一个特征值， 1c 0 a 属于的特征向量为1 ，求a,b,c和的值.

A1，An1n10，故可逆，则0，1 A，则 a 1

1

1 ac

11

ac 1

1 b3 5 b 31

b 2

cc1c 0 a1

1

ca11

1 a 1 c c 1 c

c 1 c 5 3A5b3533rA5b3533r3r3c501c0a1c0c1c02 1c31c22 11,a2,b3,c2.

c 1c c.1 2 3 1 3 0 1 2 2（1）2 1 3； （2）3 2 1；2 1 2； 3 3 6

0 1 1

2 2 1 2 2 2

2 2 0（4）

2 5 4；（5）2 1 2. 2 4 5 0 2 0 ）A的特征多项式为：1 2 3AE 2 1 3 103 3 6A1

1，2

0，3

9；002230022322311 0当1AE22rr000 11 3 3 7 3 3 7 0 21 12故对应于1

1的特征向量为1

，标准化为 111

1 1；00 00 2312323123101330101110001000000当0时，A2 1 3

2 102 3 3 6rr0 3 33 3 1 1 1故对应于

0的特征向量为

1，标准化为

11；32 2 2 31 1 1 4

3 1 38 2 3

2 2 当9A9E 3

2 8 3

8 2

0 30 153 3 3

1 1

520 5 2 3 1 0 11 4 2 2 10 2 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1

1故对应于9的特征向量为 11，标准化为

11；3 3 2

3 62 26 1 1 1 263263P

1 1 1 632 .63201 203636A的特征多项式为：1 3 0AE 3 2 1 00 1 1A1

4，2

1，3

3；5050315100000005301030101 1当4时，A4E3 2 10 1 5 0 1 5

3

3故对应于1

4的特征向量为1

5，标准化为 1

1 5；3511 3511 1 1 1 1 0 10 3 0 00100000100001000001000

3 32 0 1 0 1

1故对应于1的特征向量为 10，标准化为

1 0；2 2 3

2 103 310 1 3 0 3 0101210021020001002

2 1 0

1 0 3 3当33

A3E3 5 10 1 2

0 1 2

3 1 0 1

1 4 21 210 2 1

0 1 0 0 0 2 0 0 0 故对应于

3的特征向量为

32，标准化为

3141 2；143 3 1 1

3 1 1 3 1 3101435 101435 P

5 235140.351401 3 1 351014351014A的特征多项式为：1 2 2AE 2 1 2 12502 2 1A1 2

1，3

5；当

2 2 2 11001001时，A1001001 2 02 2 2 0

1 1 1故对应于

1的特征向量为

，

1，正交化为

1，1 2 1

2

1 0 0 0 0 ,

1

11

2 1

0 1 1，2 2

1 2

2 1 1 1

0

21 1p1

11，p222

1 61 ；610 2 111 111 2 12211 010133231001011300当5A5E3

2 4 22 2 41

1故对应于

5的特征向量为 1，标准化为p

11；33 3 3 31 1 1 1 1263 263 P

1 1 1263.2630 2 1063 63 A的特征多项式为：2 2 2AE 2 5 4 21002 4 5A1 2

1，3

10；1002001002000当1

1时，AE2 4 4 2 4 4 0 2 2 2故对应于

1的特征向量为

，

0，正交化为

1，1 2 1

2

1 0

1

0 ,

2

24

21

1

0 1 4，2 2

1 5

5 2

1 12

1

0

5p

1

，p

1 4；53 51 2 53 50 5 25 425 4009 901010001010

0 9 9

2 5 4

0 1当10时，A10E3

2 5 42 4 5 31 13故对应于10的特征向量为2

12；3 3 2 2 2 2 1

23 2 53 5353 53 1 453 5故正交阵P53 555 0

3232 3 3A的特征多项式为：2 2 0AE 2 1 221400 2 A1

2，2

1，3

4；02024 204322023101200当2时，A2E2 3 21 0 2 21 1故对应于2的特征向量为 2，标准化为

12；1 1

1 3 2 2 1010024220101220 0101002011000当1时，AE2 0 22 0 2 2 2故对应于2

1的特征向量为2

，标准化为121

113 ；2 2 1010011 2201040110021001022000当4时，A4E2 3 23 0 2 4 2 2故对应于4的特征向量为 2，标准化为

12；3 3

3 3 1 113P2.3.

2 23 31 23 3

2 2 1333 333 3A的特征值为1

1,2

0,3

1，对应的特征向量依次为2 2 1p

1,

2,

2，2 1 1 2 3 2 1 A.

解：记Pp p p，diag,,

，则P1AP，所以1 2 3 1 2 3 2 2 11 2 2 11 APP11 2 2 0 1 2 2 1 0 21 2 22 1 2 12 1 2 2 0 21 2 2 2 11 2 1 1 2 2 12 2 1 9 2 1 2 1 2 2 2 0 1 2 1 2 1 0 2A1 0 212 2

1

0 1 2. 9 3 2 0 2 1 2 2 2 2 0 3A1，1，-11的特征向量为1 2p1,p

2，1 1 2 1 A.

i j k

1 P1AP

pp

1 1 11，03 1 20

2 2 1 1 1 21 2 1 2 2 Pp p p1 2 1，P11 1 1，1 2 3

2 2 1 1 0 1 1 0 2 2 1 1 21 2 1

2 2

1 0APP11 2 1

1 1

1 1

0 0.

2 2 1 1 0

1

0

0 1

1 1 0 T1ATT为正交阵1 1

2 2

1，t

1131 1 1 31 1 p,

2

15

11

161 6

2

1

2 1 1，t

12 2

1

3 3 2 1 1 1

1

2

22i j k 1 12

1 1 13

，t

113 1 2

00 2 2 1 300 Tt1 2

1333t133

1 162621 1626201 2 036 36 0 1 0 ATT1TT1 0 0. 0 0 1 3A6，3，36的特征向量为1p1，11 1求A.pp2 3

ppp1 2

px y zT，则xyz0，1 1 1 11 1解得基础解系为 ，0 ，所以可取

1，

0，

2

3 0 1 0 1 1 1 1 1 1 Pp p p1 1 0 ，P1 1 2 1 ，1 2 3

3 1 0 1 1 1 2 4 1 1 APP11 4 1. 1 1 4 16．已知3 阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x,Ax,A2x线性无关，且满足A3x3Ax2A2xPAxA2x3BAPBP1； 2计算行列式AE 2解）x,Ax,Ax线性无关，则P x,Ax,A2x可逆，APPBAP

x Ax A2x

Ax A2x A3x

Ax A2x 3Ax2A2xAx

A2

0 0 0 0 0 01 0 3 PB，1 0 3 PB，B 1 0 3 0 1 2 （2）APBP1ABB的特征多项式为 0BE 1 0 1

032

310AB0,3,1AE1,2,2，AE.设3阶实对称矩阵A的各行元素之和为1

2

T,2

0 1 T是线性方程组Ax0的解.A的特征值与特征向量；QQTAQ.1 3 11）A的各行元素之和为3，则A1331，

0

，

0，故1 3 1 1 2 1 3 A的全部特征值为1

3,2

0，31对应于

3

1(k

0)，1 1 1111 0对应于

0的全部特征向量为k

2