高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件

第四讲数学归纳法证明不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法一数学归纳法1.了解数学归纳法的原理．2.了解数学归纳法的使用范围．3.会用数学归纳法证明一些简单问题.

1.数学归纳法的原理．(重点)2.数学归纳法的应用．(难点)

目标定位1.了解数学归纳法的原理．目标定位预习学案预习学案2ab

比较法分析法综合法2ab比较法分析法综合法1．数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当_________时命题成立；(2)假设当_________________________时命题成立，证明___________时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．n＝n0n＝k(k∈N＋，且k≥n0)n＝k＋11．数学归纳法的概念n＝n0n＝k(k∈N＋，且k≥n0)n2．数学归纳法的基本过程2．数学归纳法的基本过程高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件3．设凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解释：

由凸多边形性质知多加了一条边内角和比原来多了π.答案：

π3．设凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件课堂学案课堂学案用数学归纳法证等式用数学归纳法证等式高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件 求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．[思路点拨]

由假设以x2k＋2为主进行拼凑，即减去x2y2k加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出n＝k的归纳假设，剩余部分仍能被x＋y整除．证整除问题 求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．证整[解题过程]

(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，∴能被x＋y整除．(2)假设n＝k(k≥1)时，x2k－y2k能被x＋y整除，那么当n＝k＋1时，即x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－x2y2k＋x2y2k－y2·y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立．[解题过程](1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－2．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然数m，使得对任意n∈N＋都能使m整除f(n)，如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．[思路点拨]利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及“添项”与“减项”等变形技巧．2．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然数m，解析：

f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，f(4)＝1224，猜想能整除f(n)的最大整数是36.下面用数学归纳法证明f(n)能被36整除．(1)当n＝1时，f(1)＝36能被36整除；(2)假设当n＝k(k≥1)时，f(k)能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，解析：f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数．∴18(3k－1－1)能被36整除，∴f(k＋1)能被36整除．由(1)(2)得f(n)能被36整除．由于f(1)＝36，故整除f(n)的最大整数是36.由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．[思路点拨]利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少解析：

n的最小值应该为2，当n＝2时，有4条射线，当n＝3时，如图有3条线段6条射线，共9条线段或射线．解析：n的最小值应该为2，当n＝4时，不妨取出一条直线l1，则剩余3条直线l2，l3，l4相互分割成9条线段或射线．而l1与l2，l3，l4有3个交点，这3个交点将l1分割为2条线段，2条射线．而l2，l3，l4上又各多出1个交点，因此l2，l3，l4又被这一交点多分割出一条线段或射线，∴多出4＋3＝7条．∴n＝4时，有16条．由此推测，n条直线相互分割成n2条射线或线段，设φ(n)＝n2(n≥2，且n∈N＋)．当n＝4时，不妨取出一条直线l1，则剩余3条直线l2，l3，证明如下：(1)当n＝2时，显然成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，结论成立，φ(k)＝k2，则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，lk，lk＋1共k＋1条直线，满足题设条件．不妨取出直线l1.证明如下：余下的k条直线l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成φ(k)＝k2条射线或线段．直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2，l3，…，lk＋1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．故φ(k＋1)＝φ(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.∴当n＝k＋1时，结论正确．由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2，且n∈N＋都成立．余下的k条直线l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成φ(k1．数学归纳法的概念先证明当n取第一值n0(例如可取n0＝1)时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．数学归纳法1．数学归纳法的概念数学归纳法在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k＋1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k＋1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”、“综合法”、“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k＋1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．用数学归纳法证明不等式在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k＋1”课后练习课后练习谢谢观看！谢谢观看！第四讲数学归纳法证明不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法一数学归纳法1.了解数学归纳法的原理．2.了解数学归纳法的使用范围．3.会用数学归纳法证明一些简单问题.

1.数学归纳法的原理．(重点)2.数学归纳法的应用．(难点)

目标定位1.了解数学归纳法的原理．目标定位预习学案预习学案2ab

比较法分析法综合法2ab比较法分析法综合法1．数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当_________时命题成立；(2)假设当_________________________时命题成立，证明___________时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．n＝n0n＝k(k∈N＋，且k≥n0)n＝k＋11．数学归纳法的概念n＝n0n＝k(k∈N＋，且k≥n0)n2．数学归纳法的基本过程2．数学归纳法的基本过程高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件3．设凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解释：

由凸多边形性质知多加了一条边内角和比原来多了π.答案：

π3．设凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件课堂学案课堂学案用数学归纳法证等式用数学归纳法证等式高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件 求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．[思路点拨]

由假设以x2k＋2为主进行拼凑，即减去x2y2k加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出n＝k的归纳假设，剩余部分仍能被x＋y整除．证整除问题 求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．证整[解题过程]

(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，∴能被x＋y整除．(2)假设n＝k(k≥1)时，x2k－y2k能被x＋y整除，那么当n＝k＋1时，即x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－x2y2k＋x2y2k－y2·y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立．[解题过程](1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－2．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然数m，使得对任意n∈N＋都能使m整除f(n)，如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．[思路点拨]利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及“添项”与“减项”等变形技巧．2．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然数m，解析：

f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，f(4)＝1224，猜想能整除f(n)的最大整数是36.下面用数学归纳法证明f(n)能被36整除．(1)当n＝1时，f(1)＝36能被36整除；(2)假设当n＝k(k≥1)时，f(k)能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，解析：f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数．∴18(3k－1－1)能被36整除，∴f(k＋1)能被36整除．由(1)(2)得f(n)能被36整除．由于f(1)＝36，故整除f(n)的最大整数是36.由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件高中数学选修4-5数学归纳法证明不等式第4讲1人教版课件3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．[思路点拨]利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少解析：

n的最小值应该为2，当n＝2时，有4条射线，当n＝3时，如图有3条线段6条射线，共9条线段或射线．解析：n的最小值应该为2，当n＝4时，不妨取出一条直线l1，则剩余3条直线l2，l3，l4相互分割成9条线段或射线．而l1与l2，l3，l4有3个交点，这3个交点将l1分割为2条线段，2条射线．而l2，l3，l4上又各多出1个交点，因此l2，l3，l4又被这一交点多分割出一条线段或射线，∴多出4＋3＝7条．∴n＝4时，有16条．由此推测，n条直线相互分割成n2条射线或线段，设φ(n)＝n2(n≥2，且n∈N＋)．当n＝4时，不妨取出一条直线l1，则剩余3条直线l2，l3，证明如下：(1)当n＝2时，显然成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，结论成立，φ(k)＝k2，则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，lk，lk＋1共k＋1条直线，满足题设条件．不妨取出直线l1.证明如下：余下的k条直线l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成φ(k)＝k2条射线或线段．直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成